$79$は素数なので、フェルマーの小定理
$a^p≡a$ $(mod$ $p)$
を使うと、
$1^{79}+3^{79}+…(2n+1)^{79}$
$≡1+3+…+(2n+1)$ $…①$
と書くことができます。
$①$の右辺は、
$\Sigma_{k=0}^n(2k+1)=2\Sigma_{k=0}^nk+(n+1)$
$=n(n+1)+(n+1)$
$=(n+1)^2$
です。
$79$は素数なので、$1$と$79$でしか割り切れないので、$n+1=79$のときが$79$で割り切れる最小になります。
したがって、解は$78$です。
ここまでは公式解説(動画解説含む)と同じなのですが、
$1$つ気になるのが、$n=78$なので、$2n+1=157>79$であることです。
$n=39$($2n+1=79$)のとき、$79^{79}≡0$となりますが、$0≡79$なので、$79^{79}≡79$としても良いことがわかります。
では、$n≧40$の場合はどうでしょうか?
$n=40$のとき、$2n+1=81$となり、二項定理を使って展開すると、
$81^{79}=(2+79)^{79}$
$={}_7{}_9C{}_0×2^{79}×79^0+{}_7{}_9C{}_1×2^{78}×79^1+…+{}_7{}_9C{}_7{}_9×2^0×79^{79}$
$≡2^{79}$
$≡2$
となり、$2≡81$なので、この場合も$81^{79}≡81$として問題はありません。
同じ調子で$41$以上の場合も$(2k+1)^{79}≡2k+1$として良さそうです。