「Coqの余帰納法でハマってしまった」
https://qiita.com/Nogikuchi/items/28f2f573537ff3e5aca5
の１行づつの実行を coqide 8.7.1で記録してみた。
将来説明を追記。
余再帰呼び出しの結果をコンストラクタで包めばいいというわけではなく
Inductive List := Nil : List | Cons : nat -> List -> List.
Fixpoint length l :=
match l with
| Nil => O
| Cons n l' => S (length l') (* l' は l より "小さい" *)
end.
CoInductive Stream := SCons : nat -> Stream -> Stream.
CoFixpoint countup (n : nat) : Stream :=
SCons n (countup (S n)).
(*SCons n (countup (S n)) は (countup (S n)) より大きい*)
CoFixpoint bad: Stream :=
match bad with
| SCons x y => SCons x bad
end.
"Forward One Command"で、CoFixpointを実行すると"Messages"に下記表示あり。
Recursive definition of bad is ill-formed.
In environment
bad : Stream
Invalid recursive call in the argument of "match" in
"match bad with
| SCons x _ => SCons x bad
end".
Recursive definition is:
"match bad with
| SCons x _ => SCons x bad
end".
すべての自然数に対して成り立つ
Inductive List := Nil : List | Cons : nat -> List -> List.
Fixpoint length l :=
match l with
| Nil => O
| Cons n l' => S (length l') (* l' は l より "小さい" *)
end.
CoInductive Stream := SCons : nat -> Stream -> Stream.
CoFixpoint countup (n : nat) : Stream :=
SCons n (countup (S n)).
(*SCons n (countup (S n)) は (countup (S n)) より大きい*)
CoInductive X : nat -> Prop :=
| X_intro : forall n, X (S n) ->X n.
Lemma X_All : forall n, X n.
Proof.
cofix CIH. (* CIH: ∀n. X n |- ∀n. X n *)
intro n. (* CIH: ∀n. X n, n: nat |- X n *)
constructor. (* CIH : ∀ n. X n, n: nat |- X (S n) *)
apply CIH.
Qed.
Lemma X_All : forall n, X n.
"Forward One Command"すると右上窓に下記表示。
1 subgoal
______________________________________(1/1)
forall n : nat, X n
Proof.
cofix CIH.
"Forward One Command"すると右上窓に下記表示。
1 subgoal
CIH : forall n : nat, X n
______________________________________(1/1)
forall n : nat, X n
intro n.
"Forward One Command"すると右上窓に下記表示。
1 subgoal
CIH : forall n : nat, X n
n : nat
______________________________________(1/1)
X n
constructor.
"Forward One Command"すると右上窓に下記表示。
1 subgoal
CIH : forall n : nat, X n
n : nat
______________________________________(1/1)
X (S n)
apply CIH.
"Forward One Command"すると右上窓に下記表示。
No more subgoals.
Qed.
"Forward One Command"すると右上窓に下記表示。
X_All is defined
#少しひねくれた証明
Inductive List := Nil : List | Cons : nat -> List -> List.
Fixpoint length l :=
match l with
| Nil => O
| Cons n l' => S (length l') (* l' は l より "小さい" *)
end.
CoInductive Stream := SCons : nat -> Stream -> Stream.
CoFixpoint countup (n : nat) : Stream :=
SCons n (countup (S n)).
(*SCons n (countup (S n)) は (countup (S n)) より大きい*)
CoInductive X : nat -> Prop :=
| X_intro : forall n, X (S n) ->X n.
Lemma X_All' : forall n, X n.
Proof.
enough (forall n, X (S (S n)) -> X n) as H.
- cofix CIH.
intro n.
apply H.
apply CIH.
- intros n H.
constructor.
constructor.
assumption.
Qed.
#変形を定理として外に出した場合
Lemma X_SSn_n : forall n, X (S (S n)) -> X n.
Proof.
intros n H.
constructor.
constructor.
assumption.
Qed.
Lemma X_All'' : forall n, X n.
Proof.
cofix CIH.
intro n.
apply X_SSn_n.
apply CIH.
Qed.
"Forward One Command"で、最後のQed.を実行すると"Messages"に下記表示あり。
Recursive definition of CIH is ill-formed.
In environment
CIH : forall n : nat, X n
n : nat
Sub-expression "X_SSn_n n (CIH (S (S n)))" not in guarded form (should
be a constructor, an abstraction, a match, a cofix or a recursive
call).
Recursive definition is: "fun n : nat => X_SSn_n n (CIH (S (S n)))".
自己参照
「coq入門」の入門
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/13566f0b2083ea8d4998
「Coqで証明書いてみた」の１行づつの実行を記録してみた。
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/6b8398bf6980315945c6
coq(ide)を使おう または 初めてのcop(ide) mac編
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/a236dfbfaa4f946b4f8d
Godel’s Incompleteness Theorem in coq 壁いくつ、今壁4つ
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/181cb3dae504f64d0619
「Coqの余帰納法でハマってしまった」を記録
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/7c9e32a024aeaf7b5658
MacintoshでCoqide
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/0314ca15130bdfa9dce2
<この項は書きかけです。順次追記します。>
This article is not completed. I will add some words and/or centences in order.
自己記事一覧
Qiitaで逆リンクを表示しなくなったような気がする。時々、スマフォで表示するとあらわっることがあり、完全に削除したのではなさそう。
４月以降、せっせとリンクリストを作り、統計を取って確率を説明しようとしている。
2025年２月末を目標にしている。
一覧の一覧( The directory of directories of mine.) Qiita(100)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/7eb0e006543886138f39
仮説（0）一覧（目標100現在40）
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/f000506fe1837b3590df
Qiita(0)Qiita関連記事一覧（自分）
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/58db5fbf036b28e9dfa6
Error一覧 error(0)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/48b6cbc8d68eae2c42b8
C++ Support(0)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/8720d26f762369a80514
Coding(0) Rules, C, Secure, MISRA and so on
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/400725644a8a0e90fbb0
Ethernet 記事一覧 Ethernet(0)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/88d35e99f74aefc98794
Wireshark 一覧 wireshark(0)、Ethernet(48)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/fbed841f61875c4731d0
線網（Wi-Fi）空中線(antenna)(0) 記事一覧(118/300目標)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/5e5464ac2b24bd4cd001
なぜdockerで機械学習するか 書籍・ソース一覧作成中 (目標100)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/ddd12477544bf5ba85e2
プログラムちょい替え（0）一覧:4件
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/296d87ef4bfd516bc394
言語処理100本ノックをdockerで。python覚えるのに最適。:10+12
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/7e7eb7c543e0c18438c4
Python(0)記事をまとめたい。
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/088c57d70ab6904ebb53
安全（0）安全工学シンポジウムに向けて: 21
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プログラマによる、プログラマのための、統計(0)と確率のプログラミングとその後
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/6e9897eb641268766909
転職(0)一覧
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/f77520d378d33451d6fe
物理記事 上位100
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量子(0) 計算機, 量子力学
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図(0) state, sequence and timing. UML and お絵描き
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品質一覧
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/2b99b8e9db6d94b2e971
言語・文学記事 １００
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/42d58d5ef7fb53c407d6
医工連携関連記事一覧
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自動車 記事 １００
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通信記事１００
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/1d67de5e1cd207b05ef7
日本語（０）一欄
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/7498dcfa3a9ba7fd1e68
英語(0) 一覧
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/680e3f5cbf9430486c7d
音楽 一覧(0)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/b6e5f42bbfe3bbe40f5d
「@kazuo_reve 新人の方によく展開している有益な情報」確認一覧
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/b9380888d1e5a042646b
鉄道（０）鉄道のシステム考察はてっちゃんがてつだってくれる
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/faa4ea03d91d901a618a
OSEK OS設計の基礎 OSEK(100)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/7528a22a14242d2d58a3
coding (101) 一覧を作成し始めた。omake:最近のQiitaで表示しない5つの事象
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/20667f09f19598aedb68
官公庁・学校・公的団体（NPOを含む）システムの課題、官（０）
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出力(output)と呼ばないで。これは状態(state)です。
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/80b8b5913b2748867840
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https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/71a09077ac195214f0db
ISO/IEC JTC1 SC7 Software and System Engineering
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/48b43f0f6976a078d907
アクセシビリティの知見を発信しよう！（再び）
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/03457eb9ee74105ee618
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https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/590874ccfca988e85ea3
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https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/b1b5e89bd5c0a211d862
「@kazuo_reve 新人の方によく展開している有益な情報」確認一覧
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/b9380888d1e5a042646b
ソースコードで議論しよう。日本語で議論するの止めましょう（あるプログラミング技術の議論報告）
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/8b9811c80f3338c6c0b0
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＜この記事は個人の過去の経験に基づく個人の感想です。現在所属する組織、業務とは関係がありません。＞
This article is an individual impression based on my individual experience. It has nothing to do with the organization or business to which I currently belong.
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ver. 0.01 初稿 20810305
ver. 0.02 ありがとう追記 20230508
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