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ブラ・ケット物理学数学量子(56)

Last updated at 2024-06-07Posted at 2019-09-20

量子アニーリングの基礎　

西森秀稔, 大関真之, 共立出版, 2018

https://www.amazon.co.jp/dp/4320035380

『量子アニーリングの基礎』正誤表 (西森秀稔・大関真之著)　2019年6月20日更新
https://www.kyoritsu-pub.co.jp/app/file/goods_contents/3037.pdf

p.30
3.4 ブラケットによる表記の簡略化

ブラ・ケットという演算子が出て来る。

p.28
3.2 重ね合わせの行列表現

\tag{3.3}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
1  \\
0  
\end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix}
1  \\
0  
\end{pmatrix} 
. \qquad  
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
0 \\
1  
\end{pmatrix} 
=
-1
\begin{pmatrix}
0  \\
1  
\end{pmatrix}

量子力学独特の記号（ディラックのブラケット）を導入して、式を簡単に表す方法を見てみよう

\begin{pmatrix}
1  \\
0  
\end{pmatrix}

は上向きスピンを表しているから $|\uparrow>$

\begin{pmatrix}
0  \\
1  
\end{pmatrix}

は下向きスピンを表しているから$|\downarrow>$ とかくことにすれば、式(3.3)は簡単に

\tag{3.10}
{\sigma}^z|\uparrow > =|\uparrow >  . \qquad  {\sigma}^z|\downarrow > = |\downarrow >

と書ける。

p.31

左に縦線"|"、右に”>” で状態を表す記号を囲んだ $|\uparrow>$という記号はケット（あるいはケットベクトル）と呼ばれる。ケットというのは、かっこを意味するブラケットの後半だけをとった用語で、量子力学のディラックによる命名である。左半分をとった$<\uparrow|$はブラケットの前半をとってブラと呼ばれる。線形代数の用語でいえば$<\uparrow|$は$|\uparrow>$を転置して複素共役をとった横ベクトルである。ブラケット記号の利点の一つは内積の表記が簡単になる点にある。たとえば、規格化された状態ベクトル $|\uparrow>$のそれ自身との内積は

\tag{3.13}
<\uparrow|\uparrow >=1

と書くことができる。一般に２つの状態ベクトル|a>と|b>の内積は＜a|b＞である。

なかなか分かりにくい
#解析力学・量子論. 須藤靖

 https://www.amazon.co.jp/product-reviews/4130626108/

p.172
12.2 双対空間とブラ・ケット

p.173

双対空間と聞くと難しそうだが、デカルト座標の場合を考えればイメージがわきやすい。ケットを縦ベクトル、ブラを横ベクトルに対応させればよいのである。

\tag{12.2.1}
|\psi> = \begin{pmatrix}
a  \\
b  \\
c  \\
\cdots
\end{pmatrix}, 
<\psi| = (a^*, b^*, c^*, \cdots)

この場合それらの内積：

\tag{12.2.2}
<\psi|\psi> =(a^*, b^*, c^*,\cdots) \begin{pmatrix}
a  \\
b  \\
c  \\
\cdots
\end{pmatrix} = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + \cdots

が $|\psi>$のノルムを与えることもすぐわかる。

すぐわかるかどうかは別にして、ブラ・ケットは縦ベクトル、横ベクトルで考えることにする。

第 9 章ブラケットによる表記法東京工業大学境界領域基礎物理学講座　武藤

量子力学第一　平成２２年度　学部　４学期
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/

第 10 章ブラケットによる表記法(1)
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/QMI10/QMI10_chap10.pdf

第 11 章ブラケットによる表記法(2)
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/QMI10/QMI10_chap10.pdf

24. 量子論におけるブラ・ケット表記　山﨑勝義

文献

霜田光一，岩澤宏，神谷武志訳「レーザ物理」丸善 (1978年), 第6章 (原著:M. Sargent III, M. O. Scully, W. E. Lamb, Jr., Laser Physics, Addison Wesley, Reading (MA), 1974)
小出昭一郎，田村二郎訳「メシア量子力学」東京図書 (1971年), 第7章 (原著:A.
Messiah, Mécanique Quantique, Dunod, Paris, 1959)
菅野卓雄，多田邦雄，神谷武志訳「基礎量子力学」丸善 (1973年)，第6, 7章 (原著:R.
L. White, Basic Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1966)
小出昭一郎「量子力学(I)」裳華房 (1969年)，第6章
(a) 伊藤伸泰，早野龍五監訳「グライナー量子力学」シュプリンガー・フェアラーク東
京，1991年(初版) (英語版原著:W. Greiner, Quantum Mechanics, Springer-Verlag, Berlin, 1989.)
(b) 伊藤伸泰，早野龍五監訳「量子力学概論」シュプリンガー・ジャパン，2011年(新装版) および伊藤伸泰，早野龍五監訳「量子力学概論」丸善出版，2012年(新装版) (英語版原著:W. Greiner, Quantum Mechanics: An Introduction, 3rd ed., Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1994.)
(c) 英語版:W. Greiner, Quantum Mechanics: An Introduction, 4th ed., Springer-Verlag, Berlin
Heidelberg, 2000.
桜井捷海「コンピュータで学ぶ量子力学[基礎編]」裳華房 (1992年), 第1章第7節
R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, 2nd ed., Springer Science+Business Media, New
York, 1994, Chap. 1
佐藤正次，永井治「基礎課程線形代数学」学術図書出版 (1976年)，第3章 9. 「「成分」と「基底」の変換の相違点」漁火書店 (URL は下記)
http://home.hiroshima-u.ac.jp/kyam/pages/results/monograph/Ref02_matrix43W.pdf

参考資料(reference)

ブラケット記法の使い方 (具体例付)　理数アラカルト　最終更新 2018年 12月22日
https://risalc.info/src/q-bra-ket-notation.html

ベクトル、関数、行列、演算子のブラケット表示　岡本良治
http://rokamoto.sakura.ne.jp/education/quantum/bracket-text060313.pdf

量子力学の Tips ~座標表示と運動量表示について~　KENZOU 2008年5月24日
https://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/x-p.pdf

　量子アニーリングの数理　東京工業大学大学院理工学研究科物性物理学専攻西森秀稔
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/189516/1/bussei_el_033203.pdf

Qiitaの数式チートシート
https://qiita.com/PlanetMeron/items/63ac58898541cbe81ada

amsmathの数式環境まとめ
https://qiita.com/t_kemmochi/items/a4c390b4967b13f3afb7

参考記法

利用記法

\qquad
\begin{pmatrix}
\end{pmatrix}
\tag{3.3}

未解決

{\hat{\sigma}}^z

がうまく表示しない。ハットとZが重なる。

${\hat{\sigma}}^z$

参考資料(reference)

量子力学の正しい間違え方
https://qiita.com/inada-phys/items/a67228572f8f17f66bf5

量子力学の非局所性を計算で確認してみた
https://qiita.com/7shi/items/883a3b722b4fea428abd

数式処理と量子力学
https://qiita.com/LdSn1fX2goYIu4G/items/4b95add4c5ec47a42b9b

固有値・固有ベクトルの使いみち（５．量子力学）
https://qiita.com/Ken-ichi_Hironaka/items/d7b3d5b808a1085a6eb0

自己参照

量子計算機を学ぶ前か後に
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/5ed1b3e7f300c1c7102d

ブラ・ケット
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/fa71c6307583ca03e6e9

岩波講座物理の世界量子力学<1> 量子力学への招待　外村彰　岩波書店
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/e2f6d55a54192025eda2

岩波講座物理の世界量子力学<2> 量子力学の考え方　長岡洋介　岩波書店
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/e560a027c38508124c7c

岩波講座物理の世界量子力学〈4〉実験・人工量子力学　勝本信吾　岩波書店
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/eefe57049db692a0b46e

岩波講座物理の世界物の理数の理〈4〉数学から見た統計力学と熱力学砂田利一岩波書店, 2004
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/fadf75484779d5f1d43c

岩波講座物理の世界物の理　数の理〈5〉数学から見た量子力学　砂田利一　岩波書店
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/3d8f268cb6367ee6cadf

岩波講座　物理の世界
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/3bbfd3f00f9e8c05bcaf

ファインマン計算機科学(参考文献）
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/78391bdcc1727880d613
　
量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために (新物理学ライブラリ)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/3e575dab98b6c95ffc12

プログラマが量子力学を勉強するときの７つの道
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/7061f62b3629eee395f2

量子計算機：量子力学にたどり着くための三つの方法
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/cfc35e62c81a978cc2fc

10さい（歳）でわ（分）かるりょうしりきがく（量子力学）をめざし（目指）して　＜先生用＞
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/4428475f658e616e7082

実験・人工量子力学　勝本信吾　岩波書店
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/eefe57049db692a0b46e

二重スリット実験　動画
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/01d498985b2f82d9aba9

「先生、それって「量子」の仕業ですか？」大関真之　量子力学入門のための資料収集
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/da8d2a9064c4b22ef332

量子力学が見る見るわかる橋元淳一郎
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/6754a624ad4cf9753644

Hamiltonian ハミルトニアン
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/b274287858dd63e9a229

アンの部屋（28人名から学ぶ数学・物理）
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/e02cbe23b96d5fb96aa1

「伏見康治確率論及統計論」輪講。仮説(95) 統計と確率(9)
https://qiita.com/kaizen_nagoya/items/89d0a91a56d33529e85c

伏見康治・確率論及統計論輪講　随時開催　最小催行２人
https://researchmap.jp/blogs/blog_entries/view/101611/9ddfd5f6f19caeedb9682be2af744fb5

特異点(singular point)は特異(singularity)である。仮説（27)
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量子コンピュータ

「量子コンピューティング技術シンポジウム」@京都 20190311 に参加して
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一覧

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小川清最終講義、最終講義（再）計画, Ethernet(100) 英語(100) 安全(100)
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ブラ・ケット 物理学 数学 量子(56)

量子アニーリングの基礎

第 9 章 ブラケットによる表記法 東京工業大学境界領域基礎物理学講座 武藤

24. 量子論におけるブラ・ケット表記 山﨑 勝義

参考資料(reference)

参考記法

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量子コンピュータ

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ブラ・ケット物理学数学量子(56)

量子アニーリングの基礎　

第 9 章ブラケットによる表記法東京工業大学境界領域基礎物理学講座　武藤

24. 量子論におけるブラ・ケット表記　山﨑勝義