ばねに繋がれた複数の物体の運動と行列について（連成振動）
はじめに 複数の物体をばねに繋げた系を考える。このような系は複雑な振動をすることが知られている。しかし、よくよく見ると正弦波の重ね合わせで表現することができる。 そこで、今回はこのような複雑な運...
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ばねに繋がれた2物体の運動について(連成振動)
はじめに 2物体の運動を同時に考察する問題は、2物体問題と言われている。2物体問題は、大学受験では、難問に分類されがちだが、かなり本質的な問題である。 一般に、2つの物体の重心の運動と重心からみ...
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運動量と運動エネルギーについて（衝突問題）
はじめに 運動方程式は、物体の運動を解析するときに非常に便利なツールである。 しかし、運動方程式は、単体ではその瞬間の情報しか与えてくれない。 そこで、特定の時刻に縛られない物理量として運動量、...
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はみだし削り論法と数値積分について
はじめに 受験数学の定石の中に『はみだし削り論法』というのがある。これは、ある関数の絶対値の積分の最小値をとる$x$の値を素早く求める手法である。これは『大学への数学 微積分基礎の極意』で紹介さ...
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点と直線の距離公式の感覚的な理解と証明
はじめに $xy$平面における点と直線の距離の公式は有名でありかつ形が綺麗で美しい。 そこで、まずは『直線状の動点と定点との距離』の最小値が『点と直線の距離』であるという事実を用いた証明を行う。...
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三角関数を用いた交流回路の基本的な計算について
はじめに 定常状態の交流回路を解析する方法は、 一般的に3種類ある。 1つ目は、三角関数を用いて瞬時値を直接計算する方法である。 この方法は、王道ではあるのだが計算量が多くなりがちである。 2つ...
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点の通過領域について
はじめに 高校数学で扱う軌跡と領域は、奥が深い。 理由としては、どのような分野の知識を使って問題を解くかという総合力が試されるからである。例えば、円を扱った分野の場合、ベクトルや三角関数、複素数...
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対称性を持つ場合の4次関数のグラフと数値計算
はじめに 4次関数のグラフは一般的に複雑な曲線を示す。 しかし、特殊な場合は、2次関数のように線対称を示す。 具体的には、定数項と2次の成分と4次の成分のみが効いている場合である。 そこで、今回...
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同期発電機の動揺方程式と数値解析
はじめに 同期発電機は、入力と出力の仕事量をほぼ同じに保たないと上手く安定性を保つことができない。入力を多くすることで、発電機の回転速度は上昇する。一方で、出力を多くすることで、発電機の回転は低...
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複素数平面を用いた円周角の定理の逆の証明について
はじめに 円周角の定理の逆は円の軌跡を描くということを証明するためにかなりの頻度で使用される。したがって幾何学的な意味で重要である。しかし、解析学的な点からいえば、かなりの計算量を節約して円の存...
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中和滴定曲線の理論式と数値解析
はじめに 1価の酸性溶液と1価の塩基性溶液を混ぜ合わせると水素イオンと水酸化物イオンが結合して水分子になる中和という反応が生じる。これによって混合溶液全体のpHは変化する。今回は、1価の酸性溶液...
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行列を用いた三角関数の加法定理の証明
はじめに 三角関数の加法定理は、高校生にとってはかなり難しい。なので、あの東大でさえも証明問題を入試問題として取り上げた程だ。一般的には、単位円上である点の座標を三平方の定理もしくは余弦定理を使...
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動円の通過領域について(包絡線)
はじめに $xy$平面上の曲線は、$x,y$の2変数関数で表すことができる。 しかし、そこに$t$などの変数を加えた3変数関数の場合はどうなるだろうか？ 曲線の情報に1次元足されるため、3変数関...
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複素数の割り算と絶対値について
はじめに 複素数の割り算を議論するためには、分母を実数にする場合が多い。 分母が複素数を含む状態から、実数のみの形にするためには、共役複素数を分子と分母にかければよい。 ただ、この手法は計算量が...
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三角形の外接円と内接円の半径の関係と数値計算（オイラーの不等式）
はじめに 三角形の外接円と内接円の半径には、ある不等式の関係性がある。内接円の半径は外接円の半径の0.5倍以下であるというオイラーの不等式である。今回は、これを数値計算で確認してみる。 具体的に...
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幾何学的な円周率の近似値の算出方法について
はじめに 円周率の近似値を算出する方法は複数ある。計算効率が良いものだと、無限級数の近似値を算出する方法がある。 最も、円周率の近似値を簡単に算出する方法は、単位円に内接する正多角形と単位円に外...
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高校数学で理解するポアソンの法則
はじめに 熱力学における系の変化の1つに断熱変化というものがあり、ほかの変化（等圧変化、等積変化、定温変化）と比較し理解しずらい。なぜなら、物理の概念というよりは、数学的に複雑な処理をしなければ...
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円運動についての数学的理解
はじめに 円運動は、高校物理の力学で扱う運動の1つである。 しかし、教科書では大分天下り的な説明がされている。 そこで今回は、『物体の進行方向に垂直な一定の力が働いている場合』を考える。 この場...
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人口増加におけるロジスティック方程式と片対数グラフ
はじめに 人口増加は、指数関数的に増加するような印象をうける。しかし、指数関数的に増加するのは、食料及び土地が十分にあるという仮定の下で成立する。 そこで、一般的にはそれらを考慮したロジスティッ...
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区分求積法と微積分について
はじめに 一般に積分は、高校数学2で初めて学習する。そこでは、微分の逆操作として紹介される。 しかし、何故、微分の逆操作が積分として面積を求められるのかにはあまり言及されていない。 一方で、数学...
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