OMCB036D(983,組合せ)
この記事では、解を導いた方法(考え方)は示していますが、証明はできていません。 ひとまず$100$以下の素数を大きい順に$10$個取ります。 $S=97+89+83+79+73+71+67+61...
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OMC241C(789,整数)
$g(801)-2g(800)+g(799)$は$\lbrace g(801)-g(800)\rbrace-\lbrace g(800)-g(799)\rbrace$と変形できるので、まず$g(...
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OMCB034A(869,整数)
$X=-a+b+c,Y=a-b+c,Z=a+b-c$と置いた場合、以下が言えます。 $XYZ=2^{100}$ $…①$ $(a,b,c)=(\frac{Y+Z}{2},\frac{Z+X}...
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OMC218B(755,整数)
コンテスト後しばらくは解説を読んでも理解できなかったので、復習です。 解説によると、フェルマーの小定理使うと解けるらしいです。 フェルマーの小定理をWikipediaで調べると、 $a$を$p$...
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OMC229B(994,整数)
まず、ある$8$桁の数を$A=a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0$と表します。 $1$桁ずつに分解すると合同式は、 $10^0×a_0≡a_0$ $10^1×a_1=(11-1...
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OMC220B (933,整数)
OnlineMathContestに関する記事です。 初学者レベルなので、基本的な所から理解できていません。 公式の解説で理解できない所を自分なりに復習する目的で記事を残すことにしました。 $1...
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OMC222B(1125,幾何)
文章だけだと難しいので、図を描くと以下のようになります。 $∠BAQ=∠BPA$となるので、$△BAQ∽△BPA$であることがわかります。 以下の方針で解いていきます。 $1.$ $x$を求める...
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OMCB033D(818,整数)
$a≧5b>0$より$ab≧5b^2$なので、 $5b^2≦105000$ $b^2≦21000$ $b≦\sqrt{21000}<145$ になります。 また、$105000...
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OMC215A(190,代数)
$f(x)=x^2-1001x+1001^2$とします。 変形して、 $f(x)=1001^2-x(1001-x)$ と置くことができ、$1≦x≦1000$のどの値でも$x<1001,10...
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OMC232D(1166)
条件より、$x_i=y_j$になると$y=x$上に格子点$(x_i,y_j)$が来るので、$x_i≠y_j$とわかります。 また、格子点$(x_i,y_j)$が、$A$が$3$つ、$B$が$6$...
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OMCB032E(843)
与式に$x=1$を代入して$3$で割った余りは $1!+p^4≡0$ $(mod$ $3)$ になり、 $p^4≡2$ $(mod$ $3)$ です。 $0^4≡0,1^4≡1,2^4≡1...
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OMCB026D(906)
$1$は素因数分解できませんが、$1^{1^1}=1$であり、約数は$1$個で偶数ではありません。 (以下、$n=1$は考察から除外します。) $2$以上の整数$n$を素因数分解したときに $...
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OMCB031C(1040)
$f(x)$も$g(x)$も$x^3$の係数が$1$であるので、 $f(x)=x^3+F_2x^2+F_1x+F_0$ $…①$ $g(x)=x^3+G_2x^2+G_1x+G_0$ $…②...
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OMCB005C(606)
$79$は素数なので、フェルマーの小定理 $a^p≡a$ $(mod$ $p)$ を使うと、 $1^{79}+3^{79}+…(2n+1)^{79}$ $≡1+3+…+(2n+1)$ $…...
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OMC233B(1352)
まず、$72°$ずつ向きを変えるので、$5$回で元の向きに戻ります。 $x$軸の正方向を向いている状態で$1$進むと、$(x,y)=(1,0)$だけ変化します。 $…①$ 同様に、 $72°,2...
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OMCB031B(514)
以前にも$mod$ $11$に関する問題を解いたことがありましたが、同じ考え方で解くことができます。 $A=a_{10}a_9a_8a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0$と置き、$A...
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OMC237B(1367)
剰余の定理の解き方を練習したので、類似の問題を続けて投稿します。 まず、$(1,3),(2,5),(3,7)$の関係性から、 $y=2x+1$ $…①$ が思い浮かびます。 OMCB012D問...
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OMCB012D(923)
公式解説では、偶関数について触れられており、こちらの方が簡単に解が求まりますが、 偶関数の特徴がわからなくても、剰余の定理(因数定理)の解き方がわかれば、解が導けます。 $f(x)$は$f(1)...
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OMC238B(1153)
$a_{5}≦5$、$a_{10}≦10$である広義単調増加な$(a_{0},a_{1},...,a_{10})$の組み合わせなので、 上図の$a_{0}$の左側の$0$の位置をスタートし、$a...
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OMCB030D(687)
公式の解説の写経です。(自分の理解用) 三角形の$3$辺の長さから面積を求めるには、ヘロンの公式を使います。 $3$辺の長さを$a,b,c$、また$s=\frac{a+b+c}{2}$とすると面...
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