$a≧5b>0$より$ab≧5b^2$なので、
$5b^2≦105000$
$b^2≦21000$
$b≦\sqrt{21000}<145$
になります。
また、$105000$の素因数分解は、
$105000=2^3×3×5^4×7$
です。
素因数毎のべき乗で順に見ていきます。
・$3^0,5^0,7^0$の場合
$b=\lbrace1,2,4,8\rbrace$が条件を満たします。
・$3^0,5^1,7^0$の場合
$b=\lbrace5,10,20,40\rbrace$が条件を満たします。
・$3^0,5^2,7^0$の場合
$b=\lbrace25,50,100\rbrace$が条件を満たします。
・$3^0,5^3,7^0$の場合
$b=\lbrace125\rbrace$が条件を満たします。
・$3^0,5^4,7^0$の場合
$b=\lbrace\rbrace$が条件を満たします。(条件を満たすものなし)
まとめると、$3^0,7^0$の場合
$b=\lbrace1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100,125\rbrace$の$12$通りです。
続いて、$3$と$7$のべき乗を変えて見ていきます。
・$3=1,7=0$の場合
$\lbrace3,6,12,15,24,30,60,75,120\rbrace$の$9$通りです。
・$3=0,7=1$の場合
$\lbrace7,14,28,35,56,70,140\rbrace$の$7$通りです。
・$3=1,7=1$の場合
$\lbrace21,42,84,105\rbrace$の$4$通りです。
したがって、解は、$12+9+7+4=32$通りです。