まず、ある$8$桁の数を$A=a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0$と表します。
$1$桁ずつに分解すると合同式は、
$10^0×a_0≡a_0$
$10^1×a_1=(11-1)×a_1≡-a_1$
$10^2×a_2=(11×9+1)×a_2≡a_2$
$10^3×a_3=(11×91-1)×a_3≡-a_3$
$10^4×a_4=(11×909+1)×a_4≡a_4$
$10^5×a_5=(11×9091-1)×a_5≡-a_5$
$10^6×a_6=(11×90909+1)×a_6≡a_6$
$10^7×a_7=(11×909091-1)×a_7≡-a_7$
になります。
なので、
$A≡-a_7+a_6-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$ $…①$
と表せます。
次に$A$の順番を入れ替えた$A'=a_0a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7$についても$①$と同様に合同式を作ると、
$A'≡-a_0+a_1-a_2+a_3-a_4+a_5-a_6+a_7$ $…②$
になります。
$①,②$より、
$A+A'≡0$
です。
$A≡0$の場合、$A+A'=0$ですが、$A≢0$の場合、$A+A'=11$です。
(上の式の$=$は正確には"イコール"ではなく、余りの和です。)
$A≡0$になる条件は、$①$と$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=36$から、$a_0+a_2+a_4+a_6=a_1+a_3+a_5+a_7=18$とわかります。
$1～8$の数から$4$つを選んで、和が$18$になる組み合わせは、
$(1,2,7,8),(1,3,6,8),(1,4,5,8),(1,4,6,7),(2,3,5,8),(2,3,6,7),(2,4,5,7),(3,4,5,6)$
の$8$通りです。 $…③$
$(a_0,a_2,a_4,a_6)$の並べ方は$4!$通りあり、$(a_1,a_3,a_5,a_7)$の並べ方も$4!$通りあります。 $…④$
$③,④$より、$A≡0$になる組み合わせは$8×(4!)^2$通りです。 $…⑤$
すべての組み合わせ$8!$通りと$⑤$より、$A≢0$になる組み合わせは$8!-8×(4!)^2$通りです。 $…⑥$
$(A,A')$と$(A',A)$は同じなので、$(A,A')$の組み合わせは$⑥$の半分$\frac{8!-8×(4!)^2}{2}$通りになり、
また、$A+A'≡11$より、解($1〜8$を並べ替えてできる$8$桁の数を$11$で割った余りの総和)は、
$11×\frac{8!-8×4!×4!}{2}=196416$
です。