はじめまして、りょーつといいます。高専出身の博士課程1年生です。研究の専門は力学や機構学で、Qiitaでは主に制御工学や数学に関する記事を書いています。
本稿では，関数を非整数階積分するとどうなるのか？について考えてみたいと思います．最近はこんな感じの数学に関する単発ネタで記事を書いていて，これまでに以下のような記事を書きました．興味があれば読んでみてください～．
①ウォリス積分の基礎
②ウォリス積分の応用
③n次元球のイメージについて
④四次元球の体積の計算
⑤ガウス積分
⑥ガンマ関数
⑦非自然数の階乗
⑧N階積分
目次
1.はじめに
2.非整数階積分
3.非整数階積分と普通の積分
4.おわりに
1. はじめに
今回の記事では，関数を非整数階積分するとどうなるのか？(てかそもそもどうやってそんな積分するのか？)について考えてみたいと思います．最終的なゴールとしては非整数階の微分について考えたいと思うのですが，その定義としてまずは非整数階の積分を考える必要があるようです．
しれっとガンマ関数の知識を使うので，軽く調べておくかガンマ関数について解説したこちらの記事とその性質について解説したこちらの記事を読んでおくと分かりやすいと思います．
2. 非整数階積分
本章では非整数階積分を定義します．定義には前回の記事で紹介したN階積分を使用します．念のため復習しておきましょう．関数$f = f(x)$のN階積分$I^N f(x)$は，以下のように定義できます．
I^N f(x)
=
\frac{1}{(N-1)!}
\int_{0}^{x}
(x-t)^{N-1}
f(t)
dt
\tag{1}
ということは，シンプルにNを正の実数$\alpha$にすれば非整数階の積分になりますね．
I^\alpha f(x)
=
\frac{1}{(\alpha-1)!}
\int_{0}^{x}
(x-t)^{\alpha-1}
f(t)
dt
\tag{1}
とりあえず定義としては妥当そうです．ここで問題となるのが，非整数の階乗$(\alpha - 1)!$です．ただし，少し前の記事で非整数の階乗がガンマ関数$\Gamma$によって以下のように表現できることを示しました．
(\alpha - 1)!
=
\Gamma(\alpha)
\tag{2}
したがって，非整数階の積分$I^\alpha f(x)$はまとめると以下のようになります．
I^\alpha f(x)
=
\frac{1}{\Gamma(\alpha)}
\int_{0}^{x}
(x-t)^{\alpha-1}
f(t)
dt
\tag{3}
ガンマ関数が連続なので，N階の積分に納得していたら割とスッと理解できる気がします．
3. 非整数階積分と普通の積分
本章では$\alpha = 1/2$の非整数階積分を2回繰り返すと$\alpha = 1$の普通の積分に一致するのかどうか検証してみます．これが一致したら直感にも対応していてすごいなって感じますよね．
実際に計算してみましょう．定義より
I^{1/2} \big( I^{1/2} f(x) \big)
=
\frac{1}{\Gamma(1/2)}
\int_{0}^{x}
(x-t)^{-1/2}
I^{1/2} f(t)
dt
\tag{4}
ですね．ここで(4)式右辺の積分を展開し，重積分にします．
I^{1/2} \big( I^{1/2} f(x) \big)
=
\frac{1}{\Gamma(1/2)}
\int_{0}^{x}
(x-t)^{-1/2}
\bigg(
\frac{1}{\Gamma(1/2)}
\int_{0}^{t}
(t-s)^{-1/2}
f(s)
ds
\bigg)
dt
=
\frac{1}{\Gamma(1/2)^2}
\int_{0}^{x}
\int_{0}^{t}
(x-t)^{-1/2}
(t-s)^{-1/2}
f(s)
ds
\
dt
\tag{5}
ここで積分順序を変更しましょう．こちらの記事を参考にすると，積分区間は$0 \leq s \leq x$，$s \leq t \leq x$にうつるので
I^{1/2} \big( I^{1/2} f(x) \big)
=
\frac{1}{\Gamma(1/2)^2}
\int_{0}^{x}
\int_{s}^{x}
(x-t)^{-1/2}
(t-s)^{-1/2}
f(s)
dt
\
ds
=
\frac{1}{\Gamma(1/2)^2}
\int_{0}^{x}
f(s)
\bigg(
\int_{s}^{x}
\big( (x+s)t-xs-t^2 \big)^{-1/2}
dt
\bigg)
ds
=
\frac{1}{\Gamma(1/2)^2}
\int_{0}^{x}
f(s)
\bigg(
\int_{s}^{x}
\Bigg( \bigg(\frac{x-s}{2} \bigg)^2-\bigg( t - \frac{x+s}{2} \bigg)^2 \Bigg)^{-1/2}
dt
\bigg)
ds
=
\frac{1}{\Gamma(1/2)^2}
\int_{0}^{x}
f(s)
\Bigg[
\mathrm{sin}^{-1}
\bigg(
\frac{2t - x - s}{x-s}
\bigg)
\Bigg]_{s}^{x}
\bigg)
ds
=
\frac{\pi}{\Gamma(1/2)^2}
\int_{0}^{x}
f(s)
ds
\tag{6}
ここで，非自然数の階乗について$\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$であること(導出過程はこちら)から，
I^{1/2} \big( I^{1/2} f(x) \big)
=
\int_{0}^{x}
f(s)
ds
\tag{7}
であり，
I^{1/2} \big( I^{1/2} f(x) \big)
=
I f(x)
\tag{8}
を示すことができました．非整数階の積分というよく分からんものですが，ちゃんと普通の積分とも対応関係があるという点に安心しますね(^▽^)/
(8)式を拡張することで，非整数階の積分の回数を単純に足してもいいのかどうかについては，また別の記事で解説しようと思います．
4. おわりに
今週の記事では，非整数階の積分について考えました．積分ができたら微分もできそうですよね．来週は非整数階積分の重要な公式を得るためにベータ関数$B(p,q)$について解説します(多分)．
今週も最後まで読んでいただき，ありがとうございました！