$f(x)=x^2-1001x+1001^2$とします。
変形して、
$f(x)=1001^2-x(1001-x)$
と置くことができ、$1≦x≦1000$のどの値でも$x<1001,1001-x<1001$なので、$f(x)>0$が言えます。
$f(x)>0$かつ$\frac{a^2-1001a+1001^2}{b^2-1001b+1001^2}=\frac{f(a)}{f(b)}$なので、$f(a)$が最大、$f(b)$が最小になるときが最大になります。
$f(x)$は下に凸の$2$次関数で、平方完成すると
$f(x)=(x-\frac{1001}{2})^2+C$ $(C$は定数$)$
です。
$x=\frac{1001}{2}$のとき、$f(x)$が最下点になり、$1<\frac{1001}{2}<1000$です。
また、$500<\frac{1001}{2}<501$です。
したがって、$f(x)$か最大になるのは$x=1,1000$のどちらか、または両方、最小になるのは$x=500,501$のどちらか、または両方です。
$f(1)=1^2-1001×1×1001^2$
$=1001^2-(1001-1)×1$
$=1001^2-1000$
$f(1000)=1000^2-1001×1000+1001^2$
$=1001^2-(1001-1000)×1000$
$=1001^2-1000$
$f(500)=500^2-1001×500+1001^2$
$=1001^2-(1001-500)×500$
$=1001^2-500×501$
$f(501)=501^2-1001×501+1001^2$
$=1001^2-(1001-501)×501$
$=1001^2-500×501$
$f(1)=f(1000),f(500)=f(501)$となるので、$(a,b)=\lbrace(1,500),(1,501),(1000,500),(1000,501)\rbrace$になります。
したがって、
$(1+1000)×2+(500+501)×2$
$=4004$
が解になります。
