はじめに
複素数の割り算を議論するためには、分母を実数にする場合が多い。
分母が複素数を含む状態から、実数のみの形にするためには、共役複素数を分子と分母にかければよい。
ただ、この手法は計算量が大きくなりがちである。しかし、分母が複素数を含む数の絶対値を求める方法はある公式を用いれば一瞬でできる。
そこで、今回はその手法について紹介する。
最初に、公式を紹介し証明を行う。
次に、具体的な複素数を用いた計算をし、複素数平面に描写してみる。
補足
今回扱う公式は、電験の電力科目の計算スピードを早めるのに有効である。
例えば、テブナンの定理などで地絡電流の大きさのみを知りたい場合、
今回、紹介する公式が威力を発揮する。
公式
$\alpha,\beta$を複素数とすると、以下の式が成立する。
|\frac{\alpha}{\beta}|=\frac{|\alpha|}{|\beta|}
ただし、$\beta\ne0$とする。
極座標を用いた証明
2つの複素数$\alpha,\beta$について、$r_1,r_2$を複素数の大きさとし、$\theta_1,\theta_2$を偏角とする。
ただし、$0\le\theta_1,\theta_2<2\pi$とする。
このとき、$\alpha,\beta$は以下のように表すことができる。
\alpha=r_1(\cos\theta_1+j\sin\theta_1)
\beta=r_2(\cos\theta_2+j\sin\theta_2)
この場合、$\frac{\alpha}{\beta}$は以下のように表すことができる。
\frac{\alpha}{\beta}=\frac{r_1(\cos\theta_1+j\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2+j\sin\theta_2)}=\frac{r_1}{r_2}\{\cos(\theta_1-\theta_2)+j\sin(\theta_1-\theta_2)\}
したがって、
|\frac{\alpha}{\beta}|=\frac{r_1}{r_2}=\frac{|\alpha|}{|\beta|}
このように、複素数の一番の利点は積・商を偏角の和・差に変換できてしまうことにある。なので、複素数を扱った計算の場合はなるべく極座標で考えると良い。
直交座標を用いた証明
$\alpha=a+bj,\beta=c+dj$とし、$\beta\ne0$とする。
\frac{\alpha}{\beta}=\frac{a+bj}{c+dj}=\frac{(a+bj)(c-dj)}{(c+dj)(c-dj)}=\frac{(ac+bd)+(-ad+bc)j}{c^2+d^2}
ゆえに、
|\frac{\alpha}{\beta}|=\frac{\sqrt{(ac+bd)^2+(-ad+bc)^2}}{c^2+d^2}=\frac{\sqrt{(c^2+d^2)(a^2+b^2)}}{c^2+d^2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{c^2+d^2}}=\frac{|\alpha|}{|\beta|}
このように、直交座標で考えると複雑な計算を必要とする。
具体例
それでは、上記の公式について、複素数平面上で確認しよう。
参考として、商だけでなく、積の場合も調査した。
問題
$\alpha=1+\sqrt{3}j,\beta=1+1j$としたとき、
\gamma=\alpha\beta,\delta=\frac{\alpha}{\beta}
を複素数平面上に図示する。
プログラム
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib
import math
# 表示範囲の設定
L = 3
# --- 1. 複素数の定義 ---
# alpha: 大きさ 2, 偏角 60度 (pi/3)
alpha = 1 + 3**0.5 * 1j
# beta: 大きさ sqrt(2), 偏角 45度 (pi/4)
beta = 1 + 1j
# --- 2. 複素数の演算 ---
# 積: 大きさは積に、偏角は和になる (2 * sqrt(2), 105度)
gamma = alpha * beta
# 商: 大きさは商に、偏角は差になる (2 / sqrt(2), 15度)
delta = alpha / beta
# --- 3. グラフ描画 ---
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))
# 各複素数を原点(0,0)からのベクトルとして描画
# alpha (基準となる複素数)
plt.quiver(0, 0, alpha.real, alpha.imag, angles='xy', scale_units='xy', scale=1,
color='black', label=f'α = {alpha:.1f}')
# beta (演算に用いる複素数)
plt.quiver(0, 0, beta.real, beta.imag, angles='xy', scale_units='xy', scale=1,
color='green', label=f'β = {beta:.1f}')
# gamma (積: α * β)
plt.quiver(0, 0, gamma.real, gamma.imag, angles='xy', scale_units='xy', scale=1,
color='red', label=f'積 γ (α*β)')
# delta (商: α / β)
plt.quiver(0, 0, delta.real, delta.imag, angles='xy', scale_units='xy', scale=1,
color='blue', label=f'商 δ (α/β)')
# --- 4. グラフの装飾 ---
plt.grid(True, linestyle='--')
plt.xlim(-L, L)
plt.ylim(0, L)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5) # 実軸
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5) # 虚軸
plt.xlabel('実部 (Real)')
plt.ylabel('虚部 (Imaginary)')
plt.title('複素平面における積と商の回転・拡大')
plt.legend()
# 保存と表示
plt.savefig("複素数の積と商.png")
plt.show()
このように、積・商は、偏角の和・差に対応している。
また、絶対値については対象の複素数の絶対値の積・商に対応している。
まとめ
今回は、電験などの試験で扱う複素数の割り算（商）の絶対値についての計算方法を学んだ。
この公式はあまり目立たないが、テブナンの定理から地絡電流の大きさのみを求める場合などに極めて有効である。
なので、試験前に復習するだけでも価値がある。