この記事では、解を導いた方法(考え方)は示していますが、証明はできていません。
ひとまず$100$以下の素数を大きい順に$10$個取ります。
$S=97+89+83+79+73+71+67+61+59+53=732$
$S$で使っている素数の集合を$P$とします。
この時点で$P$は$S$と同じです。
$P=\lbrace97,89,83,79,73,71,67,61,59,53\rbrace$
$53$を$100$に置き換えます。
$S=100+97+89+83+79+73+71+67+61+59=779$
$P=\lbrace97,89,83,79,73,71,67,61,59,5,2\rbrace$
$59$を$99$に置き換えます。
$S=100+99+97+89+83+79+73+71+67+61=819$
$P=\lbrace97,89,83,79,73,71,67,61,11,5,3,2\rbrace$
$98,96,95,94,93,92$は$100,99$と素ではないです。
$61$を$91$に置き換えます。
$S=100+99+97+91+89+83+79+73+71+67=849$
$P=\lbrace97,89,83,79,73,71,67,13,11,7,5,3,2\rbrace$
これ以上は大きい数を置き換えられなくなったので、今、置き換えた数を別の数にすることで、更に置き換えができないか考えてみます。
$2,3,5,7$は、それぞれ$50,33,20,14$以下の数とかけても$100$以下になります。
$100$は素数$2,5$の組み合わせなので、$2,5$をそれぞれ別の数と組み合わせて、$100+67$より大きくなる$2^☆×○$と$5^{□}×△$がないか探します。
$2×47,5×19$とすることで、それぞれ$94,95$が得られ、$94+95>100+67$になります。
ここでは$2,5$とかけても$100$以下になる素数を探して割り当てました。
$S=99+97+95+94+91+89+83+79+73+71=871$
$P=\lbrace97,89,83,79,73,71,47,19,13,11,7,5,3,2\rbrace$
これ以上は大きくならなそうです。