OnlineMathContestに関する記事です。
初学者レベルなので、基本的な所から理解できていません。
公式の解説で理解できない所を自分なりに復習する目的で記事を残すことにしました。
$10^6$未満の正整数は$0$～$999999$($9$が$6$個)です。
$10^5$未満の数も先頭に$0$をつければ、広義では$6$桁の整数です。
また、「各位の和が$6$以下になる」は、「$10^0$～$10^5$のラベルが付いた$6$つの箱に$1$～$6$個のボールを入れる」に言い換えても同じです。
公式の解説を自分なりに解釈すると、
$10^0$～$10^5$の箱に加えて、「ゴミ」箱を$1$つ用意して、計$7$つの箱に$6$個のボールを入れる組み合わせを計算しています。
$6$個のボールを$7$つの箱に入れる方法は、$_{6+7-1}C_6=924$通りになります。
(ボールを箱に入れる方法について、自分の理解の為に記事にしました。)
$924$通りのうち、$0$を除外した$923$通りが正しいのですが、この問題で求めるのは組み合わせではなく総和です。
$0$を足しても値は同じなので、特に考慮しません。
$6$個のボールを箱に入れる操作を$924$回したとき、入ったボールの総和は$6×924$個です。
箱は$7$つで、すべての入れ方を網羅していることからそれぞれの箱に入るボールの個数は同じになるので、各箱には$\frac{6×924}{7}=792$個ずつボールが入ります。
このうち、「ゴミ」箱以外の箱に入った回数で総和を計算します。
$792×\Sigma_{i=0}^510^i=792×111111=87999912$。