四次元球の体積の計算

　はじめまして、りょーつといいます。高専出身の大学院2年生です。もうすぐ博士課程1年生になります．研究の専門は力学や機構学ですが，Qiitaでは主に制御工学や数学に関する記事を書いています。今週は，高専に通っていた頃にお世話になった数学の先生から教わった，$n$次元球の話をまとめてみようと思います．

目次

1.はじめに
2.積分を用いた球の体積の計算
3.四次元球の体積
4.おわりに

1. はじめに

　今回は四次元球の体積を計算してみたいと思います．四次元の球は図で可視化することはできませんが，円や球の方程式を四次元に拡張したものとして，以下のベクトル方程式で表現できます．

|| \boldsymbol{x} ||
=
r,
\ \ \ \
\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^4
\tag{1}

なお，$r$は四次元球の半径を意味しています．この可視化できないものの体積をどのように定義するのか，というのが今週の記事の主なテーマとなります．

　前回の記事で，$n$次元球のノリについて解説しているので，そちらもぜひご参照ください．

2. 積分を用いた球の体積の計算

　本章では，四次元球の体積計算の基礎となる，積分を用いた球の体積計算の復習をします．特にスケール比の話は重要になります．前回の記事で，球の体積$V_3$が，以下の積分で与えられることを確認しました．

V_3
=
\int
dV_3
=
\int_{-r}^r
\pi \Big(\sqrt{r^2 - t^2} \Big)^2 \ dt
\tag{2}

図1　球の体積計算

ここで，(2)式を少し変形して，円の面積$V_2 = \pi r^2$を用いて表してみましょう．

V_3
=
\int_{-r}^r
\pi \Bigg(r\sqrt{1 - \bigg(\frac{t}{r}\bigg)^2} \Bigg)^2 \ dt
=
\int_{-r}^r
\pi r^2 \Bigg(\sqrt{1 - \bigg(\frac{t}{r}\bigg)^2} \Bigg)^2 \ dt
=
V_2
\int_{-r}^r
\Bigg(\sqrt{1 - \bigg(\frac{t}{r}\bigg)^2} \Bigg)^2  \ dt
\tag{3}

(3)式は，球を分割してできた円板の断面の半径は，球の半径の$\sqrt{1 - \bigg(\frac{t}{r}\bigg)^2}$倍になることを意味しています(面積だから2乗で効いてくる)．

さらに以下のような置換積分をしてみましょう．

t = r \sin{\theta}
\tag{4}

dt = r \cos{\theta} \ d\theta
\tag{5}

積分区間は$-r$～$r$から$-\frac{\pi}{2}$～$\frac{\pi}{2}$に変化します．偶関数の性質を使うと以下のように変形できるかと思います．

V_3
=
V_2
\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}
\Bigg(\sqrt{1 - \mathrm{sin}^2 \theta} \Bigg)^2 r \cos{\theta}  \ d\theta
=
V_2
\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}
\Bigg(\sqrt{\mathrm{cos}^2 \theta} \Bigg)^2 r \cos{\theta}  \ d\theta
=
r V_2
\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}
\mathrm{cos}^3 \theta  \ d\theta

\therefore
V_3
=
2r V_2
\int_0^\frac{\pi}{2}
\mathrm{cos}^3 \theta  \ d\theta
\tag{6}

いちおう(6)式をウォリス積分を駆使して計算しておくと，以下のような答えが得られます．

V_3
=
2r V_2
\int_0^\frac{\pi}{2}
\mathrm{cos}^3 \theta  \ d\theta
=
2r V_2
\times
\frac{2}{3}
=
\frac{4}{3}\pi r^3
\tag{7}

誰もが知る球の体積の計算式ですよね！

　計算結果も大事ですが，ここで重要なのは(6)式が漸化式のような形式になっていることです．これについては次章でもう少し詳しく紹介します．

3. 四次元球の体積

　本章では，四次元球の体積を求めてみようと思います．そのためにまずは，2章に登場した(6)式について解析していきます．
　(6)式に登場するのは係数$2$，半径$r$，円の面積$V_2$，スケールに関する変数$\cos{\theta}$です．まず，係数の$2$は，偶関数の積分における対称性で登場します．そして，半径$r$と$\cos{\theta}$は(4)(5)式の置換によって登場します．残った$\mathrm{cos}^2 \theta$は円の面積のスケール調整(もともと$\Bigg(r\sqrt{1 - \bigg(\frac{t}{r}\bigg)^2} \Bigg)^2 $倍と表記されていた部分)になります．
　これらの関係を基に(6)式を4次元に拡張すると，以下の関係が得られそうですね．

V_4
=
2r V_3
\int_0^\frac{\pi}{2}
\mathrm{cos}^4 \theta  \ d\theta
\tag{8}

実際に計算してみましょう．ウォリス積分を使えばすぐに答えが出ます．

V_4
=
2r V_3
\times
\frac{3}{4}
\times
\frac{1}{2}
\times
\frac{\pi}{2}
=
\frac{3}{8}\pi r V_3
=
\frac{3}{8}\pi r
\times
\frac{4}{3}\pi r^3

\therefore
V_4
=
\frac{1}{2}\pi^2 r^4
\tag{9}

なんとなくノリがつかめてきたでしょうか？$n$次元の球の場合でも，(6)式や(8)式のように漸化式を作ることができます．$n$次元の球を分割すると，たくさんの$n-1$次元の球が生成されるイメージです．これについては次週計算していきたいと思います．

V_n
=
2r V_{n-1}
\int_0^\frac{\pi}{2}
\mathrm{cos}^n \theta  \ d\theta
\tag{10}

4. おわりに

　今回の記事では，四次元球の体積を計算してみました．ウォリス積分を知っている&(10)式のパターンに気が付いたら思ったより簡単ですよね．ただし，$n$次元に拡張しようとすると，漸化式を解かないといけない&ウォリス積分の計算結果が奇数と偶数で変化するというやっかいな性質があるので，これについてはまた詳しく説明したいなと思います．
　今週も最後まで読んでいただきありがとうございました～