ウォリス積分の応用

　はじめまして、りょーつといいます。高専出身の大学院2年生です。もうすぐ博士課程1年生になります．研究の専門は力学や機構学ですが，Qiitaでは主に制御工学や数学に関する記事を書いています。今週も，何気に知っていると便利なウォリス積分の計算について紹介します．

目次

1.はじめに
2.ウォリス積分の復習
3.ウォリス積分の積分区間変更
4.ウォリス積分の周期積分
5.おわりに

1. はじめに

　今回はウォリス積分の周期積分について紹介します．具体的には以下の計算式の解を導出します．

I
=
\int_0^{2\pi}
\mathrm{sin}^n \theta \ d\theta
\tag{1}

J
=
\int_0^{2\pi}
\mathrm{cos}^n \theta \ d\theta
\tag{2}

これらの計算式は力学や数学をやっていると，たまに見ます．来週解説予定の$n$次元球体の体積の計算にも出てきます(多分)．前回の記事で紹介した積分とは，積分区間が異なります．少し符号に注意しないといけないので，詳しく解説する予定です．

2. ウォリス積分の復習

　まずは前回の記事で紹介した内容を軽く復習します．前回の記事では以下の2式の解を求めました．

I_n
=
\int_0^\frac{\pi}{2}
\mathrm{sin}^n \theta \ d\theta
\tag{3}

J_n
=
\int_0^\frac{\pi}{2}
\mathrm{cos}^n \theta \ d\theta
\tag{4}

積分区間が$0$から$\frac{\pi}{2}$であることに注意してください．(3)式と(4)式の解は$n$が奇数か偶数かによって場合分けする必要があり，以下のように与えられます．導出過程は前回の記事をご参照ください．

I_n = \left\{
\begin{array}{ll}
\frac{(n-1)!!}{n!!} \frac{\pi}{2} & (n = 2k)\\
\frac{(n-1)!!}{n!!} & (n = 2k-1)
\end{array}
\right.
\tag{5}

J_n = \left\{
\begin{array}{ll}
\frac{(n-1)!!}{n!!} \frac{\pi}{2} & (n = 2k)\\
\frac{(n-1)!!}{n!!} & (n = 2k-1)
\end{array}
\right.
\tag{6}

また，(5)式や(6)式から明らかですが，

J_n = I_n
\tag{7}

が成立します．

　(1)式と(2)式の解を求めるためには，ウォリス積分の積分区間が異なる場合についても考える必要があります．それらについて3章で考えていこうと思います．

3. ウォリス積分の積分区間変更

　本章では，以下の3種類の積分について計算していきます．積分区間が(3)式や(4)式とは若干違います．

I_n'
=
\int_\frac{\pi}{2}^\pi
\mathrm{sin}^n \theta \ d\theta
\tag{8}

I_n''
=
\int_\pi^{\frac{3}{2}\pi}
\mathrm{sin}^n \theta \ d\theta
\tag{9}

I_n'''
=
\int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi}
\mathrm{sin}^n \theta \ d\theta
\tag{10}

全て置換積分をすれば簡単にできます．コツは，(3)式や(4)式に積分区間を合わせにいくことです．

　まずは(8)式を計算してみましょう．積分区間を$\frac{\pi}{2}$～$\pi$から$0$～$\frac{\pi}{2}$に合わせるために，以下の置換を行います．

\phi
=
\theta - \frac{\pi}{2}

\therefore
\theta
=
\phi + \frac{\pi}{2}
\tag{11}

また，三角関数の加法定理より以下の関係がなりたちます．

\sin{\Big( \phi + \frac{\pi}{2} \Big)}
=
\cos{\phi}
\tag{12}

したがって，(8)式は以下のように計算できます．

I_n'
=
\int_\frac{\pi}{2}^\pi
\mathrm{sin}^n \theta \ d\theta
=
\int_0^\frac{\pi}{2}
\mathrm{cos}^n \phi \ d\phi
=
J_n
=
I_n
\tag{13}

同じノリで(9)式も置換積分してみましょう．

\phi'
=
\theta - \pi

\therefore
\theta
=
\phi' + \pi
\tag{14}

\sin{\Big( \phi' + \pi \Big)}
=
-\sin{\phi'}
\tag{15}

したがって，符号に注意すると以下の結果が得られます．

I_n''
=
\int_\pi^{\frac{3}{2}\pi}
\mathrm{sin}^n \theta \ d\theta
=
\int_0^\frac{\pi}{2}
\big(
-\sin{\phi'} 
\big)^n
\ d\phi'
=
(-1)^n
\int_0^\frac{\pi}{2}
\mathrm{sin}^n \phi' \ d\phi'
=
(-1)^n I_n
\tag{16}

(13)式とは異なり$(-1)^n$が出てくるのは，$\sin{\theta}$が$\theta = \pi$~$\frac{3}{2}\pi$の区間で負の値を取ることに対応しています．

　なんとなく流れが分かってきたと思うので，(10)式も同様の手順で計算してみましょう．

\phi''
=
\theta - \frac{3}{2}\pi

\therefore
\theta
=
\phi'' + \frac{3}{2}\pi
\tag{17}

\sin{\Big( \phi'' + \frac{3}{2}\pi \Big)}
=
-\cos{\phi''}
\tag{18}

I_n'''
=
\int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi}
\mathrm{sin}^n \theta \ d\theta
=
\int_0^\frac{\pi}{2}
\big(
-\cos{\phi''} 
\big)^n
\ d\phi''
=
(-1)^n
\int_0^\frac{\pi}{2}
\mathrm{cos}^n \phi'' \ d\phi''
=
(-1)^n J_n
=
(-1)^n I_n
\tag{19}

これで全て揃いましたね．

　導出過程がほぼ同じなので省略しますが，(8)～(10)式の余弦関数バージョンも以下のように計算できます．

J_n'
=
\int_\frac{\pi}{2}^\pi
\mathrm{cos}^n \theta \ d\theta
=
(-1)^n J_n
\tag{20}

J_n''
=
\int_\pi^{\frac{3}{2}\pi}
\mathrm{cos}^n \theta \ d\theta
=
(-1)^n J_n
\tag{21}

J_n'''
=
\int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi}
\mathrm{cos}^n \theta \ d\theta
=
J_n
\tag{22}

ここまで準備すれば，(1)式と(2)式の計算も簡単にできます．4章で具体的な計算についてまとめます．

4. ウォリス積分の周期積分

　では，本章では(1)式と(2)式を計算してみましょう．といっても積分区間を分割し，それぞれの計算結果を代入するだけですが..
　まずは(1)式を計算します．このとき，積分区間を以下のように4つに分割します．

I
=
\int_0^{2\pi}
\mathrm{sin}^n \theta \ d\theta
=
\int_0^\frac{\pi}{2}
\mathrm{sin}^n \theta \ d\theta
+
\int_\frac{\pi}{2}^\pi
\mathrm{sin}^n \theta \ d\theta
+
\int_\pi^{\frac{3}{2}\pi}
\mathrm{sin}^n \theta \ d\theta
+
\int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi}
\mathrm{sin}^n \theta \ d\theta

\therefore
I
=
I_n + I_n' + I_n'' + I_n'''
\tag{23}

そして，(13)(16)(19)式を(23)式に代入すると以下のようにまとめられます．

\therefore
I
=
I_n + I_n + (-1)^n I_n + (-1)^n I_n
=
2
\big(
1 + (-1)^n
\big) I_n
\tag{24}

(24)式の結果も$n$が偶数か奇数かによって変化するので，以下のように場合分けして考えられます．

I = \left\{
\begin{array}{ll}
4 I_n & (n = 2k)\\
0 & (n = 2k-1)
\end{array}
\right.
\tag{25}

さらに(5)式の内容を(25)式に代入することで，以下のように明示的な解が得られます．

I = \left\{
\begin{array}{ll}
\frac{2(n-1)!!}{n!!} \pi & (n = 2k)\\
0 & (n = 2k-1)
\end{array}
\right.
\tag{26}

まったく同じ手順で，(20)～(22)式を応用すると(2)式の解も以下のように得られます．

J
=
J_n + J_n' + J_n'' + J_n'''
=
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{2(n-1)!!}{n!!} \pi & (n = 2k)\\
0 & (n = 2k-1)
\end{array}
\right.
\tag{27}

見た目はゴリゴリしていますが，3章の内容を代入しただけです．前回の記事よりも直感的かと思います．
$n$が奇数のときに0になるのは，三角関数が周期的に符号が反転することに起因しており，$n$が偶数の時に値が4倍になるのも，符号の反転が偶数乗によって相殺されていることに起因します．

5. おわりに

　今週はウォリス積分に関係する以下の2つの公式を導出しました．

\int_0^{2\pi}
\mathrm{sin}^n \theta \ d\theta
=
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{2(n-1)!!}{n!!} \pi & (n = 2k)\\
0 & (n = 2k-1)
\end{array}
\right.
\tag{28}

\int_0^{2\pi}
\mathrm{cos}^n \theta \ d\theta
=
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{2(n-1)!!}{n!!} \pi & (n = 2k)\\
0 & (n = 2k-1)
\end{array}
\right.
\tag{29}

知っていると地味に使えるかもしれません．覚える必要はないですが，三角関数の性質をうまく利用して計算を簡略化する手法はいろんなところに応用できると思います．
　次回の記事では，(28)式と(29)式を使用して，$n$次元球の体積を計算したいと思います．

　今週も最後まで読んでいただきありがとうございました～