はじめまして、りょーつといいます。高専出身の博士課程1年生です。研究の専門は力学や機構学で、Qiitaでは主に制御工学や数学に関する記事を書いています。
本稿では，関数を何度も積分するとどうなるのか？について考えてみたいと思います．最近はこんな感じの数学に関する単発ネタで記事を書いていて，これまでに以下のような記事を書きました．興味があれば読んでみてください～．
①ウォリス積分の基礎
②ウォリス積分の応用
③n次元球のイメージについて
④四次元球の体積の計算
⑤ガウス積分
⑥ガンマ関数
⑦非自然数の階乗
目次
1. はじめに
今回の記事では，関数を何度も積分するとどうなるのか？について考えてみたいと思います．最終的なゴールとしては非整数階の微分について考えたいと思うのですが，その定義としてまずは非整数階の積分を考える必要があるようです．そして，非整数階の積分を考えるために，まずは整数階の積分を一般化しておく必要があるので，今回の記事ではN階積分に注目しようと思います．
重積分の積分順序の交換の知識を使うので，大学の講義などで解析学を学んだことがあれば理解しやすいと思います．
2. 重積分
本章ではある関数を2回積分したときに何が起こるか考えてみようと思います．積分を表す演算子を$I$，被積分関数を$f = f(x)$とすると，1階積分は以下のように定式化できます．積分区間は$a \leq t \leq x$でもいいのですが，簡単のために$0 \leq t \leq x$としています．
If(x)
=
\int_{0}^{x} f(t) dt
\tag{1}
同じノリで2階の積分は以下のように表記できますね．積分結果をもう一回脳死で積分している様子が見えると思います．
I^2f(x)
=
\int_{0}^{x} If(t) dt
=
\int_{0}^{x}
\int_{0}^{t}
f(s)
ds
\
dt
\tag{2}
ここで結論を述べると，(2)式は以下のように簡略化することが可能です．
I^2f(x)
=
\int_{0}^{x}
(x-t)
f(t)
dt
\tag{3}
本章では(2)式から(3)式を導出してみます．まずは積分領域について検討してみましょう．2つの変数$s$と$t$が$0 \leq s \leq t$，$0 \leq t \leq x$の範囲で移動することが分かりますね．図1にこの領域について図示してみました．
図1 積分領域
では，図1の領域を$s$と$t$を反転させて表記できないものでしょうか？これは可能です．
図1をよく見ると，このような領域は$0 \leq s \leq x$，$s \leq t \leq x$というふうに書き換えられることが分かります．このような結果をもとに，$s \to t$の順番で記述された(2)式を$t \to s$の順番に書きなおしてみましょう．
I^2f(x)
=
\int_{0}^{x}
\int_{s}^{x}
f(s)
dt
\
ds
\tag{4}
ここで重要なのは，積分の順番(領域の表し方)が変わっただけで，変数は変化しない点です．そのため，(4)式の$f(s)$は$t$に関する積分を突破することができます．したがって，(4)式を以下のように変形することで，(3)式が得られます．
\int_{0}^{x}
\int_{s}^{x}
f(s)
dt
\
ds
=
\int_{0}^{x}
f(s)
\bigg(
\int_{s}^{x}
dt
\bigg)
\
ds
=
\int_{0}^{x}
(x-s)
f(s)
ds
\therefore
\int_{0}^{x}
\int_{s}^{x}
f(s)
dt
\
ds
=
\int_{0}^{x}
(x-t)
f(t)
dt
\tag{5}
2階の積分も結局1階の積分で記述できるという点に美しさを感じますよね．次章ではこれをN階に拡張します．
3. N階積分
本章では2章の内容をN階積分に拡張してみましょう．先に結論を述べておくと，N階積分も結局は以下のような1階の積分にまとめることができます．
I^N f(x)
=
\frac{1}{(N-1)!}
\int_{0}^{x}
(x-t)^{N-1}
f(t)
dt
\tag{6}
なんだか既視感がありますね．第2章で$N=2$の場合が成立することを示したので，本章では数学的帰納法で(6)式が一般に成立することを示します．
まずは，N階積分が(6)式のように定義できるということを仮定し，N+1階積分を考えてみましょう．(2)式と同様の手順で，以下のように書くことができます．
I^{N+1} f(x)
=
\int_{0}^{x}
I^{N} f(t)
dt
=
\int_{0}^{x}
\frac{1}{(N-1)!}
\int_{0}^{t}
(t-s)^{N-1}
f(s)
ds
\
dt
\tag{7}
ここで，第2章と同様に積分順序の変更をしてみましょう．積分領域が(4)式と同じように変化します．
I^{N+1} f(x)
=
\int_{0}^{x}
\frac{1}{(N-1)!}
\int_{s}^{x}
(t-s)^{N-1}
f(s)
dt
\
ds
\tag{8}
あとは変数に注意しながら積分あるのみです．
\int_{0}^{x}
\frac{1}{(N-1)!}
\int_{s}^{x}
(t-s)^{N-1}
f(s)
dt
\
ds
=
\int_{0}^{x}
\frac{1}{(N-1)!}
f(s)
\bigg(
\int_{s}^{x}
(t-s)^{N-1}
dt
\bigg)
ds
=
\int_{0}^{x}
\frac{1}{(N-1)!}
f(s)
\bigg[
\frac{1}{N}
(t-s)^N
\bigg]_s^x
ds
=
\int_{0}^{x}
\frac{1}{N!}
(t-s)^N
f(s)
ds
\tag{9}
(9)式の右辺は(6)式のNをN+1にした場合の右辺に対応しているので，帰納法的に正しそうですね．
このようにして，N階の積分は(6)式のような1階の積分にまとめられることが分かりました(^▽^)/
4. おわりに
本稿ではN階積分について考えてみました．講義では，テイラー展開とかするときにN階微分について考えたりすることは多い一方で，N階の積分についてはあんまり考えたことがなかったのではないでしょうか？
少しでも面白いなって感じてもらえたら幸いです．
今週も最後まで読んでいただき，ありがとうございました！