「Coqの余帰納法でハマってしまった」
https://qiita.com/Nogikuchi/items/28f2f573537ff3e5aca5
の１行づつの実行を coqide 8.7.1で記録してみた。
将来説明を追記。

余再帰呼び出しの結果をコンストラクタで包めばいいというわけではなく

Inductive List := Nil : List | Cons : nat -> List -> List.
Fixpoint length l :=
  match l with
  | Nil => O
  | Cons n l' => S (length l') (* l' は l より "小さい" *)
  end.

CoInductive Stream := SCons : nat -> Stream -> Stream.
CoFixpoint countup (n : nat) : Stream :=
  SCons n (countup (S n)). 
(*SCons n (countup (S n)) は (countup (S n)) より大きい*)

CoFixpoint bad: Stream :=
  match bad with
  | SCons x y => SCons x bad
  end.

"Forward One Command"で、CoFixpointを実行すると"Messages"に下記表示あり。

Recursive definition of bad is ill-formed.
In environment
bad : Stream
Invalid recursive call in the argument of "match" in
"match bad with
 | SCons x _ => SCons x bad
 end".
Recursive definition is:
"match bad with
 | SCons x _ => SCons x bad
 end".

すべての自然数に対して成り立つ

Inductive List := Nil : List | Cons : nat -> List -> List.
Fixpoint length l :=
  match l with
  | Nil => O
  | Cons n l' => S (length l') (* l' は l より "小さい" *)
  end.

CoInductive Stream := SCons : nat -> Stream -> Stream.
CoFixpoint countup (n : nat) : Stream :=
  SCons n (countup (S n)). 
(*SCons n (countup (S n)) は (countup (S n)) より大きい*)

CoInductive X : nat -> Prop :=
| X_intro : forall n, X (S n) ->X n.

Lemma X_All : forall n, X n.
Proof.
  cofix CIH. (* CIH: ∀n. X n |- ∀n. X n *)
  intro n.   (* CIH: ∀n. X n, n: nat |- X n *)
  constructor. (* CIH : ∀ n. X n, n: nat |- X (S n) *)
  apply CIH.
Qed.

Lemma X_All : forall n, X n.

"Forward One Command"すると右上窓に下記表示。

1 subgoal
______________________________________(1/1)
forall n : nat, X n

Proof.
  cofix CIH.

"Forward One Command"すると右上窓に下記表示。

1 subgoal
CIH : forall n : nat, X n
______________________________________(1/1)
forall n : nat, X n

  intro n.

"Forward One Command"すると右上窓に下記表示。

1 subgoal
CIH : forall n : nat, X n
n : nat
______________________________________(1/1)
X n

  constructor.

"Forward One Command"すると右上窓に下記表示。

1 subgoal
CIH : forall n : nat, X n
n : nat
______________________________________(1/1)
X (S n)

  apply CIH.

"Forward One Command"すると右上窓に下記表示。

No more subgoals.

Qed.

"Forward One Command"すると右上窓に下記表示。

X_All is defined

#少しひねくれた証明

Inductive List := Nil : List | Cons : nat -> List -> List.
Fixpoint length l :=
  match l with
  | Nil => O
  | Cons n l' => S (length l') (* l' は l より "小さい" *)
  end.

CoInductive Stream := SCons : nat -> Stream -> Stream.
CoFixpoint countup (n : nat) : Stream :=
  SCons n (countup (S n)). 
(*SCons n (countup (S n)) は (countup (S n)) より大きい*)

CoInductive X : nat -> Prop :=
| X_intro : forall n, X (S n) ->X n.

Lemma X_All' : forall n, X n.
Proof.
  enough (forall n, X (S (S n)) -> X n) as H.
  - cofix CIH.
    intro n.
    apply H.
    apply CIH.
  - intros n H.
    constructor.
    constructor.
    assumption.
Qed.

#変形を定理として外に出した場合

Lemma X_SSn_n : forall n, X (S (S n)) -> X n.
Proof.
  intros n H.
  constructor.
  constructor.
  assumption.
Qed.

Lemma X_All'' : forall n, X n.
Proof.
  cofix CIH.
  intro n.
  apply X_SSn_n.
  apply CIH.
Qed.

"Forward One Command"で、最後のQed.を実行すると"Messages"に下記表示あり。


Recursive definition of CIH is ill-formed.
In environment
CIH : forall n : nat, X n
n : nat
Sub-expression "X_SSn_n n (CIH (S (S n)))" not in guarded form (should
be a constructor, an abstraction, a match, a cofix or a recursive
call).
Recursive definition is: "fun n : nat => X_SSn_n n (CIH (S (S n)))".

自己参照

「coq入門」の入門
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/13566f0b2083ea8d4998

「Coqで証明書いてみた」の１行づつの実行を記録してみた。
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/6b8398bf6980315945c6

coq(ide)を使おう　または　初めてのcop(ide) mac編
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/a236dfbfaa4f946b4f8d

Godel’s Incompleteness Theorem in coq 壁いくつ、今壁4つ
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/181cb3dae504f64d0619

「Coqの余帰納法でハマってしまった」を記録
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/7c9e32a024aeaf7b5658

MacintoshでCoqide
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/0314ca15130bdfa9dce2

<この項は書きかけです。順次追記します。>
This article is not completed. I will add some words and/or centences in order.

自己記事一覧

Qiitaで逆リンクを表示しなくなったような気がする。時々、スマフォで表示するとあらわっることがあり、完全に削除したのではなさそう。

４月以降、せっせとリンクリストを作り、統計を取って確率を説明しようとしている。
2025年２月末を目標にしている。

一覧の一覧( The directory of directories of mine.) Qiita(100)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/7eb0e006543886138f39

仮説（0）一覧（目標100現在40）
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/f000506fe1837b3590df

Qiita(0)Qiita関連記事一覧（自分）
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/58db5fbf036b28e9dfa6

Error一覧 error(0)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/48b6cbc8d68eae2c42b8

C++ Support(0)　
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/8720d26f762369a80514

Coding(0) Rules, C, Secure, MISRA and so on
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/400725644a8a0e90fbb0

Ethernet 記事一覧　Ethernet(0)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/88d35e99f74aefc98794

Wireshark 一覧 wireshark(0)、Ethernet(48)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/fbed841f61875c4731d0

線網（Wi-Fi）空中線(antenna)(0) 記事一覧(118/300目標)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/5e5464ac2b24bd4cd001

なぜdockerで機械学習するか書籍・ソース一覧作成中 (目標100)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/ddd12477544bf5ba85e2

プログラムちょい替え（0）一覧:4件
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/296d87ef4bfd516bc394

言語処理100本ノックをdockerで。python覚えるのに最適。:10+12
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/7e7eb7c543e0c18438c4

Python(0)記事をまとめたい。
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/088c57d70ab6904ebb53

安全（0）安全工学シンポジウムに向けて: 21
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/c5d78f3def8195cb2409

プログラマによる、プログラマのための、統計(0)と確率のプログラミングとその後
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/6e9897eb641268766909

転職(0)一覧
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/f77520d378d33451d6fe

物理記事　上位100
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/66e90fe31fbe3facc6ff

量子(0) 計算機, 量子力学
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/1cd954cb0eed92879fd4

数学関連記事１００
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/d8dadb49a6397e854c6d

統計(0)一覧
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/80d3b221807e53e88aba

図(0) state, sequence and timing. UML and お絵描き
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/60440a882146aeee9e8f

品質一覧
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/2b99b8e9db6d94b2e971

言語・文学記事　１００
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/42d58d5ef7fb53c407d6

医工連携関連記事一覧
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/6ab51c12ba51bc260a82

自動車　記事　１００
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/f7f0b9ab36569ad409c5

通信記事１００
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/1d67de5e1cd207b05ef7

日本語（０）一欄
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/7498dcfa3a9ba7fd1e68

英語(0) 一覧
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/680e3f5cbf9430486c7d

音楽　一覧(0)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/b6e5f42bbfe3bbe40f5d

「@kazuo_reve 新人の方によく展開している有益な情報」確認一覧
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/b9380888d1e5a042646b

鉄道（０）鉄道のシステム考察はてっちゃんがてつだってくれる
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/faa4ea03d91d901a618a

OSEK OS設計の基礎　OSEK(100)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/7528a22a14242d2d58a3

coding (101) 一覧を作成し始めた。omake:最近のQiitaで表示しない5つの事象
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/20667f09f19598aedb68

官公庁・学校・公的団体（NPOを含む）システムの課題、官（０）
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https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/6e9298296852325adc5e

出力(output)と呼ばないで。これは状態(state)です。
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/80b8b5913b2748867840

coding (101) 一覧を作成し始めた。omake:最近のQiitaで表示しない5つの事象
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/20667f09f19598aedb68

あなたは「勘違いまとめ」から、勘違いだと言っていることが勘違いだといくつ見つけられますか。人間の間違い(human error(125))の種類と対策
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プログラマの「プログラムが書ける」思い込みは強みだ。３つの理由。仮説（168）統計と確率(17) , OSEK(79)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/bc5dd86e414de402ec29

出力(output)と呼ばないで。これは状態(state)です。
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/80b8b5913b2748867840

これからの情報伝達手段の在り方について考えてみよう。炎上と便乗。
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/71a09077ac195214f0db

ISO/IEC JTC1 SC7 Software and System Engineering
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/48b43f0f6976a078d907

アクセシビリティの知見を発信しよう！（再び）
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/03457eb9ee74105ee618

統計論及確率論輪講（再び）
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/590874ccfca988e85ea3

読者の心をグッと惹き寄せる7つの魔法
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/b1b5e89bd5c0a211d862

「@kazuo_reve 新人の方によく展開している有益な情報」確認一覧
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/b9380888d1e5a042646b

ソースコードで議論しよう。日本語で議論するの止めましょう（あるプログラミング技術の議論報告）
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/8b9811c80f3338c6c0b0

脳内コンパイラの3つの危険
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/7025cf2d7bd9f276e382

心理学の本を読むよりはコンパイラ書いた方がよくね。仮説（34）
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/fa715732cc148e48880e

NASAを超えるつもりがあれば読んでください。
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/e81669f9cb53109157f6

データサイエンティストの気づき!「勉強して仕事に役立てない人。大嫌い!!」『それ自分かも?』ってなった!!!
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/d85830d58d8dd7f71d07

「ぼくの好きな先生」「人がやらないことをやれ」プログラマになるまで。仮説（37）　
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/53e4bded9fe5f724b3c4

なぜ経済学徒を辞め、計算機屋になったか（経済学部入学前・入学後・卒業後対応）転職(1)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/06335a1d24c099733f64

プログラミング言語教育のXYZ。仮説（52）
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/1950c5810fb5c0b07be4

【24卒向け】9ヶ月後に年収１０００万円を目指す。二つの関門と三つの道。
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/fb5bff147193f726ad25

「【25卒向け】Qiita Career Meetup for STUDENT」予習の勧め
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/00eadb8a6e738cb6336f

大学入試不合格でも筆記試験のない大学に入って卒業できる。卒業しなくても博士になれる。
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/74adec99f396d64b5fd5

全世界の不登校の子供たち「博士論文」を書こう。世界子供博士論文遠隔実践中心安全(99)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/912d69032c012bcc84f2

小川メソッド　覚え（書きかけ）
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/3593d72eca551742df68

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https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/58e8bd6450957cdecd81

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https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/83259d18921ce75a91f4

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https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/e2df642e3951e35e6a53

＜この記事は個人の過去の経験に基づく個人の感想です。現在所属する組織、業務とは関係がありません。＞
This article is an individual impression based on my individual experience. It has nothing to do with the organization or business to which I currently belong.

文書履歴(document history)

ver. 0.01 初稿　20810305
ver. 0.02 ありがとう追記　20230508

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