運動量と運動エネルギーについて（衝突問題）

はじめに

運動方程式は、物体の運動を解析するときに非常に便利なツールである。
しかし、運動方程式は、単体ではその瞬間の情報しか与えてくれない。

そこで、特定の時刻に縛られない物理量として運動量、運動エネルギーを定義した。

今回は、2つの正の電荷の衝突問題を扱うことで、運動量保存則及び、力学的エネルギー保存則の使用方法について学ぶ。

前半では、運動量保存則と力学的エネルギー保存則について運動方程式から導出する。

後半では、具体的な2物体の衝突問題を扱う。
具体的には、計算機を用いて、2つの正の電荷を近づけた場合の運動の様子を可視化する。

運動量保存則について

以下のような、直線運動をする$A,B$を考える。

初速度は$v_A>v_B$とし、初期位置は$x_A<x_B$とする。

衝突期間を、$t=t_1$～$t=t_1+\Delta t$とする。

衝突期間の運動方程式は、衝突時の2物体に働く力$F$を一定とすると、以下のように表せる。

\begin{cases}
m_{A} a_A = -F\\
m_{B} a_B = F
\end{cases}

ここで、

a_A=\frac{v'_A-v_A}{\Delta t},a_B=\frac{v'_B-v_B}{\Delta t}

とする。（$v'_A,v'_B$は衝突直後の速度）

ゆえに、

\begin{cases}
m_{A} (v'_A-v_A) = -F\Delta t\\
m_{B} (v'_B-v_B) = F\Delta t \\
\end{cases}

したがって、$F\Delta t$(力積)を消去すると、以下のような式が成立する。

m_A v'_A+m_B v'_B=m_A v_A +m_B v_B

ここで、$m_A v_A$のような物体の質量と速度の積を運動量と定義する。

上式は運動量保存の法則という。

ここで、気を付けて欲しいのは、運動量保存の法則は衝突の激しさ（$F \Delta t$）に関しては言及していない。

例えば、衝突時間$\Delta t$を一定としても、やわらかい物体同士の衝突だと$F$は硬い物体同士の衝突の$F$よりも小さくなる。したがって、物体の硬さ（反発係数）によって衝突後の速度は変化してしまう。

なので、衝突後の速度を運動量保存則で求めたい場合は、反発係数の式や後述するエネルギー保存則の式と連立させる必要性がある。

エネルギー保存則について

ある物体を、位置$x=x_0$から$x=x+\Delta x$までの微小区間、一定の力$F$で引っ張り加速させることを考える。

つまり、$x=x_0$のときの速度$v$の物体を$F$の力で$x=x+\Delta x$まで引っ張り加速させ、速度$v'$まで持っていく。

このとき、物体の加速度$a$は、運動方程式より以下の式で与えられる。

a=\frac{F}{m}

この値は定数であるため、物体は区間$x_0\le x\le x_0+\Delta x$では等加速度直線運動をする。

したがって、時刻$t=t_0$(加速前$x=x_0$)から$t=t_0+\Delta t$(加速後$x=x_0+\Delta x$)の間について以下のことが成立する。

a =\frac{v'-v}{\Delta t}

ゆえに、

\Delta t =\frac{v'-v}{a}

一方で、

\Delta x =\int^{\Delta t}_{0} (v+a t) dt = v\Delta t+\frac{1}{2}a(\Delta t)^2

上2つの式を連立して$\Delta t$を消去すると以下のようになる。

{v'}^2-v^2 = 2a\Delta x

この式の両辺に$\frac{1}{2}m$を掛けると以下のようになる。

\frac{1}{2}m{v'}^2-\frac{1}{2}mv^2 = ma\Delta x=F\Delta x

ここで、$\frac{1}{2}mv^2$のような物理量を運動エネルギーと定義する。

したがって、2物体の衝突の場合、衝突によるエネルギー損失がない理想的な状態だと以下のようになる。

\frac{1}{2}m_A v_A'^2+\frac{1}{2} m_B v'^2_B=\frac{1}{2}m_A v_A^2+\frac{1}{2} m_B v_B^2

これをエネルギー保存の法則という。

上式と運動量保存の法則を連立させると、以下の式が導出できる。

-\frac{v'_B-v'_A}{v_B-v_A}=1

このような衝突を完全弾性衝突という。

一般的には、衝突時エネルギー損失があるため、

-\frac{v'_B-v'_A}{v_B-v_A}=e (0\le e\le 1)

となる。ただし、$e$は物体の反発係数である。

問題

そこで、以上の考察を用いたある問題を考えてみよう。

A,B2つの正電荷を直線上で衝突させることを考える。ただし、$A,B$には以下で示すような反発力が働くとする。

F=k\frac{Q_A Q_B}{(x_B-x_A)^2}

ただし、簡単のため、$k=1,Q_A=Q_B=1$とする。

この場合、完全弾性衝突とみなしてよく、運動量保存則及び力学的エネルギー保存則の両方が成立する。

このときの運動の様子をイメージして、$A,B$の運動量および運動エネルギーがどのように変化するかイメージを立ててみよう。

プログラム

参考までに、Pythonでのプログラムを載せる。
興味のある方以外は飛ばして欲しい。

Python move_AB.py

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib
import math
import matplotlib.animation as animation

fig = plt.figure()

ims = []

m_A=1
m_B=1

x_A=2
x_B=4

v_A=10
v_B=1

t=0

dt=1e-3

x_A_ary=[]
x_B_ary=[]

v_A_ary=[]
v_B_ary=[]

a_A_ary=[]
a_B_ary=[]

t_ary=[]

P_A_ary=[]
P_B_ary=[]

K_A_ary=[]
K_B_ary=[]

f_ary=[]

while t<1:
    f=1/(x_B-x_A)**2
    a_A=-f/m_A
    a_B=f/m_B
    
    
    P_A=m_A*v_A
    P_B=m_A*v_B
    
    K_A=0.5*m_A*v_A**2
    K_B=0.5*m_B*v_B**2
    
    v_A=v_A+a_A*dt
    v_B=v_B+a_B*dt
    
    x_A=x_A+v_A*dt
    x_B=x_B+v_B*dt
    
    t=t+dt
    a_A_ary.append(a_A)
    a_B_ary.append(a_B)
    
    v_A_ary.append(v_A)
    v_B_ary.append(v_B)

    x_A_ary.append(x_A)
    x_B_ary.append(x_B)
    
    
    P_A_ary.append(P_A)
    P_B_ary.append(P_B)
    
    K_A_ary.append(K_A)
    K_B_ary.append(K_B)
    
    f_ary.append(f)
    
    t_ary.append(t)
    
    
    plt.xlim(0,10)
    im1=plt.plot(x_A,0,"o",color="red")
    im2=plt.plot(x_B,0,"o",color="blue")
    
    ims.append(im1+im2)  # グラフを配列 ims に追加


# 10枚のプロットを 100ms ごとに表示
ani = animation.ArtistAnimation(fig, ims, interval=100)
 # 保存
ani.save('move_AB.gif')
plt.show()

plt.plot(t_ary,P_A_ary,color="red",label="A")
plt.plot(t_ary,P_B_ary,color="blue",label="B")
plt.xlabel("時刻")
plt.ylabel("運動量")
plt.legend()
plt.savefig("運動量.png")
plt.show()

plt.plot(t_ary,K_A_ary,color="red",label="A")
plt.plot(t_ary,K_B_ary,color="blue",label="B")
plt.xlabel("時刻")
plt.ylabel("運動エネルギー")
plt.legend()
plt.savefig("運動エネルギー.png")
plt.show()


plt.plot(t_ary,f_ary,color="blue")

plt.xlabel("時刻")
plt.ylabel("2物体に働く力")
plt.legend()
plt.savefig("物体に働く力.png")
plt.show()

ただし、運動のアニメーション作成は、以下の記事を参考にした。

結果

運動の様子

運動の様子は、以下のようになる。

$A,B$が近づくにつれて、$A$の速度は遅くなり$B$の速度は速くなる。したがって、$A,B$が同じ位置に来る（衝突）は厳密には起こらない。しかし、原理は衝突問題と同じなので今回は衝突問題と表記した。

運動量

$A,B$の運動量は、時刻によって以下のように変化する。

衝突により、$A$の運動量の一部が$B$の運動量に変換された。

運動エネルギー

$A,B$の運動エネルギーは、時刻によって以下のように変化する。

衝突によって、$A$の運動エネルギーの一部が$B$の運動エネルギーに変換された。

2物体間に働く力(撃力)

2物体間に働く力は、一般的に瞬間的だが非常に強い力が働く。
2物体の衝突の場合も同様の傾向がある。そのような力を『撃力』という。

まとめ

運動量と運動エネルギーという概念の起源は運動方程式である。
今回は、運動量保存則とエネルギー保存則について扱った。
以下重要事項を2点ほど述べる。

・運動量保存の法則は、着目物体のみ力のやり取りをしている場合に成立する。
・力学的エネルギー保存は、摩擦や熱などにエネルギーが変換されないような保存力のみ働いている場合に成り立つ。（摩擦や熱といったエネルギー損失分まで考慮に入れれば成立する。）

運動量と運動エネルギーは混同しやすい概念であるため、原理をしっかりと理解しておく必要がある。