条件より、$x_i=y_j$になると$y=x$上に格子点$(x_i,y_j)$が来るので、$x_i≠y_j$とわかります。
また、格子点$(x_i,y_j)$が、$A$が$3$つ、$B$が$6$つになるのは以下の$3$パターンです。
$(a)$ $y_1<y_2<x_1<x_2<x_3<y_3$
$(b)$ $y_1<x_1<y_2<x_2<y_3<x_3$
$(c)$ $x_1<y_1<y_2<y_3<x_2<x_3$
$(a)〜(c)$はどれも$x_1〜x_3,y_1〜y_3$に違う数が$1$つずつ割り当てられます。
ここで、$12$個の数字から$6$個を選ぶ操作を行います。
この操作で得られる数の集合は${}_1{}_2C_6$通りです。
$(a)$であれば、得られた数の小さい方から順に$y_1,y_2,x_1,x_2,x_3,y_3$と割り当てていけばそのまま$(a)$の場合の組み合わせになります。
よって、$(a)〜(c)$の$3$通りに${}_1{}_2C_6$をかけた
$3×\frac{12×11×10×9×8×7}{6×5×4×3×2×1}$
$=2772$
が解になります。
