以前にも$mod$ $11$に関する問題を解いたことがありましたが、同じ考え方で解くことができます。
$A=a_{10}a_9a_8a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0$と置き、$A$を$1$桁ずつ見ていきます。
$a_0=10^0×a_0≡a_0$
$a_1=10^1×a_1=(11-1)×a_1≡-a_1$
$a_2=10^2×a_2=(11×9+1)×a_2≡a_2$
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のように表せるので、
$A≡a_{10}-a_9+a_8-a_7+a_6-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0=0$ $…①$
になります。
(すべての桁が$0$と$1$なので、$11$より小さくなるので、$≡0$ではなく$=0$と言っても問題ありません。)
$①$を変形すると、
$a_{10}+a_8+a_6+a_4+a_2+a_0=a_9+a_7+a_5+a_3+a_1$ $…②$
となります。
また、問題文の条件より$a_{10}=1$なので、
$1+a_8+a_6+a_4+a_2+a_0=a_9+a_7+a_5+a_3+a_1$ $…②'$
です。
$②'$の左辺の$1$の個数と右辺の$1$の個数が同じであれば良いので、
両辺が$1$の場合、
${}_5C_0×_5C_1=1×5=5$
両辺が$2$の場合、
${}_5C_1×_5C_2=5×10=50$
両辺が$3$の場合、
${}_5C_2×_5C_3=10×10=100$
両辺が$4$の場合、
${}_5C_3×_5C_4=10×5=50$
両辺が$5$の場合、
${}_5C_4×_5C_5=5×1=5$
になります。
よって、解は$5+50+100+50+5=210$です。
公式解説では、$②'$を求めた後、もっと効率良い方法で解いています。
$②'$において、左辺の$a_{10}$を除く$1$の個数と右辺の$0$の個数の和は常に$4$個なので、
${}_1{}_0C_4 = \frac{10×9×8×7}{4×3×2×1}=210$
になるということです。
確認すると、
両辺が$1$の場合、左辺は$a_{10}$を除く$1$が$0$個、右辺は$0$が$4$個。
両辺が$2$の場合、左辺は$a_{10}$を除く$1$が$1$個、右辺は$0$が$3$個。
両辺が$3$の場合、左辺は$a_{10}$を除く$1$が$2$個、右辺は$0$が$2$個。
両辺が$4$の場合、左辺は$a_{10}$を除く$1$が$3$個、右辺は$0$が$1$個。
両辺が$5$の場合、左辺は$a_{10}$を除く$1$が$4$個、右辺は$0$が$0$個。
となるので、
確かに$10$個から$4個$を選ぶ${}_1{}_0C_4$でも解を導けることがわかりました。