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@kaizen_nagoya(Dr. Kiyoshi Ogawa)

ブラ・ケット 物理学 数学 量子(56)

Last updated at Posted at 2019-09-20

量子アニーリングの基礎　

西森 秀稔, 大関 真之, 共立出版, 2018
4184JBeEEZL.SX350_BO1,204,203,200.jpg
https://www.amazon.co.jp/dp/4320035380

『量子アニーリングの基礎』正誤表 (西森秀稔・大関真之 著)　2019年6月20日更新
https://www.kyoritsu-pub.co.jp/app/file/goods_contents/3037.pdf

p.30
3.4 ブラケットによる表記の簡略化

ブラ・ケットという演算子が出て来る。

p.28
3.2 重ね合わせの行列表現

\tag{3.3}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
1  \\
0  
\end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix}
1  \\
0  
\end{pmatrix} 
. \qquad  
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
0 \\
1  
\end{pmatrix} 
=
-1
\begin{pmatrix}
0  \\
1  
\end{pmatrix}

量子力学独特の記号（ディラックのブラケット）を導入して、式を簡単に表す方法を見てみよう

\begin{pmatrix}
1  \\
0  
\end{pmatrix}

は上向きスピンを表しているから $|\uparrow>$

\begin{pmatrix}
0  \\
1  
\end{pmatrix}

は下向きスピンを表しているから$|\downarrow>$ とかくことにすれば、式(3.3)は簡単に

\tag{3.10}
{\sigma}^z|\uparrow > =|\uparrow >  . \qquad  {\sigma}^z|\downarrow > = |\downarrow >

と書ける。

p.31

左に縦線"|"、右に”>” で状態を表す記号を囲んだ $|\uparrow>$という記号はケット（あるいはケットベクトル）と呼ばれる。ケットというのは、かっこを意味するブラケットの後半だけをとった用語で、量子力学のディラックによる命名である。左半分をとった$<\uparrow|$はブラケットの前半をとってブラと呼ばれる。線形代数の用語でいえば$<\uparrow|$は$|\uparrow>$を転置して複素共役をとった横ベクトルである。ブラケット記号の利点の一つは内積の表記が簡単になる点にある。たとえば、規格化された状態ベクトル $|\uparrow>$のそれ自身との内積は

\tag{3.13}
<\uparrow|\uparrow >=1

と書くことができる。一般に２つの状態ベクトル|a>と|b>の内積は＜a|b＞である。

なかなか分かりにくい
#解析力学・量子論. 須藤靖
414xFxKdSxL.SX339_BO1,204,203,200.jpg
https://www.amazon.co.jp/product-reviews/4130626108/

p.172
12.2 双対空間とブラ・ケット

p.173

双対空間と聞くと難しそうだが、デカルト座標の場合を考えればイメージがわきやすい。ケットを縦ベクトル、ブラを横ベクトルに対応させればよいのである。

\tag{12.2.1}
|\psi> = \begin{pmatrix}
a  \\
b  \\
c  \\
\cdots
\end{pmatrix}, 
<\psi| = (a^*, b^*, c^*, \cdots)

この場合それらの内積：

\tag{12.2.2}
<\psi|\psi> =(a^*, b^*, c^*,\cdots) \begin{pmatrix}
a  \\
b  \\
c  \\
\cdots
\end{pmatrix} = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + \cdots

が $|\psi>$のノルムを与えることもすぐわかる。

すぐわかるかどうかは別にして、ブラ・ケットは縦ベクトル、横ベクトルで考えることにする。

第 9 章 ブラケットによる表記法 東京工業大学境界領域基礎物理学講座　武藤

量子力学第一　平成２２年度　学部　４学期
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/

第 10 章 ブラケットによる表記法(1)
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/QMI10/QMI10_chap10.pdf

第 11 章 ブラケットによる表記法(2)
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/QMI10/QMI10_chap10.pdf

24. 量子論におけるブラ・ケット表記　山﨑 勝義

文献

  1. 霜田光一，岩澤 宏，神谷武志 訳「レーザ物理」丸善 (1978年), 第6章 (原著:M. Sargent III, M. O. Scully, W. E. Lamb, Jr., Laser Physics, Addison Wesley, Reading (MA), 1974)
  2. 小出昭一郎，田村二郎 訳「メシア 量子力学」東京図書 (1971年), 第7章 (原著:A.
    Messiah, Mécanique Quantique, Dunod, Paris, 1959)
  3. 菅野卓雄，多田邦雄，神谷武志 訳「基礎量子力学」丸善 (1973年)，第6, 7章 (原著:R.
    L. White, Basic Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1966)
  4. 小出昭一郎「量子力学(I)」裳華房 (1969年)，第6章
  5. (a) 伊藤伸泰，早野龍五 監訳「グライナー 量子力学」シュプリンガー・フェアラーク東
    京，1991年(初版) (英語版原著:W. Greiner, Quantum Mechanics, Springer-Verlag, Berlin, 1989.)
    (b) 伊藤伸泰，早野龍五 監訳「量子力学 概論」シュプリンガー・ジャパン，2011年(新 装版) および 伊藤伸泰，早野龍五 監訳「量子力学 概論」 丸善出版，2012年(新装版) (英語版原著:W. Greiner, Quantum Mechanics: An Introduction, 3rd ed., Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1994.)
    (c) 英語版:W. Greiner, Quantum Mechanics: An Introduction, 4th ed., Springer-Verlag, Berlin
    Heidelberg, 2000.
  6. 桜井捷海「コンピュータで学ぶ 量子力学[基礎編]」裳華房 (1992年), 第1章第7節
  7. R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, 2nd ed., Springer Science+Business Media, New
    York, 1994, Chap. 1
  8. 佐藤正次，永井 治「基礎課程 線形代数学」学術図書出版 (1976年)，第3章 9. 「「成分」と「基底」の変換の相違点」漁火書店 (URL は下記)
    http://home.hiroshima-u.ac.jp/kyam/pages/results/monograph/Ref02_matrix43W.pdf

参考資料(reference)

ブラケット記法の使い方 (具体例付)　理数アラカルト　最終更新 2018年 12月22日
https://risalc.info/src/q-bra-ket-notation.html

ベクトル、関数、行列、演算子のブラケット表示　岡本良治
http://rokamoto.sakura.ne.jp/education/quantum/bracket-text060313.pdf

量子力学の Tips ~座標表示と運動量表示について~　KENZOU 2008年5月24日
https://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/x-p.pdf

　量子アニーリングの数理　東京工業大学 大学院理工学研究科 物性物理学専攻 西森 秀稔
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/189516/1/bussei_el_033203.pdf

Qiitaの数式チートシート
https://qiita.com/PlanetMeron/items/63ac58898541cbe81ada

amsmathの数式環境まとめ
https://qiita.com/t_kemmochi/items/a4c390b4967b13f3afb7

参考記法

利用記法

\qquad
\begin{pmatrix}
\end{pmatrix}
\tag{3.3}

未解決

{\hat{\sigma}}^z

がうまく表示しない。ハットとZが重なる。

${\hat{\sigma}}^z$

参考資料(reference)

量子力学の正しい間違え方
https://qiita.com/inada-phys/items/a67228572f8f17f66bf5

量子力学の非局所性を計算で確認してみた
https://qiita.com/7shi/items/883a3b722b4fea428abd

数式処理と量子力学
https://qiita.com/LdSn1fX2goYIu4G/items/4b95add4c5ec47a42b9b

固有値・固有ベクトルの使いみち（５．量子力学）
https://qiita.com/Ken-ichi_Hironaka/items/d7b3d5b808a1085a6eb0

自己参照

量子計算機を学ぶ前か後に
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/5ed1b3e7f300c1c7102d

ブラ・ケット
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/fa71c6307583ca03e6e9

岩波講座 物理の世界 量子力学<1> 量子力学への招待　外村彰　岩波書店
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/e2f6d55a54192025eda2

岩波講座 物理の世界 量子力学<2> 量子力学の考え方　長岡洋介　岩波書店
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/e560a027c38508124c7c

岩波講座 物理の世界 量子力学〈4〉実験・人工量子力学　勝本信吾　岩波書店
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/eefe57049db692a0b46e

岩波講座 物理の世界 物の理 数の理〈4〉数学から見た統計力学と熱力学 砂田利一 岩波書店, 2004
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/fadf75484779d5f1d43c

岩波講座 物理の世界 物の理　数の理〈5〉数学から見た量子力学　砂田利一　岩波書店
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/3d8f268cb6367ee6cadf

岩波講座　物理の世界
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/3bbfd3f00f9e8c05bcaf

ファインマン計算機科学(参考文献）
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/78391bdcc1727880d613
　
量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために (新物理学ライブラリ)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/3e575dab98b6c95ffc12

プログラマが量子力学を勉強するときの７つの道
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/7061f62b3629eee395f2

量子計算機：量子力学にたどり着くための三つの方法
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/cfc35e62c81a978cc2fc

10さい（歳）でわ（分）かるりょうしりきがく（量子力学）をめざし（目指）して　＜先生用＞
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/4428475f658e616e7082

実験・人工量子力学　勝本信吾　岩波書店
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/eefe57049db692a0b46e

二重スリット実験　動画
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/01d498985b2f82d9aba9

「先生、それって「量子」の仕業ですか？」大関真之　量子力学入門のための資料収集
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/da8d2a9064c4b22ef332

量子力学が見る見るわかる 橋元淳一郎
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/6754a624ad4cf9753644

Hamiltonian ハミルトニアン
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/b274287858dd63e9a229

アンの部屋（28人名から学ぶ数学・物理）
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/e02cbe23b96d5fb96aa1

「伏見康治 確率論及統計論」輪講。仮説(95) 統計と確率(9)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/89d0a91a56d33529e85c

伏見康治・確率論及統計論輪講　随時開催　最小催行２人
https://researchmap.jp/blogs/blog_entries/view/101611/9ddfd5f6f19caeedb9682be2af744fb5

特異点(singular point)は特異(singularity)である。仮説（27)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/26f2ff3f24496b8252c7

量子コンピュータ

「量子コンピューティング技術シンポジウム」@京都 20190311 に参加して
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/76b5c6d18703b9ab86d5

量子計算機　起業者
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/982112af4b4b81bc8e71
量子コンピュータプログラムへの道
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/37c90488c87bbe9f2d71
量子計算機　特許
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/4429b2f5ed1a49180b55
量子計算機　論文
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今日、量子計算機の話をしました。
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/cf00ff211389ce5e2571
「量子アニーリングの基礎」西森秀稔, 大関真之, 共立出版, 2018 を読む
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/29580dc526e142cb64e9
『量子アニーリングの基礎』正誤表 (西森秀稔・大関真之 著)　2019年6月20日更新
https://www.kyoritsu-pub.co.jp/app/file/goods_contents/3037.pdf
量子アニーリングの数理　東京工業大学 大学院理工学研究科 物性物理学専攻 西森 秀稔
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/189516/1/bussei_el_033203.pdf
「量子アニーリングの基礎」を読む 第１日
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/2bc284faaf0f61278778
「量子アニーリングの基礎」を読む 第２日
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/749043f4f8ae026ec5e5
「量子アニーリングの基礎」を読む 第3日
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/3f3d67d841075e8c867a
「量子アニーリングの基礎」を読む 第４日
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/a75e954194de820637a3
「量子アニーリングの基礎」を読む 第5日
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/116a5a6add72a5bf1630
「量子アニーリングの基礎」を読む 第6日
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/cd6bc3ff790b69f77f5c

一覧

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Wireshark 一覧 wireshark(0)、Ethernet(48)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/fbed841f61875c4731d0

線網（Wi-Fi）空中線(antenna)(0) 記事一覧(118/300目標)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/5e5464ac2b24bd4cd001

OSEK OS設計の基礎　OSEK(100)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/7528a22a14242d2d58a3

Error一覧 error(0)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/48b6cbc8d68eae2c42b8

プログラマによる、プログラマのための、統計(0)と確率のプログラミングとその後
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/6e9897eb641268766909

官公庁・学校・公的団体（NPOを含む）システムの課題、官（０）
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/04ee6eaf7ec13d3af4c3

「はじめての」シリーズ　 ベクタージャパン　
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/2e41634f6e21a3cf74eb

AUTOSAR(0)Qiita記事一覧, OSEK(75)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/89c07961b59a8754c869

プログラマが知っていると良い「公序良俗」
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/9fe7c0dfac2fbd77a945

LaTeX(0) 一覧　
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/e3f7dafacab58c499792

自動制御、制御工学一覧（０）
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/7767a4e19a6ae1479e6b

Rust(0) 一覧　
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/5e8bb080ba6ca0281927

小川清最終講義、最終講義（再）計画, Ethernet(100) 英語(100) 安全(100)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/e2df642e3951e35e6a53

＜この記事は個人の過去の経験に基づく個人の感想です。現在所属する組織、業務とは関係がありません。＞
This article is an individual impression based on the individual's experience. It has nothing to do with the organization or business to which I currently belong.

文書履歴(document history)

ver. 0.01 初稿　20190920 朝
ver. 0.02 未解決表記追記　20190920　午前
ver. 0.02 誤植訂正　20190920　昼
ver. 0.03 タグ追記 20210524
ver. 0.04 ありがとう追記　20230521

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