はじめまして、りょーつといいます。高専出身の大学院2年生です。研究の専門は力学や機構学で、Qiitaでは主に制御工学や数学に関する記事を書いています。
本稿は$n$次元の球の体積と表面積を求めるために必要な数学の知識として，「ガンマ関数」を使った非自然数の階乗の計算について紹介する記事です．そのほかにもいろいろな知識が必要であり，これまでにウォリス積分やガウス積分を解説してきました．
前回までの記事は以下を参照ください．
①ウォリス積分の基礎
②ウォリス積分の応用
③n次元球のイメージについて
④四次元球の体積の計算
⑤ガウス積分
⑥ガンマ関数
目次
1.はじめに
2.ガンマ関数とガウス積分
3.非自然数の階乗の例
4.おわりに
1. はじめに
今回の記事では，ガンマ関数を使用した非自然数の階乗の具体例について紹介してみようと思います．$n$次元球の体積を記述する際にも登場します．2つ前の記事で紹介したガウス積分の知識が必要になるので，復習しておいてください～．
2. ガンマ関数とガウス積分
本章ではガンマ関数とガウス積分の関係について紹介します．厳密には，ガンマ関数のある値を計算するときにガウス積分が登場する，という流れになります．本章で紹介する関係式はコチラです．
\Gamma
\bigg(
\frac{1}{2}
\bigg)
=
\sqrt{\pi}
\tag{1}
なんだか円周率がでてきて美しいですね．早速証明してみましょう．
本章で重要になるのは，ガンマ関数$\Gamma(x)$とガウス積分です．それぞれについて公式を掲載しておきます．
\Gamma(x)
=
\int_0^\infty
t^{x-1}
e^{-t}
dt
\tag{2}
\int_0^\infty
e^{-x^2} dx
=
\frac{\sqrt{\pi}}{2}
\tag{3}
では実際に証明してみましょう．まずは(2)式に$x=\frac{1}{2}$を代入します．
\Gamma
\bigg(
\frac{1}{2}
\bigg)
=
\int_0^\infty
t^{-\frac{1}{2}}
e^{-t}
dt
\tag{4}
ここで置換積分をしましょう．以下のような変数変換を行います．
t = u^2
\tag{5}
dt = 2u du = 2t^{\frac{1}{2}} du
\tag{6}
積分区間は変化しません．(5)式と(6)式を(4)式に代入すると，右辺がガウス積分になることが分かりますね．
\Gamma
\bigg(
\frac{1}{2}
\bigg)
=
\int_0^\infty
2
t^{-\frac{1}{2}}
e^{-u^2}
t^{\frac{1}{2}}
du
=
2
\int_0^\infty
e^{-u^2}
du
\tag{7}
あとは(7)式に(3)式を代入することで，(1)式が得られます(^▽^)/
これが非自然数の階乗の有名な例です．
3. 非自然数の階乗の例
ガンマ関数の性質を使うと，$\frac{1}{2}$に比例した値の階乗を計算することができます．その計算公式は以下のようになります．
\Gamma
\bigg(
\frac{2n + 1}{2}
\bigg)
=
\frac{\sqrt{\pi}}{2^n}
(2n - 1)!!
\tag{8}
なお，$n \in \mathbb{N}$です．(8)式の証明には，ガンマ関数の重要な性質である
\Gamma(x+1)
=
x
\Gamma(x)
\tag{9}
を使用します．いきなり(8)式を考えるのではなく，分かりやすい例から傾向をつかんでみましょう．
手始めに$\Gamma\big( \frac{3}{2} \big)$を計算してみます．(9)式の関係と，(1)式の初期値をもとに，以下がなりたちます．
\Gamma
\bigg(
\frac{3}{2}
\bigg)
=
\frac{1}{2}
\Gamma
\bigg(
\frac{1}{2}
\bigg)
=
\frac{\sqrt{\pi}}{2}
\tag{10}
また，同じ流れで
\Gamma
\bigg(
\frac{5}{2}
\bigg)
=
\frac{3}{2}
\Gamma
\bigg(
\frac{3}{2}
\bigg)
=
\frac{3\sqrt{\pi}}{2^2}
\tag{11}
\Gamma
\bigg(
\frac{7}{2}
\bigg)
=
\frac{5}{2}
\Gamma
\bigg(
\frac{5}{2}
\bigg)
=
\frac{5\cdot 3\sqrt{\pi}}{2^3}
\tag{12}
\vdots
となることが分かりますね．傾向からして(8)式が成立しそうですが，数学的帰納法でたしかめておきます．
(8)式において，$n=1$のとき，
\Gamma
\bigg(
\frac{2\cdot 1 + 1}{2}
\bigg)
=
\Gamma
\bigg(
\frac{3}{2}
\bigg)
=
\frac{\sqrt{\pi}}{2^1}
(2\cdot 1 - 1)!!
=
\frac{\sqrt{\pi}}{2}
\tag{13}
であり，(13)式と一致します．
また，ある$n = N$において(8)式が成立するとき，$n = N+1$でも
\Gamma
\bigg(
\frac{2(N+1) + 1}{2}
\bigg)
=
\Gamma
\bigg(
\frac{2N + 1}{2} + 1
\bigg)
=
\frac{2N + 1}{2}
\Gamma
\bigg(
\frac{2N + 1}{2}
\bigg)
=
\frac{2N + 1}{2}
\frac{\sqrt{\pi}}{2^N}
(2N - 1)!!
=
\frac{\sqrt{\pi}}{2^{(N+1)}}
(2N + 1)!!
=
\frac{\sqrt{\pi}}{2^{(N+1)}}
(2(N+1) - 1)!!
\tag{14}
により(8)式が成立します．したがって，帰納的に(8)式が成立すると分かりました．
このようにあるガンマ関数の値が明らかになると，連鎖的にその他の値も分かるようになります．面白いですよね．$n$次元の球体の体積計算にもこのような性質が登場します．
4. おわりに
今回の記事では，ガンマ関数とガウス積分を用いて，$\Gamma \big( \frac{1}{2} \big)$の値を計算しました．また，その結果をもとにして，連鎖的に$\Gamma \big( \frac{2n + 1}{2} \big)$の計算をしました．はじめはよく分からない積分で定義されたガンマ関数でしたが，このように性質を知っていくと面白そうに感じられるかなあと思います．
来週はガンマ関数を使った公式をもう1つほど証明しようかなと思います．今週も最後まで読んでいただき，ありがとうございました～