はじめまして、りょーつといいます。高専出身の博士課程1年生です。研究の専門は力学や機構学で、Qiitaでは主に制御工学や数学に関する記事を書いています。
最近は数学に関する単発ネタで記事を書いていて，これまでに以下のような記事を書きました．興味があれば読んでみてください～．
①ウォリス積分の基礎
②ウォリス積分の応用
③n次元球のイメージについて
④四次元球の体積の計算
⑤ガウス積分
⑥ガンマ関数
⑦非自然数の階乗
⑧N階積分
⑨非整数階積分
⑩ベータ関数
⑪積分の半群性
⑫非整数階微分
目次
1.はじめに
2.Mittag-Leffler関数の定義
3.非整数階微分方程式
4.おわりに
1. はじめに
今回の記事では，Mittag-Leffler関数について紹介します．Mittag-Leffler関数は，微分方程式の解という観点から指数関数を一般化したものになります．級数で以下のように表される特殊関数です．
E_{\alpha, \beta}(x)
=
\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{x^k}{\Gamma(k\alpha + \beta)}
\tag{1}
通常の指数関数$e^x$は以下のような級数で表されるので，階乗がガンマ関数を使って非整数に拡張されているイメージになります．
e^x
=
\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{x^k}{k!}
\tag{2}
まずは第2章でMittag-Leffler関数$E_{\alpha, \beta}$に出てくる謎定数$\alpha$，$\beta$がなんなのか？なども含めた定義を説明し，第3章で微分方程式との関係性を説明します．
2. Mittag-Leffler関数の定義
本章では，Mittag-Leffler関数の定義を簡単に説明します．冒頭でも述べたとおり，Mittag-Leffler関数は以下の式で定義されます．
E_{\alpha, \beta}(x)
=
\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{x^k}{\Gamma(k\alpha + \beta)}
\tag{3}
特に微分方程式などへ適用する場合は，$\beta$を自然数にすることが多いと思います．例えば$\beta = 1$のときは
E_{\alpha, 1}(x)
=
\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{x^k}{\Gamma(k\alpha + 1)}
\tag{4}
$\beta = 2$のときは
E_{\alpha, 2}(x)
=
\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{x^k}{\Gamma(k\alpha + 2)}
\tag{5}
みたいな感じです．ここで，ガンマ関数の性質
\Gamma(x+1)
=
x \Gamma(x)
\tag{6}
であることを用いて(4)式を展開すると，
E_{\alpha, 1}(x)
=
\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{x^k}{\Gamma (k\alpha + 1)}
=
\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{x^k}{k\alpha \ \Gamma (k\alpha)}
\tag{7}
のようになります．同様に(5)式を展開すると
E_{\alpha, 2}(x)
=
\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{x^k}{\Gamma (k\alpha + 2)}
=
\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{x^k}{(k\alpha + 1) \Gamma (k\alpha + 1)}
=
\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{x^k}{(k\alpha + 1) k\alpha \ \Gamma (k\alpha)}
\tag{8}
となります．式から自明ではありますが，$\beta$は階乗のズレを表現するパラメータになります．このようなズレを用いることで，微分方程式の初期値を記述することができます．(これについてはのちほど解説)
また，$(\alpha, \beta) = (1,1)$にした場合は普通の指数関数になることを確認しておきましょう．こうすることで指数関数の拡張概念であることが分かります．逆に言うと，$\alpha$は指数関数の抽象化を担うパラメータであると考えられますね．ガンマ関数の性質より，以下のように確かめられます．
E_{1, 1}(x)
=
\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{x^k}{\Gamma (k + 1)}
=
\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{x^k}{k!}
=
e^x
\tag{9}
3. 非整数階微分方程式
本章ではMittag-Leffler関数の応用例として，非整数階の微分方程式について考えてみようと思います．まずは通常の1階微分方程式の解について考えてみましょう．
D f(x)
=
\frac{d}{dx} f(x)
=
f(x)
\tag{10}
(10)式の一般解は明らかに指数関数になりますよね．
f(x)
=
Ce^x
\tag{11}
$C$は任意の実数です．
ではこれを非整数階に拡張してみましょう．以下のような微分方程式を考えます．ただし，ここでの微分はCaputoの定義に基づきます．また，簡単のために$0 < \alpha < 1$とします．
D^\alpha f(x)
=
f(x)
\tag{12}
このときに(12)式を満たす特殊解$f_c(x)$としてMittag-Leffler関数が出てきます．具体的には以下のような見た目になります．
f_c(x)
=
E_{\alpha,1}(x^\alpha)
\tag{13}
(13)式がたしかに(12)式を満たすことを，Caputoの微分をもとに確かめてみましょう．
自然数を$n$と$0 < \gamma < 1$の実数$\gamma$を用いて
\alpha
=
n - \gamma
\tag{14}
となる場合におけるCaputo微分の定義は以下で与えられます．
D^\alpha f(x)
=
\frac{1}{\Gamma(\gamma)}
\int_{0}^{x}
(x-t)^{\gamma-1}
\frac{d^n f}{dt^n}
(t)
dt
\tag{15}
(12)式の問題設定においては，$0 < \alpha < 1$であるため，$n = 1$，$\gamma = 1 - \alpha$となります．すなわち
D^\alpha f_c(x)
=
\frac{1}{\Gamma(1 - \alpha)}
\int_{0}^{x}
(x-t)^{-\alpha}
\frac{d}{dt}
f_c(t)
dt
\tag{15}
を示せば十分です．
(13)式において(15)式の中身の微分を計算してみましょう．ガンマ関数の特性である(6)式も利用します．
\frac{d}{dt}
f_c(t)
dt
=
\frac{d}{dt}
E_{\alpha,1}(t^\alpha)
=
\frac{d}{dt}
\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{t^{\alpha k}}{\Gamma(k\alpha + 1)}
=
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{\alpha k \ t^{\alpha k-1}}{k\alpha \ \Gamma(k\alpha)}
=
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{t^{\alpha k-1}}{\Gamma(k\alpha)}
\tag{16}
あまりキレイではありませんね．いったん(16)式の計算結果を(15)式に代入してみましょう．すると階乗がたくさん出てくることが分かります．ここで，深いことは考えずに積分と級数を入れ替えておきましょう．
D^\alpha f_c(x)
=
\frac{1}{\Gamma(1 - \alpha)}
\int_{0}^{x}
(x-t)^{-\alpha}
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{t^{\alpha k-1}}{\Gamma(k\alpha)}
dt
=
\frac{1}{\Gamma(1 - \alpha)}
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{1}{\Gamma(k\alpha)}
\int_{0}^{x}
(x-t)^{-\alpha}
t^{\alpha k-1}
dt
\tag{17}
ここで(17)式はガンマ関数が入り乱れている点や，積分の形がなんとなくベータ関数っぽいことにお気づきでしょうか？ここでは(17)式の積分をむりやりベータ関数$B(p,q)$で表してみることにします．
なお，ベータ関数$B(p,q)$の定義はこちらの記事で紹介しているように以下の積分とガンマ関数で表されます．
B(p,q)
=
\int_{0}^{1}
(1-t)^{p - 1}
t^{q - 1}
dt
=
\frac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}
\tag{18}
(18)式を作ることを目標に(17)式を変形します．積分区間に注目して，
t
=
xu
\tag{19}
$の置換をしてみましょう．このとき
dt
=
xdu
\tag{19}
であり，積分区間は$0 \leq t \leq x$から$0 \leq u \leq 1$へ移動します．(17)式を全て書くと以下のようになります．
D^\alpha f_c(x)
=
\frac{1}{\Gamma(1 - \alpha)}
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{1}{\Gamma(k\alpha)}
\int_{0}^{1}
x
(x-xu)^{-\alpha}
(xu)^{\alpha k-1}
dt
=
\frac{1}{\Gamma(1 - \alpha)}
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{1}{\Gamma(k\alpha)}
\int_{0}^{1}
x^{1-\alpha}
(1-u)^{-\alpha}
x^{\alpha k-1}
u^{\alpha k-1}
dt
=
\frac{1}{\Gamma(1 - \alpha)}
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{1}{\Gamma(k\alpha)}
x^{\alpha(k-1)}
\int_{0}^{1}
(1-u)^{(1-\alpha) - 1}
u^{\alpha k-1}
dt
\tag{20}
ここで(20)式の積分は(18)式で定義したベータ関数の定義に対応しているため，以下のように展開できます．
D^\alpha f_c(x)
=
\frac{1}{\Gamma(1 - \alpha)}
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{1}{\Gamma(k\alpha)}
x^{\alpha(k-1)}
B(1-\alpha, \alpha k)
=
\frac{1}{\Gamma(1 - \alpha)}
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{1}{\Gamma(k\alpha)}
x^{\alpha(k-1)}
\frac{\Gamma(1-\alpha)\Gamma(\alpha k)}{\Gamma(1-\alpha + \alpha k)}
=
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{x^{\alpha(k-1)}}{\Gamma(\alpha (k-1) + 1)}
\tag{21}
なお，(21)式の級数を$j = k - 1$へシフトすれば
D^\alpha f_c(x)
=
\sum_{j=0}^{\infty}
\frac{x^{\alpha j}}{\Gamma(\alpha j + 1)}
=
E_{\alpha,1}(x^\alpha)
=
f_c(x)
\tag{22}
たしかに解になっていることが分かりますね！
今回は$\beta = 1$の場合について考えましたが，今後は$\beta \neq 1$になる場合も考えていきたいですね．これは本記事で$0 < \alpha < 1$としたことにも対応しています．
来週は$1 < \alpha 2$の場合について考えてみたいですね．
4. おわりに
今週の記事ではMittag-Leffler関数と非整数階微分方程式についてフワッと紹介しました．来週は階数がもっと高くなった場合について考えてみたいと思っています．
特にこれらが絡む運動方程式についてくわしく見ていきたいです～．今週も最後まで読んでいただき，ありがとうございました！