$a_{5}≦5$、$a_{10}≦10$である広義単調増加な$(a_{0},a_{1},...,a_{10})$の組み合わせなので、
上図の$a_{0}$の左側の$0$の位置をスタートし、$a_{10}$の右側の$10$の位置をゴールとする経路問題です。
ただし、$a_{5}$を通るときに$0～5$である必要があります。
$a_{5}=0$を通る場合の組み合わせは、
${}_5C_5×{}_1{}_5C_5$
$=\frac{15×14×13×12×11}{5×4×3×2×1}$
$=3003$通りです。
$a_{5}=1$は、
${}_6C_5×{}_1{}_4C_5$
$=\frac{6}{1}\frac{14×13×12×11×10}{5×4×3×2×1}$
$=12012$通りです。
$a_{5}=2$は、
${}_7C_5×{}_1{}_3C_5$
$=\frac{7×6}{2×1}\frac{13×12×11×10×9}{5×4×3×2×1}$
$=27027$通りです。
$a_{5}=3$は、
${}_8C_5×{}_1{}_2C_5$
$=\frac{8×7×6}{3×2×1}\frac{12×11×10×9×8}{5×4×3×2×1}$
$=44352$通りです。
$a_{5}=4$は、
${}_9C_5×{}_1{}_1C_5$
$=\frac{9×8×7×6}{4×3×2×1}\frac{11×10×9×8×7}{5×4×3×2×1}$
$=58212$通りです。
$a_{5}=5$は、
${}_1{}_0C_5×{}_1{}_0C_5$
$=\frac{10×9×8×7×6}{5×4×3×2×1}\frac{10×9×8×7×6}{5×4×3×2×1}$
$=63504$通りです。
したがって、解は、
$3003+12012+27027+44352+58212+63504=208110$
となります。
余談ですが、
公式解説では、$\frac{{}_2{}_1C_1{}_0+(_1{}_0C_5)^2}{2}$と書かれています。
${}_2{}_1C_1{}_0$は、$a_5=0～10$すべてを通ったときの組み合わせです。
それから、$a_5=0$を通るときの組み合わせは${}_5C_5×{}_1{}_5C_5$で、$a_5=10$を通るときの組み合わせは${}_1{}_5C_5×{}_5C_5$です。(計算の順序は変わっていますが、結果は同じです。)
$a_5=1$と$a_5=9$を通る場合も同じになります。
ということで、$a_5=0～4$を通る場合と$a_5=10～6$を通る場合の組み合わせは同じです。
($a_5=5$の場合だけペアがありません。)
したがって、途中の計算は省きますが、
$\frac{{}_2{}_1C_1{}_0+(_1{}_0C_5)^2}{2}$は、$a_5=0～5$を通った場合の和ということになります。