公式の解説の写経です。(自分の理解用)
三角形の$3$辺の長さから面積を求めるには、ヘロンの公式を使います。
$3$辺の長さを$a,b,c$、また$s=\frac{a+b+c}{2}$とすると面積は
$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ $…①$
で求められます。
ここで、
$f(x)=1000x^3-2000x^2+1300x-273$ $…②$
と置きます。
$②$は$3$つの実数解を持つので、
$f(x)=1000(x-a)(x-b)(x-c)$ $…③$
でもあり、$f(a)=f(b)=f(c)=0$です。
次に、(解と係数の関係でも良いですが、)$③$を展開してみます。
すると、
$f(x)=1000x^3-1000(a+b+c)x^2+1000(ab+bc+ca)x-abc$ $…④$
になります。
$②$と$④$の$x^2$の係数は等しいので、
$2000=1000(a+b+c)$
$\frac{2000}{1000}=a+b+c$
$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{2000}{1000}×\frac{1}{2}$
$s=1$ $…⑤$
となり、$s$を求めることができました。
$⑤$を$②$に代入すると、
$f(s)=f(1)$
$=1000-2000+1300-273$
$=27$ $…⑥$
また、$③$より、
$f(s)=1000(s-a)(s-b)(s-c)$
であるので、
$1000(s-a)(s-b)(s-c)=27$
$(s-a)(s-b)(s-c)=\frac{27}{1000}$ $…⑦$
です。
$⑥,⑦$を$①$に代入して、面積は
$\sqrt{\frac{27}{1000}}$
となります。
したがって、解答は$1027$です。
考察：
この問題の方程式はそう簡単には解けないので、別の方向から導出する必要があります。
$a+b+c$や$(s-a)(s-b)(s-c)$がわかれば解に辿り着けることを知っていれば、
面積を求める問題から、$a+b+c$や$(s-a)(s-b)(s-c)$を求める問題に置き換えることができます。
ヘロンの公式を記憶していれば、更に思いつくのが容易かもしれません。