はじめまして、りょーつといいます。高専出身の博士課程1年生です。研究の専門は力学や機構学で、Qiitaでは主に制御工学や数学に関する記事を書いています。
最近は数学に関する単発ネタで記事を書いていて，これまでに以下のような記事を書きました．興味があれば読んでみてください～．
①ウォリス積分の基礎
②ウォリス積分の応用
③n次元球のイメージについて
④四次元球の体積の計算
⑤ガウス積分
⑥ガンマ関数
⑦非自然数の階乗
⑧N階積分
⑨非整数階積分
⑩ベータ関数
⑪積分の半群性
⑫非整数階微分
⑬Mittag-Leffler関数
目次
1.はじめに
2.多項式のラプラス変換
3.多項式のラプラス変換の一般化
4.Mittag-Leffler関数のラプラス変換
5.おわりに
1. はじめに
今回の記事では，多項式のラプラス変換について紹介します．ラプラス変換は微分積分の操作を演算子$s$の掛け算割り算に変更できるツールであり，微分方程式の解析や制御工学で応用されています．関数$f = f(t)$のラプラス変換$\displaystyle \mathcal{L}[f(t)]$はラプラス演算子$s$を用いて以下の積分で定義されます．
\displaystyle \mathcal{L}[f(t)]
=
\int_{0}^{\infty}
f(t)
e^{-st}
dt
\tag{1}
本記事では$f(t)$が多項式$f(t) = t^\alpha$のとき，ラプラス変換の計算結果がどうなるのかについて考えようと思います．第2章では$\alpha$が自然数のとき，第3章では$\alpha$が自然数ではないときについて考え，第4章では多項式$f(t) = t^\alpha$の級数で定義されるMittag-Leffler関数のラプラス変換を計算します．Mittag-Leffler関数の定義については前回の記事をご覧ください．
2. 多項式のラプラス変換
本章では非負の整数を$n$としたときに
f(t)
=
t^n
\tag{2}
となる関数のラプラス変換を計算してみます．ここでは漸化式を用いたものについて考えてみましょう．各$n$におけるラプラス変換の結果を以下のように定義します．
I_n
=
\displaystyle \mathcal{L}[t^n]
=
\int_{0}^{\infty}
t^n
e^{-st}
dt
\tag{3}
このとき，初期値$I_0$は以下のように計算できます．ただし，$s$の実部が$\mathrm{Re}(s)>0$とします．
I_0
=
\displaystyle \mathcal{L}[1]
=
\int_{0}^{\infty}
e^{-st}
dt
=
\bigg[
-\frac{1}{s}e^{-st}
\bigg]_0^\infty
=
\frac{1}{s}
\tag{4}
また，(3)式を$1 \leq n$において部分積分すると以下のような漸化式が得られます．
I_n
=
\int_{0}^{\infty}
t^n
e^{-st}
dt
=
\bigg[
-\frac{1}{s} t^n e^{-st}
\bigg]_0^\infty
+
\frac{n}{s}
\int_{0}^{\infty}
t^{n-1} e^{-st}
dt
=
\frac{n}{s}I_{n-1}
\tag{5}
したがって，(5)式を(4)式の初期条下で展開すると以下の結果が得られます．
I_n
=
\frac{n}{s}
I_{n-1}
=
\frac{n}{s}
\frac{n-1}{s}
I_{n-2}
=
\cdots
=
\frac{n}{s}
\frac{n-1}{s}
\cdots
\frac{2}{s}
\frac{1}{s}
I_0
\therefore
\displaystyle \mathcal{L}[t^n]
=
\frac{n!}{s^n}
I_0
=
\frac{n!}{s^{n+1}}
\tag{6}
この結果はラプラス変換表などにも登場する，よく知られたものとなります．
3. 多項式のラプラス変換の一般化
本章では2章の結果をもとに，非負の実数$\alpha > 0$における$\displaystyle \mathcal{L}[t^\alpha]$を計算してみます．先に結果を示しておくと，以下のようになることが知られています．
\displaystyle \mathcal{L}[t^\alpha]
=
\frac{\Gamma(\alpha + 1)}{s^{\alpha + 1}}
\tag{7}
ガンマ関数が階乗の一般化であることを踏まえれば，たしかに妥当な気もしますが，念のため証明しておきましょう．ここでは，ガンマ関数の定義を用いて証明します．
ガンマ関数$\Gamma(p)$の定義は以下のとおりです．
\Gamma(p)
=
\int_{0}^{\infty}
t^{p-1}
e^{-t}
dt
\tag{8}
では(8)式を踏まえて(7)式の左辺を展開してみましょう．ラプラス変換の定義より
\displaystyle \mathcal{L}[t^\alpha]
=
\int_{0}^{\infty}
t^{\alpha}
e^{-st}
dt
\tag{9}
です．いきなりガンマ関数みたいな形が出てきましたね．$e$の指数が(8)式とそろうように以下の置換積分をしてみましょう．積分区間は変更なしです．
u
=
st
\tag{10}
du
=
s \ dt
\tag{11}
(10)式，(11)式を(9)式に代入すると
\displaystyle \mathcal{L}[t^\alpha]
=
\int_{0}^{\infty}
\bigg(
\frac{u}{s}
\bigg)^{\alpha}
e^{-u}
\frac{1}{s}
du
=
\frac{1}{s^{\alpha + 1}}
\int_{0}^{\infty}
u^{(\alpha + 1) - 1}
e^{-u}
du
\tag{12}
になります．
ここで(12)式の積分は(8)式のガンマ関数の定義において$p = \alpha + 1$とした場合に一致します．よってガンマ関数を使うことで
\displaystyle \mathcal{L}[t^\alpha]
=
\frac{\Gamma(\alpha + 1)}{s^{\alpha + 1}}
\tag{13}
であることが分かりました．
4. Mittag-Leffler関数のラプラス変換
本章ではMittag-Leffler関数$E_{\alpha, \beta}(t)$のラプラス変換をしてみたいと思います．Mittag-Leffler関数$E_{\alpha, \beta}(t)$は以下のように級数で定義される関数です．
E_{\alpha, \beta}(x)
=
\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{x^k}{\Gamma(k\alpha + \beta)}
\tag{14}
ただし，$\beta$は自然数とします．
特に前回の記事で登場したように，非整数階の微分方程式を考えるうえでは$E_{\alpha, \beta}(x)$を少し変形した$t^{\beta-1} E_{\alpha, \beta}(t^\alpha)$が重要です．
本章では$t^{\beta-1} E_{\alpha, \beta}(t^\alpha)$のラプラス変換もしてみたいと思います．
g(t)
=
t^{\beta-1} E_{\alpha, \beta}(t^\alpha)
=
t^{\beta-1}
\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{t^{\alpha k}}{\Gamma(k\alpha + \beta)}
\tag{14}
とします．本章ではこの関数$g(t)$をラプラス変換してみましょう．基本的には(13)式の解を拡張するだけで問題ありません．
\displaystyle \mathcal{L}[g(t)]
=
\int_{0}^{\infty}
g(t)
e^{-st}
dt
=
\int_{0}^{\infty}
t^{\beta-1}
\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{t^{\alpha k}}{\Gamma(k\alpha + \beta)}
e^{-st}
dt
\tag{15}
あまり深いことは考えずに(15)式の級数と積分を入れ替えると
\displaystyle \mathcal{L}[g(t)]
=
\sum_{k=0}^{\infty}
\int_{0}^{\infty}
\frac{t^{\alpha k + \beta - 1}}{\Gamma(k\alpha + \beta)}
e^{-st}
dt
=
\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{1}{\Gamma(k\alpha + \beta)}
\int_{0}^{\infty}
t^{\alpha k + \beta - 1}
e^{-st}
dt
=
\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{1}{\Gamma(k\alpha + \beta)}
\displaystyle \mathcal{L}[t^{\alpha k + \beta - 1}]
\tag{16}
(16)式の右辺に(13)式を代入することで以下が得られます．
\displaystyle \mathcal{L}[g(t)]
=
\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{1}{\Gamma(k\alpha + \beta)}
\frac{\Gamma(k \alpha + \beta)}{s^{\alpha k + \beta}}
=
\frac{1}{s^\beta}
\sum_{k=0}^{\infty}
s^{-\alpha k}
\tag{17}
ここでラプラス演算子$s$を等比数列$a_k = s^{-\alpha k}$が収束するように取ったとしたら
\sum_{k=0}^{\infty}
s^{-\alpha k}
=
\lim_{n\to \infty}
\frac{1-s^{-n\alpha}}{1-s^{-\alpha}}
=
\frac{1}{1-s^{-\alpha}}
=
\frac{s^\alpha}{s^\alpha - 1}
\tag{18}
であることから，
\displaystyle \mathcal{L}[g(t)]
=
\frac{1}{s^\beta}
\frac{s^\alpha}{s^\alpha - 1}
=
\frac{s^{\alpha-\beta}}{s^\alpha - 1}
\tag{19}
のようにラプラス変換できます．
まとめると
\displaystyle \mathcal{L}[t^{\beta - 1} E_{\alpha, \beta}(t^\alpha)]
=
\frac{s^{\alpha-\beta}}{s^\alpha - 1}
\tag{20}
になることが分かりました！
5. おわりに
本稿では，多項式のラプラス変換についてひととおり紹介し，非整数階の微分方程式を考える上で重要なMittag-Leffler関数の派生形$E_{\alpha, \beta}(t^\alpha)$のラプラス変換を計算しました．今度はこれを使って非整数階の微分方程式を解いてみたいなと思います．
今週も最後まで読んでいただき，ありがとうございました！