$X=-a+b+c,Y=a-b+c,Z=a+b-c$と置いた場合、以下が言えます。
$XYZ=2^{100}$ $…①$
$(a,b,c)=(\frac{Y+Z}{2},\frac{Z+X}{2},\frac{X+Y}{2})$ $…②$
$①$より、$X,Y,Z$はすべて$2$のべき乗であるので、
$X=2^x,Y=2^y,Z=2^z$ $…③$
と置きます。
$①,③$より、
$x+y+z=100$ $…④$
が言えます。
$②$より、$a,b,c$すべてが整数であるためには、$X,Y,Z$がすべて偶数、またはすべて奇数であることが条件です。
言い換えると、$x≠0$かつ$y≠0$かつ$z≠0$、または$x=0$かつ$y=0$かつ$z=0$です。
$④$より$x=0$かつ$y=0$かつ$z=0$にはならないので、$X,Y,Z$はすべて偶数であることがわかります。
よって、$x,y,z≧1$です。
ここで、
$x'=x-1$ $(x'≧0)$
$y'=y-1$ $(y'≧0)$
$z'=z-1$ $(z'≧0)$
と置くと、
$x'+y'+z'=97$ $…⑤$
になります。
$⑤$は$97$個のボールを$3$つの箱に入れる問題と同じなので、解は
${}_9{}_9C_2=4851$
になります。