同期発電機の動揺方程式と数値解析

はじめに

同期発電機は、入力と出力の仕事量をほぼ同じに保たないと上手く安定性を保つことができない。入力を多くすることで、発電機の回転速度は上昇する。一方で、出力を多くすることで、発電機の回転は低下する。これは、同期発電機の動揺方程式つまり微分方程式を解くことで解析することができる。そこで、今回は動揺方程式を差分法を解くことでシミュレーションする。

動揺方程式

微分方程式のモデル

動揺方程式は、慣性定数$M$、ダンピングトルク係数$D$、基準角速度$\omega_n$を用いて以下のように表すことができる。ただし、$\delta$は時刻$t$における送電端電圧と受電端電圧の位相差である相差角とする。

\frac{M}{\omega_n}\frac{d\delta^2}{dt^2}+\frac{D}{\omega_n}\frac{d\delta}{dt}=P

ここで、$P$は機械的出力(出力)$P_m$と電気的出力(出力)$P_e$を用いて以下のように表されるものとする。

P=P_m-P_e=P_m-\frac{V_rV_s}{X}sin \delta

プログラム

上記の微分方程式を解くためのプログラムを以下に示す。

python P_newton.py

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib
import math

#シミュレーション時間
t_a=-2
t_b=4
#動揺方程式の係数
M=10
D=1
omega_n=2*math.pi*50
#P_eの計算に必要な値
V_r=1
V_s=1
X=1
#初期条件
delta=1
d_delta=0

time=[] #時間
delta_list=[] #位相差
P_e_list=[] #発電機の出力
delta_t=1.0*10**-5
P_m=1
t=t_a

#微小時間の時間間隔(小さくするほど精度は上がるが計算時間が比例して増大する)

while t_a<=t<=0:
  time.append(t)
  delta_list.append(delta)
  P_e=(V_r*V_s/X)*np.sin(delta)
  P_e_list.append(P_e)
  t=t+delta_t

while 0<=t<t_b:
  P_e=(V_r*V_s/X)*np.sin(delta)
  P=P_m-P_e
  dd_delta=(P-(D/omega_n)*(d_delta))*(omega_n/M)
  d_delta=d_delta+dd_delta*delta_t
  delta=delta+d_delta*delta_t
  t=t+delta_t

  time.append(t)
  delta_list.append(delta)
  P_e_list.append(P_e)

#以下は、電気的出力の動揺の様子を示すグラフを描写するために必要なコードである。

# plt.plot(time,P_e_list)
# plt.xlabel("時間[s]")
# plt.ylabel("電気的出力[pu]")
# plt.savefig("動揺方程式_電気的出力2.png")

#以下は、相差角の動揺の様子を示すグラフを描写するために必要なコードである。

plt.plot(time,delta_list)
plt.xlabel("時間[s]")
plt.ylabel("相差角[rad]")
plt.savefig("動揺方程式_相差角2.png")

plt.show()

これを実行すると以下のようなグラフが出力される。

このように、相差角と電気的出力はリンクしているかのように緩やかに振動する。

一方で、$P_m$を大きくすると以下のように不安定な挙動を示すグラフ、つまり脱調時のシミュレーションを得ることができる。

このように、相差角は単調に指数関数的に増加する。

これは、加速エネルギーが減速エネルギーを上回るため、その余剰分が回転機の加速に使用されるからである。したがって一般的な事故である1線地絡事故の場合は、事故点を遮断してから再閉路するまでの間、発電機にかかる負荷は小さくなるので、なるべく早く再閉路しないと相差角が指数関数的に増えるので過渡安定度が悪くなる。しかし、再閉路までの時間があまりにも短すぎると地絡点の事故が十分に除去できないので再閉路失敗となってしまう可能性もある。

一方で、電気的出力は高速に振動する。

まとめ

今回は、同期発電機の動揺方程式を差分法を使って解析し、電気的出力や相差角の変化の様子をシミュレーションした。結果、不安定な場合である脱調の場合は、相差角は指数関数的に上昇し、電気的出力は高速で振動するということが分かった。

参考文献