はじめに
三角関数の加法定理は、高校生にとってはかなり難しいと思う。なので、あの東大でさえも証明問題を入試問題として取り上げた程である。一般的には、単位円上である点の座標を三平方の定理もしくは余弦定理を使った方法で求めて、等式でつなげるという方法が一般的である。
しかし、線形代数の回転行列を用いた証明はあまり見かけない。そこで、今回は回転行列について紹介し、三角関数の加法定理を証明したいと思う。
前提条件
前提条件として以下の2つのことが成立すると仮定する。
(1)線形性と基底
$xy$平面では、任意のベクトルは$x,y$方向の単位ベクトルの和で表すことができる。
つまり、
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=x
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
+y
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
が必ず成立する。このように$xy$平面上のどんなベクトルも2つの基底（今回は$x,y$方向の単位ベクトル）で表すことができる。
(2)一次変換
ベクトルにある行列をかけることで、同一のベクトルもしくは別のベクトルを1つだけ生成することができる。
\begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
この2つの前提は極めて当たり前に思えるが強力な武器となる。
回転行列の証明
x方向の単位ベクトル
以下の単位ベクトルを原点を中心として$\theta$だけ回転させる。
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
もちろん
\begin{pmatrix}
\cos\theta \\
\sin\theta
\end{pmatrix}
となる。一応以下に図を示す。
y方向の単位ベクトル
以下の単位ベクトルを原点を中心として$\theta$だけ回転させる。
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
もちろん
\begin{pmatrix}
-\sin\theta \\
\cos\theta
\end{pmatrix}
となる。一応以下に図を示す。
ベクトル和
$\theta$だけ回転する前のベクトルを
$x$方向の単位ベクトルと$y$方向の単位ベクトルに分解し、回転後に合成する。
x方向の単位ベクトル
\begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
回転前のベクトルを以下の単位ベクトルとする
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
回転後のベクトルは以下のようになる。
\begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos\theta \\
\sin\theta
\end{pmatrix}
したがって、
a=\cos{\theta},c=\sin{\theta}
y方向の単位ベクトル
\begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
回転前のベクトルを以下の単位ベクトルとする
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
回転後のベクトルは以下のようになる。
\begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-\sin\theta \\
\cos\theta
\end{pmatrix}
したがって、
b=-\sin{\theta},d=\cos{\theta}
合成
以上より、以下のことが分かる。
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -sin\theta \\
sin\theta& \cos\theta
\end{pmatrix}
これがいわゆる2次元空間における回転行列である。
加法定理の証明
ここで、
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos\theta_0 \\
\sin\theta_0
\end{pmatrix}
とすると以下のことが分かる。
\begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\theta_0 \\
\sin\theta_0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos\theta \cos\theta_0 -\sin\theta\sin\theta_0 \\
\sin\theta\cos\theta_0+\cos\theta \sin\theta_0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta+\theta_0) \\
\sin(\theta+\theta_0)
\end{pmatrix}
したがって、正弦と余弦の加法定理を同時に示すことができた。
まとめ
三角関数は高校数学の中だと微積分に次いで計算が複雑だと思う。計算が複雑ということは、裏を返せば幾何的な情報を天才的なひらめきが無くても解析学的な数式に落とし込むことができるということである。同じようなことは『複素数平面』や『線形代数』、『図形と方程式』にもいえる。したがって、これらの分野を別々の分野と考えるのではなく、1つのつながった巨大な分野であると考えることで柔軟な思考力を磨きたい。