公式解説では、偶関数について触れられており、こちらの方が簡単に解が求まりますが、
偶関数の特徴がわからなくても、剰余の定理(因数定理)の解き方がわかれば、解が導けます。
$f(x)$は$f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=5$なので、剰余の定理を使って以下のように書くことができます。
$f(x)=g(x)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+5$ $…①$
$①$の$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$を展開すると、
$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=x^4-10x^3+35x^2-50x+24$ $…②$
となり、$②$の$x^4$の係数が$1$、また、$f(x)$が$8$次式、かつ$x^8$の係数が$1$なので、
$①$の$g(x)$は以下のように書くことができます。
$g(x)=x^4+px^3+qx^2+rx+s$ $…③$
$②,③$を展開すると、
$f(x)=x^8+(p-10)x^7+(q-10p+35)x^6+(r-10q+35p-50)x^5+(s-10r+35q-50p+24)x^4+(24p-50q+35r-10s)x^3+(24q-50r+35s)x^2+(24r-50s)x+24s+5$ $…④$
となります。
$④$の奇数次の係数は$0$であることに着目すると、
$p-10=0$ $…⑤$
$r-10q+35p-50=0$ $…⑥$
$24p-50q+35r-10s=0$ $…⑦$
$24r-50s=0$ $…⑧$
になり、方程式が立てられます。
～～～以下、方程式を解きます。～～～
$⑤$より、$p=10$になります。
$p=10$を$⑥,⑦$に代入すると、
$r-10q+300=0$ $…⑥'$
$240-50q+35r-10s=0$ $…⑦'$
$24r-50s=0$ $…⑧$ (変更なし)
になります。
$⑥'$を変形して、$⑦'$に代入すると、
$10q=r+300$
$240-5(r+300)+35r-10s=0$
$30r=10s+1260$
$3r=s+126$ $…⑦''$
になります。
さらに、$⑦''$を$⑧$に代入すると、
$8(s+126)-50s=0$
$42s=8×126$
$s=24$
になります。
$s=24$を$⑦''$に代入すると、$r=50$が求まります。
$r=50$を$⑥'$に代入すると、$q=35$が求まります。
～～～ここまで、方程式を解いています。～～～
したがって、
$g(x)=x^4+10x^3+35x^2+50x+24$ $…⑨$
であることがわかりました。
$⑨$より、
$g(5)=5^4+10×5^3+35×5^2+50×5+24$
$=625+1250+875+250+24$
$=3024$
になります。$g(5)=3024$を$①$に代入すると、
$f(5)=3024×(5-1)×(5-2)×(5-3)×(5-4)+5$
$=3024×24+5$
$=72581$
となり、解を求めることができました。