$f(x)$も$g(x)$も$x^3$の係数が$1$であるので、
$f(x)=x^3+F_2x^2+F_1x+F_0$ $…①$
$g(x)=x^3+G_2x^2+G_1x+G_0$ $…②$
と置けます。
$①-②$を、
$h(x)=f(x)-g(x)$ $…③$
$=ax^2+bx+c$ $…③'$
と置きます。
問題文の条件の上$3$つの$g(x)$を右辺に移項して、
$h(-6)=-36$ $…④$
$h(-2)=-4$ $…⑤$
$h(2)=4$ $…⑥$
です。
$④～⑥$を$③'$を使って変形すると、
$(-6)^2×a+(-6)×b+c=-36$
$(-2)^2×a+(-2)×b+c=-4$
$(2)^2×a+(2)×b+c=4$
と表せます。
これを解いて、$a=-\frac{3}{4},b=2,c=3$となります。
$h(6)$は、
$h(6)=-\frac{3}{4}×6^2+2×6+3$
$=-27+12+3$
$=-12$
です。
問題文より、
$f(6)=96$
です。
$③$より$g(x)=f(x)-h(x)$なので、
$g(6)=f(6)-h(6)$
$=96-(-12)$
$=108$
となります。
問題ではすべての$g(6)$の和を問われていますが、考えられる値は$1$つしかないので、
解も$108$となります。