【無限遠点を巡る数理】「名状し難きもの(The Unnamable)問題」を世に解き放つ。

「名状し難きもの(The Unnamable)は名状し得る場合(Namable Case)、既にそこには存在しない。ならば名状し難きものものとは一体何者か？」
名状しがたいとは【ピクシブ百科事典】

この「水揚げして干したら影も形もなくなってしまう(新聞紙の上で干したら水分を失った組織が新聞紙に吸収され尽くしてしまう)クラゲ」みたいな謎々の答えの一つは天動説(Geocentrism=地球中心説)の様に「過去に名状し難かった（あるいは完全な名状が不可能だったか、様々な事情によって完全な名状が為される事がなかった）何かについて蓄積された記述を統合した時に顕現する独特のイメージ」というもの。つまりそれについて独特の考古学(Archeology)が成立し得るという結論に到達する訳です。
考古学(Archeology) - Wikipedia

人類が残した物質文化の痕跡（例えば、遺跡から出土した遺構などの資料）の研究を通し、人類の活動とその変化を研究する学問である。

考えてみればこれって「フランスが産んだ知の巨人」ミシェル・フーコー(Michel Foucault,1926年~1984年)が「知の考古学(L'Archeologie du Savoir,1969年)」において提言した「思考的閉塞状態から脱却するには、それを成立させているエピスメーテー(Episteme,憶見=その知識の枠組みを構成している諸概念の集合と積の連環構造全体)をこそ抽出して記述し尽くせ」なる概念そのもの?
松岡正剛の千夜千冊545夜『知の考古学』ミシェル・フーコー

そして例えば私にとってはその一つが以下に述べる想像上の放射相称生物（Imaginaly Radiata）π^n仮説だったりするという話…

#とある想像上の放射相称生物（Imaginaly Radiata）π^nの観察結果

毎年底（root）倍に成長する想像上の放射相称生物（Imaginaly Radiata）π^nを想定する。理論上、この生物は現在のサイズ指数0(底/底)に対して昨年の年始のサイズ指数が最低(Max)-1(1/底)であり、年末のサイズ指数が最大(Min)1(底/1)に達っすると目される。

統計言語Rによるシミュレーション(Simulation)計算例

#オイラーの原子量（Euler’s primitive sweep）と指数関数π^x（Euler’s primitive sweep & π^x）

pix<-function(n){
theta <- seq(pi, -pi, length=360)
plot(cos(theta), sin(theta),xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2), type="l",col=rgb(0,1,0), main="Euler’s primitive sweep & y=π^x", xlab="Size index", ylab="π^x")

par(new=T)#上書き指定
plot(pi*cos(theta)+1, pi*sin(theta),xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2), type="l",col=rgb(0,1,0), main="", xlab="", ylab="")
par(new=T)#上書き指定
plot(cos(theta)/pi-1/pi, sin(theta)/pi,xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2), type="l",col=rgb(0,1,0), main="", xlab="", ylab="")

#π^xのアニメーション部
pix_pitch=function(x) ifelse(x<0,x*1/pi,x*1)
polygon(cos(theta)*pi^n+pix_pitch(n), #x
sin(theta)*pi^n, #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) 　#塗りつぶす色

text(0, 0, "0",col=rgb(0,0,0))
text(1, 0, "1",col=rgb(0,0,1))
text(-1, 0, "-1",col=rgb(1,0,0))
text(0, 1, "π",col=rgb(0,1,0))
text(0, -1, "π",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,1,0,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,-1,0,col=rgb(1,0,0))
}

#アニメーションさせてみる。
library("animation")
Time_Code=c(-1.0,-0.9,-0.8,-0.7,-0.6,-0.5,-0.4,-0.3,-0.1,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　pix(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")

• この様にその生物の身体が円盤状で、増減率の底が円周率π
  (=3.141592)と想定するなら、毎年成長前の円周が成長後の直径に対応する。例えば昨年年初の実サイズが半径1/π(直径2/π、円周2)から始まったとしたら年末の実サイズは半径1（直径2、円周2π）、年初その状態から始まったとしたら年末の実サイズは半径π（直径2π、円周2π^2）といった具合に。指数関数π^xで表現すると「x=-1の時1/π」「x=0の時1」「x=1の時π」なのでこの生物は同時にπ^nとも呼び得る訳である。ちなみにかかる計算に何か意味があるかは不明だが、指数関数e^xに対してpi^xはe^(x*log(pi))、その逆関数log(x,base=pi)はlog(x)/log(pi)へと変換される。そしてlog(pi)は1.14473…
  Log(log(...(Log(x))...)=y+i*π...x,yは実数...を満たすxの範囲は？
• 一方、全体像を俯瞰するとこの生物の実サイズ増減の目安として複利計算(元金により生じた利子を次期の元金に組み入れ、元金だけでなく利子にも次期の利子が付く雪だるま式に増えていく計算式)から出発したベルヌーイ試行(Bernoulli trial)(1±1/N)^N計算がもたらす指数関数的発散/収束が目安として与えられる。実際その過程を「N段階の試行の結果」と解釈するなら、サイズ指数0(e/e)すなわちexp(0)を中央値として成功(成長)率の上限の目安としてネイピア数e（2.718281…）すなわちexp(1)が、失敗(衰退)率の下限の目安として1/e（0.3678794…）すなわちexp(-1)が与えられ概ねの増減幅と目される。すなわちこの謎生物、原則としてある日突然出現する事も、ある日突然消滅する事もなく、まるで法人の年次会計報告の如き状態記述を経て微小の状態と極大の状態を漸進的に往復すると想定される訳であり、それがこの生物においては「在る」事の定義そのものなのとなってくる。
  【初心者向け】指数・対数関数の発見とそれ以降の発展について。

とにかく指数関数e^xとπ^xがこういう具合に「サイズ指数と実サイズ」なる関係性によって結びついてくる事が分かりました。この生物にとっては、かかる増減率のみが自明の場合(Trival Case)であって、かつ過去の自分のサイズと現在の自分のサイズを比較する概念を備えていないと想定されるので(実際、植物やクラゲやヒトデの類はそもそも時間認識に不可欠な脳を備えてない)、自らの「過去における成長速度の緩慢さ」や自らの「未来における成長速度の急激さ」そのものを自覚する事は不可能でしょう。その認識は現実世界においてはおそらく「年輪を刻む樹木のうち生きているのは樹皮周辺のみ」とか「珊瑚礁のうち生きているのは珊瑚虫が活動している表面部分のみ」と概念化した場合に、そういった生物が備え得る精神内容に対応すると思われます。

• カンブリア爆発期（Cambrian Explosion、葯5億4200万年前〜5億3000万年前）に視覚と関連情報を処理する脊髄=中央情報処理器官(Central Infomation Processing Organ)」を獲得する事で前後上下左右といった空間認識と時間の前後感覚を獲得し（四肢に該当する何らかの器官を備えて制御する事で）比較的俊敏な動作をこなす様になった左右相称動物(Bilateria)が登場し、それを備えてないクラゲやヒトデの様な放射相称動物(Radiata)に進化面で優位に立ち始めるまで、この地上にはそれ以外の形態の知性(Intelligence)が成立する余地自体が存在しなかった。また、かかる新世代生物の登場によって初めて出現が可能となった「百獣の王=食物連鎖の頂点」の立場に最初に立ったアノマロカリス（Anomalocaris、約5億2,500万〜約5億0,500万年前）の精神レベルもまたおそらく内容的にその範囲を超えられず、それ故に「長生きするほど世界がどんどん小さくなっていく(身体が巨大化するにつれ相対的に「世界規模=五感で掌握可能な座標空間範囲」がスケールダウンしていき捕食する餌も小さく見えてくる)」個体レベル問題や「世界がどんどん過酷になっていく(容易に捕食可能な餌が次々と食べ尽くされて絶滅していく一方、殻や刺や毒を備えた「食べ難い餌」が淘汰によって生き延びて繁殖する)」集団レベル問題に対処するどころか、かかる問題の存在を認識する事自体が不可能だったと目されている。もしかしたらその無力さこそがこの生物が絶滅した遠因の一つだったのかもしれず、いずれにせよ以降、食物連鎖のバランスは「視覚情報を処理する脊髄の進化と擬態などによる誤魔化しの鬩ぎ合い」も含むより複雑なゲームによって達成される展開を迎える。
  【無限遠点を巡る数理】「ピタゴラスの定理」と「デカルト座標系」の狭間
• そういえば古代オリエント世界において略奪遠征の繰り返しによって急成長を遂げたヒッタイト新王国(紀元前1430年頃~紀元前1180年)とエジプト新王朝(紀元前1570年頃~紀元前1070年頃)は紀元前13世紀末、遂に互い同士くらいしか目ぼしい襲撃対象がなくなってカデシュの戦い(紀元前1286年頃)で激突。双方とも戦車3000乗以上を投じた総力戦の後に互いに「食い切れない」と判断して平和条約を締結した直後の「紀元前1200年のカタストロフ」によってあっけなく前者は滅び、後者は衰退期に入ってしまう(既にこの時期までに主要収入源を失った両国は見る影もなく衰退し滅びを待つだけだったとする説もある)。また新アッシリア帝国(紀元前934年~紀元前609年)もまたティグラト・ピレセル3世(Tiglath Pileser III,在位紀元前744年~紀元前727年)が王となった時代に略奪遠征で常備軍を養う体制を樹立して以降破竹の大躍進を開始するも、アッシュールバニパル王（Assurbanipal、在位紀元前668年~紀元前631/627年頃）の時代までに目ぼしい襲撃対象を襲い尽くしてしまい、以降は内紛によって自滅するまではあっという間であった。こうして古代帝国が成長限界に到達するや否やあっけなく滅んできたのも、かかる「アノマロカリス定理(Anomalocaris Theorem)」に従った結果と考えるなら、「多民族帝国」アケメネス朝ペルシャ(Achaemenid Persia紀元前550年~紀元前330年)がこの制約を乗り越えて比較的長期間存続した事は人類史においてある種の画期だったといえ、事実そのノウハウはアレキサンダー大王の東征(紀元前334年~紀元前326年)とそれに続くヘレニズム時代(Hellenistic period,紀元前323年~紀元前30年）を経て古代ローマ帝国/ビザンチン帝国(紀元前27年~1453年)やササン朝ペルシャ(Sasanian Persia, 226年~651年)やイスラム帝国(Caliphate,バグダード・アッバース朝750年~1258年,カイロ・アッバース朝1261年~1543年)やオスマン帝国(1299年~1922年)に継承され、これらの諸帝国の長期存続に役立てられたと考えられている。
• 一方、絶対王政が最盛期を迎えた18世紀欧州においては、ジャガイモやトウモロコシやインゲン豆といった新世界作物の普及による各国の人口急増にも後押しされて激化した列強間の衝突が(その主軸を為してきた神聖ローマ帝国(オーストリア王国)皇統ハプスブルグ家とフランス王国王統ブルボン家の歴史的和解を中心とする)外交革命（1756年前後。背景に新興国プロイセン王国の台頭があり、両者が連合した結果プロイセン王国が打倒されると成長限界に突入=欧州内で領土紛争が起こる余地が消滅）によって鎮まった途端にフランス革命（1789年~1799年)やナポレオン戦争(1799年～1815年) が勃発し(第一次世界大戦(1914年~1918年)あの余波としての帝政ロシア、オスマン帝国、ハプスブルグ君主国の解体を一つの区切りとする)近世の終焉が始まってしまうが、当時の時代精神の顕現として最も著名なのはマルサス方程式(Malthusian Equation)dN/dt=rN=N0*exp^rtを世に知らしめたマルサス（Thomas Robert Malthus,1766年~1834年)「人口論(An Essay on the Principle of Population,1798年)」における「人口は制限されなければ幾何級数的に増加するが、生活資源は算術級数的にしか増加しないので必ず不足する」なる提言だったとされている。
  【初心者向け】ロジスティック方程式とその関連範囲
  後に「ロジスティック方程式(Logistic Equation)」なる概念の登場によって反駁される考え方だが、同時代を生きた「暗黒のロマン主義者」マルキ・ド・サド(Marquis de Sade,1740年~1814年）は、エドガー・アラン・ポー（Edgar Allan Poe、1809年~1849年）と並ぶ(自らの著作を広める為に事前に市場調査を徹底して行う近代的ニュアンスにおける)マーケッティング・リサーチの先駆的実践者の一人であり、理論上ベルヌーイやオイラーによる指数関数(Exponential Function)α^xや対数関数(Logarithmic function)Log(x,root=α)の発表(1683年以降)以前には遡れない指数関数的発散への懸念自体はそれ以前から有識者の間で囁かれており（だからこそまとまった理論として発表された時に読書階層が飛び付いた）「だから人間社会が存続するには(疫病の流行や災害や戦争や革命による)人口の定期的間引きが欠かせない」なる極論が密かに流行していた事、もしかしたら生涯に渡って戦争に明け暮れ上掲の「欧州列強間の衝突の激化」の台風の目玉となった「太陽王」ルイ13世(Louis XIII、1601年~1643年,在位1610年~1643年）もまた経験的に同様の結論に到達していたかもしれない可能性などを指摘している。こうした市場ニーズ把握を踏まえた上で執筆されたのが「ソドム百二十日あるいは淫蕩学校(Les Cent Vingt Journées de Sodome ou l’École du libertinage,1785年)」や「ジュリエット物語あるいは悪徳の栄え(l'Histoire de Juliette ou les Prospérités du vice,1797年~1801年）」といった後に禁書扱いを受ける問題作品群であり、この人物があれほどフランス王政や革命政府やナポレオンに敵視されて生涯牢獄や精神病院に幽閉され続けたのもまた、その(多くの人が心の中で思い受けべるだけに留めた)恐るべき結論を探り当て、あえて公表し作品の主題に据えた大胆不敵な態度故だったとされる。まさしく水木しげる画伯の様に「自分の好きな事しか書かないが、それを世間に認めさせる為にはどんな手口だって使う（実際、水木しげる画伯は自分の妖怪画を市場に売り込む為に第一次怪獣ブームを利用している）」タイプの変態大作家(おそらく米国パルプマガジン黄金期(1920年代~1930年代)に「宇宙的恐怖(Cosmic Horror)」ジャンルを創始したH.P.ラブクラフトや、雑誌「講談倶楽部」への残酷通俗小説掲載によって1930年代日本を風靡し、かつその講談社の少年誌「少年倶楽部」への戦前の掲載を皮切りに光文社の月刊娯楽雑誌「少年」を通じて1950年代に「少年探偵団」シリーズをブレイクさせた江戸川乱歩などもこの範疇に入る)の代表例だった訳である(エドガー・アラン・ポーも同種のエピソードに事欠かないが、特に「炎上マーケティング」を駆使した事で悪名高い)。ちなみに「大転換－市場社会の形成と崩壊(The Great Transformation,1944年)」で著名なカール・ポランニー(Karl Polanyi,1886年~1964年)が創始した経済人類学なるジャンルが、こうした考え方を20世紀後半バタイユの「過剰の蕩尽」論と結び付け、インディアンやエスキモーの間で伝統的に遂行されてきたポトラッチ外交、「奴隷狩り大国」ダホメ王国や「人身供儀大国」アステカ王国の体制研究と併せて大々的な反近代論として展開し「ポスト・マルクス経済学」と褒めそやされていた歴史を私は決して忘れない。そういえばルソー(Jean-Jacques Rousseau,1712年~1778年)もリスボン地震(1755年)の衝撃からいかにもスイス人らしく「被害が深刻なものとなったのは、あまりに多くの人々が都市の小さな一角に住んでいるせい」「この地震は神罰ではなく文明のおごりが起こした人災。都市への集住など一刻も早く禁止し、人類はより素朴で自然な生活様式に戻るべき」といった結論を引き出す一方、かかる大災害を契機に神の善意を疑問視する様になったヴォルテールに反駁して神の摂理を弁護し「この地震は被害に遭った人たちにとっては不幸でも、神にとっては全体の幸福のためのなんらかの目的があったと考えるべきであり「すべては善」ではなくても「全体にとっては善」が為されたとは言える」と自論を展開。かかる理想論を実現する為にフランス革命当時、ジャコバン恐怖政治指導下においてポール・バラス（Paul François Jean Nicolas, vicomte de Barras, 1755年〜1829年）がマルセイユとトゥーロンにおいて、ジョゼフ・フーシェ（Joseph Fouché, 1759年〜1820年）がリヨンにおいて、九月虐殺（Massacres de Septembre、1792年）にも参加したジャン＝ランベール・タリアン（Jean-Lambert Tallien, 1762年〜1820年）がボルドーにおいて（絶対王政庇護下、フランスの資本主義的発展に寄与してきた）都市住民の霞弾(大砲の散弾)による大量殲滅を遂行し、同じく王党派の抵抗が根強かったヴァンデに地獄部隊 （Colonnes infernales,1794年1月〜5月, 後背地の集落を片っ端から襲撃して「妊婦の腹を裂き、赤子を竈に放り込む」民族浄化作戦を遂行した虐殺部隊）が投入された事からロベスピエール（Maximilien François Marie Isidore de Robespierre, 1758年~1794年）が「ルソーの血塗られた手」の二つ名を頂戴しフランスへの産業革命導入が軽く半世紀は後退して19世紀における大英帝国の単独覇権が準備された事、こうした振る舞いを神聖視したが故の愚行の縮小再生産版がカンボジアで自国民(特に経済的に恵まれていたベトナム系市民)への大量虐殺を遂行したクメール・ルージュ政権だった事なども、そうした歴史の重要な一部だったりする。
  マンガ『望郷太郎』×中沢新一「格差が生まれる前、人類はこう生きていた」

新たなる数理の発見(およびその誤解に基づくパニックの広まり)は、時としてここまで苛烈な爪痕を歴史に残す事もあるのです。
#確率論(Probability Theory)との関係(あるいはオイラーのφ関数と指数・対数関数の連続性について)

何だか確率論(Probability Theory)も絡んだ話になってきました。詳細に目を向けてみましょう。

①(1+1/N)^Nがexp(1)、(1-1/N)^Nがexp(-1)に収束するなら間をとった(1/N)^Nがどうなるかというと、急激に0に近付く減衰曲線を描くのみなのである。

#(1/N)^Nは急速に0に収束する。
f0=function(x){(1/x)^x}
#グラフ化してみる。
plot(f0, xlim=c(0,50),ylim=c(0,1.5),lty =1,main="n-th root of 1 / n", xlab="N", ylab="(1/N)^N")
# 凡例を書き添える 。
legend("topright", legend=c("(1/x)^x"), lty =c(1))

実は上掲の関数は切り取る範囲を変えるとこう見える。

#x区間{0,1}の1以上にのみ注目。
plot(f0, xlim=c(0,1),ylim=c(1,1.5),lty =1,main="n-th root of 1 / n", xlab="N", ylab="(1/N)^N")
#グラフ化してみる。
#x=exp(-1)の補助線追加
abline(v=exp(-1),col=rgb(1,0,0))
# 凡例を書き添える 。
legend("topright", legend=c("(1/x)^x","x=exp(-1)=0.3678794"), lty =c(1,1),col=c(rgb(0,0,0),rgb(1,0,0)))

x値がexp(-1)(0.3678794)の時が頂点で、その時のY値はexp(exp(-1))(1.444668)。

> exp(-1)
[1] 0.3678794
> f0(exp(-1))
[1] 1.444668
> exp(exp(-1))
[1] 1.444668

ちなみに複利計算式(1+1/N)^Nも数年越しとなると物凄い展開に…

#統計解析言語Rによる確認例。
Principal_growth2<-function(op){
#増加基準単位となる元本を1=100/100=100%と置く。
Principal<-1
#関数グラフ化
f0=function(x){(x*(Principal+1/op))^op}
plot(f0, xlim=c(0,3),ylim=c(0,200),lty =1,type="s",main="Principal growth on Compound interest", xlab="Operation period", ylab="Principal growth rate (100% base)")
# 凡例を書き添える 。
 legend("topleft", legend=c("Compound interest"), lty =c(1))
}
#アニメーションさせてみる。
library("animation")
Time_Code=c(1,2,3,4,5,10,20,30,40,50)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Principal_growth2(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")

②そこでここに「確率密度(Probability Density)」の概念を導入する。
確率密度関数（PDF=Probability Density Function）あるいは確率関数 (probability function) - Wikipedia

例として、寿命が4~6時間程度(つまり5時間±1時間、平均寿命5時間)のバクテリアがいると仮定する。

①この時、およそ5時間前後で寿命を迎えるバクテリアは沢山居るが、正確に5.0000000000…時間丁度で死ぬバクテリアはまずない。特定のバクテリアが丁度5時間で死亡する確率はほぼ0%なのである。
②ならば5〜5.01時間で死亡する確率はどうだろう？ 例えばこれが2%だとすると、その1/10の範囲の5〜5.001時間である確率は？ 答えはおよそ2%×1/10=0.2%となる。
③さらにその1/10の範囲の5〜5.0001時間である確率は、およそ0.02%となる。
こうした例において「特定の時間範囲内に死亡する確率をその範囲の長さで割った値」に着目すると、1時間につき2に定まる。例えば5〜5.01時間の0.01時間の範囲でバクテリアが死亡する確率は0.02であり、確率0.02÷0.01時間=2時間^−1である。この2時間^−1（毎時200%）という量を5時間時点での確率密度と呼ぶ。

従ってバクテリアの寿命が5時間である確率を問われた時、真の答えは0%となるが、実用的な答えは(2時間^−1)×dtとなり、それは無限小の時間範囲dt内で、バクテリアが死亡する確率である。例えば、丁度5時間〜5時間+1ナノ秒の寿命である確率は、(2時間^−1)×1ナノ秒≈6×10^−13となる。こうしてf(5時間)=2時間^−1と表現したのが確率密度関数(PDF=Probability Density Function)fであり、fを任意の時間範囲（微小に限らない）で積分することで、当該時間範囲内でバクテリアの寿命が尽きる確率を求める事が可能となるのである。

• そう、これは平均値(Mean,ここでいう「バクテリアの平均寿命=5時間」)と分散(Variance,ここでいう「バクテリアの平均寿命のバラつき具合=±1時間」)の二つのパラメーターによって全体像が定まる正規分布(Normal Distribution)概念の出発点でもある。
  【初心者向け】正規分布（Normal Distribution）とは何か？
  
• そしてさらにこの考え方を援用し、連続する自然数の有限集合Nn{1,2,3,…,n}について「2で割り切れる確率は1/2」「3で割り切れる確率は1/3」と計算を重ねるとそのどれでも割り切れない確率(計算対象がそこまで出現する素数なら素数の出現率)が残る事に注目したのがオイラーのφ関数となる。なんと見た目こそ全く異なるこの二つの数理、実は内容としては同じ概念から出発していたのであり、ベルヌーイ試行（Bernoulli trial）(1±1/N)^N)計算もまた同じ数理から出発するのであった。
  【Rで九九】どうして36個の数字しか使われないのか？
  

③より具体的には、ベルヌーイ試行（Bernoulli trial）、すなわち投げたコインが表(Head)を向くか裏(Tail)を向くかの分布は計算式f(n)=p^n×(1-p)^(1-n)すなわち表が出る確率p^nと表が出ない確率(1-p)^(1-n)(1は全体割合=100%)によって計算される。

• 表(Head)=1 → f(x)=p すなわちn回の思考の結果、表が出る確率はp^n
• 裏(Tail)=0 → f(x)=1-pすなわちn回の思考の結果、裏が出る確率は「表が出ない確率」すなわち(1-p)^(1-n)(1は全体割合=100%)

1/nの確率で観測できる事象をn回試行すると1度でも観測できる確率は□以上
出発点はこの逸話。
インド人CEOが続出する理由

インドの天才数学者であるラマヌジャンを語る際、必ずと言っていいほど引き合いに出される、ある驚異的なエピソードがあります。

ある日のこと、体調を崩して入院しているラマヌジャンのもとに、同僚のハーディー（この人も天才数学者なのですが…）が見舞いに行きます。ハーディーが乗ってきたタクシーのナンバーが“17 29”だったので、二人は以下のような会話を交わします。

ハーディー「つまらない数字だね。ちょっと考えてみたんだが・・・」
ラマヌジャン「そんなことはありませんよ。とっても興味深い数字です。二つの立方和として二通りに表せる最小の数字ではありませんか！」

この話に託けて…

17の倍数であるナンバープレートを見つけるためには，車を何台観測しなければないか。その答えは実は「幾何分布」とも呼ばれる確率分布の確率密度関数になっている。

①現在は希望ナンバーがあるため，ナンバーの分布には偏りがあるものの，ナンバーは一様分布していると仮定する。すると，17の倍数はおおよそ1/17の確率で見つけることができる。

②ここで各観測はベルヌーイ試行と捉えることができる。例えば5回目に "初めて" 17の倍数を見つける確率は，4回17の倍数以外 (=16/17) の事象を観測し，5回目に1/17の事象を観測したと考えればよい。

#統計言語Rでの検証例
 (1-1/17)^(5-1)*1/17
[1] 0.04615676

③一般化すると，確率pで起きる事象をk回目で初めて観測する確率はf(k;p)=(1−p)^(k-1)*pと表現することができる。

#統計言語Rでの検証例
f0<-function(p,k){(1-p)^(k-1)*p}
f0(1/17,5)
[1] 0.04615676

これが「幾何分布」とも呼ばれる確率分布の「確率密度関数」である。

幾何分布(geometric distribution)-Wikipedia
離散確率分布の１種で、次の2通りの定義がある。

• ベルヌーイ試行を繰り返して初めて成功させるまでの試行回数Xの分布。台は{1,2,3,…}.
• ベルヌーイ試行を繰り返して初めて成功させるまでの失敗回数Y=X−1の分布。台は{0,1, 2,3,…}.

問題とする事柄によってこれら2つの幾何分布から都合の良い方を選ぶ。混同を避けるために幾何分布について言及するときは定義を明らかにするのが賢明であるが、多くの場合前者（Xの分布）を指す。

• 確率質量関数（失敗率が0に向けて収束していく）
  
• 累積分布関数（成功率が1に向けて収束していく）
  

今度は何台観測すれば90%以上の確率で17の倍数を見つけることができるのかについて考えてみたい。つまりk台目に初めて観測するのではなく，k台目までに観測できる確率を求める。

①累積分布関数は難しいことを考えずとも求めることができる。k回目までの試行で「一度も観測されない」確率を1から引けばよい．すなわちF(k;p)=1−(1−p)^kで求めることができる。

#統計言語Rでの検証例
f0<-function(p,k){1-(1-p)^k}
a<-1/17
f1<-function(k){1-(1-a)^k}
#グラフ化してみる。
plot(f1, xlim=c(0,100),ylim=c(0.0,1.0),lty =1,main="Cumulative Distribution Function", xlab="k", ylab="F(k:1/17)")
#90%を超えてくるのはどうやらk=40前後
abline(h=0.9)

②実際に計算してみると90%の確率で17の倍数を発見出来るのは観測回数38回以上である。

#統計言語Rでの検証例
f0<-function(p,k){1-(1-p)^k}
#実際に計算してみる
f0(1/17,35)
[1] 0.8801916
f0(1/17,36)
[1] 0.8872392
f0(1/17,37)
[1] 0.8938722
f0(1/17,38)
[1] 0.900115
f0(1/17,39)
[1] 0.9059906
f0(1/17,40)
[1] 0.9115205

これは確率密度関数ではなく累積分布関数である。

累積分布関数（CDF=Cumulative Distribution Function）あるいは分布関数（distribution function） - Wikipedia

確率論において、実数値確率変数Xがx以下になる確率の関数のこと。広義単調増加関数であり、右連続関数でもある。

• 指数関数の累積分布関数
  
• 正規分布関数の累積分布関数
  

連続確率分布では、負の無限大からxまでの確率密度関数を定積分した(つまり広義積分の)結果となる。同時確率分布でも条件付き確率分布でも定義される。

ところで確率集合F(n;1/n)=1−(1−1/n)^nが算出する確率は0.5より大きい様に思える。というより0.6を超えてくる？

実際、上掲の「17の倍数であるナンバープレートを見つける確率（確率1/17）」、「17台目観測までに１台でも見つかる確率」が0.6432138…。

#統計言語Rでの検証例
f0<-function(p,k){1-(1-p)^k}

#実際に計算してみる
f0(1/17,11)
[1] 0.4866877
f0(1/17,12)
[1] 0.5168825
f0(1/17,13)
[1] 0.5453012

f0(1/17,17)
[1] 0.6432138

それぞれの目が出る確率が1/6であるサイコロの話に変えると「6回振った場合、1の目が1回でも出る確率」が0.665102…。

#統計言語Rでの検証例
f0<-function(p,k){1-(1-p)^k}

#実際に計算してみる
f0(1/6,2)
[1] 0.3055556
f0(1/6,3)
[1] 0.4212963
f0(1/6,4)
[1] 0.5177469

f0(1/6,6)
[1] 0.665102

この現象は「オイラーの定理」すなわち「x>0でa≠0の時,(1+a/x)^x＜e^aが成立する」なる考え方の援用で説明出来る。

①まずベルヌーイ試行の部分、すなわち第二項の(1−1/n)^nをオイラーの定理で置き換える。a=−1と置くと(1+a/x)^x＜e^aは(1−1x)x＜e^−1に。

②e^−1=0.3679…だから(1−1x)^x＜0.3679…。従ってF(n;1/n)=1−(1−1/n)^n＞1−0.3679=0.6321…。確かに0.6を超えてくる。

これで「確率が1/nであるような試行をn回繰り返したときに一度でも観測する確率はnの値によらず1-exp(-1)(0.6321)より大きい事」が証明された。なおnが小さいときの方がF(n;1/n)の値は大きく，nが大きくなると，0.6321に漸近していく模様 (n=10000のとき，0.632139)．

この世には「オイラーの定理」なんて不等式まであるのか…この式でa=-1と置くと(1-1/x)^x＜exp(-1)(0.3678794)となった様に、a=1と置くと(1+1/x)^x＜exp(1)(2.718282)となる訳ですが…
【初心者向け】指数・対数関数の発見とそれ以降の発展について。


こうなので「x>0でa≠0の時,(1+a/x)^x＜e^aが成立する」考え方そのものは自明の理(Trival Case)なんですが、ここで気になるのが以下との兼ね合い。
【Rで球面幾何学】「世界で一番美しい公式」オイラーの等式の罠？

Nの増加に伴う(1±1/N)^N関数の半径1の単位円(Unit Circle)に対する「河童巻き」動作は外回り(つまり外接的)な上、Nが小さいほど大雑把なので等周定理(Isoperimetric Theorem)「長さが一定である閉曲線Cの中でCが囲む面積が最大となるものは円である」と突き合わせると不等式の符号が逆転してしまう様に見えるんですね。これを防ぐには単位円(Unit Circle)が内接的に展開する流れを考える必要がある訳ですが…それで考え方として合ってる？
等周問題に関連する高校数学の問題
等周問題

それに関連してa=0の時に「(おそらく長さ無限の)一直線」になってしまう問題が三角不等式(Triangle Inequality)を想起させるのが気になっています。案外こんな辺りに突破口が…
【初心者向け】「三角不等式(Triangle Inequality)」の体感方法？

• ところで1-exp(-1)(0.6321…)が「Nによらず特定の目(確率1/N)にN回の試行でN回目に到達する成功確率」なら1+exp(-1)(1.367879)は何を意味するのだろう。上掲の謎生物π^rの比喩に従うなら「試行回数Nによらず、成長が昨年並だったと仮定した場合に(指数計算でなく算術計算で算出される)控え目の成功予想」辺りに落ち着きそうだが、どうやらそこに数理的根拠は伴わない様で、あくまでヒューリスティックス(Heuristics)に基づく指標に留まる模様…
  ヒューリスティックス(Heuristics) - Wikipedia

ところで実はここまで謎生物π^rの特徴について様々な考察を重ねながら、肝心の話題に触れるのをずっと後回しにしてきたのです。

• ＋方向への半径がexp(1)(2.718282)で、−方向への半径がexp(-1)(0.3678794)ときては、それは到底真円とはいえないのでは？

元来、確率論における円形分布(Circular Distribution)は極座標系(Polar Coordinates System)の一種であり、ユークリッド距離関数sqrt(x^2+y^2)=半径r(ただしr＞=0)に従って同心円集合(Concentric Set)を展開するものと想定されているので、そう簡単に歪まれては実に困った展開を迎えてしまうのです…
【Rで球面幾何学】等差数列(算術数列)②数直線概念から同心円集合概念へ

実は同じ問題を(exp(-x^2)を元関数とする)正規分布(Normal Distribution)も抱えていたりします。
【初心者向け】指数・対数関数の発見とそれ以降の発展について。

あれも実は正体が同じ「極座標系の円分布」なので(±符号が入り混じる)偏差(Deviation)が直接は扱えず、それでとりあえず二乗して「原点0からの1次元距離」に換算した分散(Variance)や標準偏差(SD=Standard Deviation)を間に噛ませる必要が生じてくる訳です。
【初心者向け】記述統計学と代表値

果たしてこの問題はどうやって解決されるのでしょう？

#そして「世界卵(World Egg)」が顕現する。

順番に見ていく事にします。

①関数(1-1/exp(x))^exp(x)=exp(cos(pi))はexp(-1)同様0.3678794…に収束。

#exp(cos(pi))=0.3678794
> exp(cos(pi))
[1] 0.3678794

#function (1-1/exp(x))^exp(x)
f0<-function(x)(1-1/exp(x))^exp(x)
> c0<-seq(0,20,length=21)
> c0
 [1]  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
> f0(c0)
 [1] 0.0000000 0.2874207 0.3414793 0.3585268 0.3644845 0.3666366 0.3674230 0.3677116
 [9] 0.3678177 0.3678567 0.3678711 0.3678764 0.3678783 0.3678790 0.3678793 0.3678794
[17] 0.3678794 0.3678794 0.3678794 0.3678794 0.3678794
plot(f0,xlim=c(0,10),ylim=c(0,1/2),main="(1-1/exp(x))^exp(x)",xlab="x",ylab="y=1-1/exp(x))^exp(x)")

②関数(1+1/exp(x))^exp(x)=exp(cos(0))はexp(1)同様2.718282…に収束。

#exp(cos(0))=2.718282
> exp(cos(0))
[1] 2.718282

#function (1+1/exp(x))^exp(x)
> f1<-function(x)(1+1/exp(x))^exp(x)
> c0<-seq(0,20,length=21)
> c0
 [1]  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
> f1(c0)
 [1] 2.000000 2.343238 2.554555 2.653562 2.693799 2.709180 2.714920 2.717043 2.717826
[10] 2.718114 2.718220 2.718259 2.718273 2.718279 2.718281 2.718281 2.718282 2.718282
[19] 2.718282 2.718282 2.718282
plot(f1,xlim=c(0,10),ylim=c(2,3),main="(1+1/exp(x))^exp(x)",xlab="x",ylab="y=1+1/exp(x))^exp(x)")

③そして関数exp(cos(x))にπnの周期を与えると(-1と1の間を往復する代わりに)この2つの数値の間を往復する。

> f2<-function(x)exp(cos(x))
> c0<-seq(0,10,length=11)
> c0
 [1]  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
f2(c0*pi)
 [1] 2.7182818 0.3678794 2.7182818 0.3678794 2.7182818 0.3678794 2.7182818 0.3678794
 [9] 2.7182818 0.3678794 2.7182818
> f2(c0)
 [1] 2.7182818 1.7165257 0.6595834 0.3715795 0.5201471 1.3279842 2.6121412 2.1252772
 [9] 0.8645899 0.4020695 0.4321115
plot(f2,xlim=c(0,10),ylim=c(0,3),main="exp(cos(x))",xlab="x",ylab="y=exp(cos(x))")
abline(h=1,col=rgb(1,0,0))

見た目通り面積比や和は保たれてない(X軸は無影響)。

> f2<-function(x)exp(cos(x))
> integrate(f2,-pi/2,pi/2)
6.208758 with absolute error < 4.1e-10
> integrate(f2,pi/2,3/2*pi)
1.746168 with absolute error < 1e-13

> 6.208758+1.746168
[1] 7.954926

④一方、関数exp(sin(x))にπnの周期を与えると1の行列となる。pi/2(90度)位相をズラすとexp(cos(x))同じ結果に（この辺りの特徴自体は円関数そのもの）。

f3<-function(x)exp(sin(x))
> c0<-seq(0,10,length=11)
> c0
 [1]  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
> f3(c0*pi)
 [1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
> f3(c0*pi+pi/2)
 [1] 2.7182818 0.3678794 2.7182818 0.3678794 2.7182818 0.3678794 2.7182818 0.3678794
 [9] 2.7182818 0.3678794 2.7182818
> f3(c0)
 [1] 1.0000000 2.3197768 2.4825777 1.1515628 0.4691642 0.3833050 0.7562256 1.9289708
 [9] 2.6895079 1.5100133 0.5804097
> plot(f3,xlim=c(0,10),ylim=c(0,3),main="exp(sin(x))",xlab="x",ylab="y=exp(sin(x))")
abline(h=1,col=rgb(1,0,0))

やはり見た目通り面積比や和は保たれてない(X軸は無影響)。

> f2<-function(x)exp(cos(x))
> integrate(f2,-pi/2,pi/2)
6.208758 with absolute error < 4.1e-10
> integrate(f2,pi/2,3/2*pi)
1.746168 with absolute error < 1e-13

> 6.208758+1.746168
[1] 7.954926

とはいえ当然、この二つの波形を組み合わせても円は描かれないのである。
再帰的繰り返し初回

expcos01<-function(Radian){
c0<-seq(0,pi*2,length=61)
cx<-exp(cos(c0))
cy<-exp(sin(c0))
plot(cx,cy,type="l",xlim=c(exp(-1),exp(1)),ylim=c(exp(-1),exp(1)),main="exp(Cos(θ)+Sin(θ)i)",xlab="exp(Cos(θ))",ylab="exp(Sin(θ)i)")
abline(h=1,col=rgb(1,0,0))
abline(v=1,col=rgb(1,0,0))
# θ位置を書き添える 。
text(cx[Radian],cy[Radian],"θ",col=rgb(0,1,0))
segments(1,1,cx[Radian],cy[Radian],col=rgb(0,1,0))
# 凡例を書き添える 。
legend("topright", legend=c("y=exp(Cos(θ)+Sin(θ)i)","x=y=1"), lty =c(1,1),col=c(rgb(0,0,0),rgb(1,0,0)))
}

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(1,59, length=30)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　expcos01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "expcos01.gif")

再帰的繰り返し2回目

expcos02<-function(Radian){
c0<-seq(0,pi*2,length=61)
cx<-exp(exp(cos(c0)))
cy<-exp(exp(sin(c0)))
plot(cx,cy,type="l",xlim=c(exp(exp(-1)),exp(exp(1))),ylim=c(exp(exp(-1)),exp(exp(1))),main="exp(exp(Cos(θ)+Sin(θ)i))",xlab="exp(exp(Cos(θ)))",ylab="exp(exp(Sin(θ)i))")
abline(h=exp(1),col=rgb(1,0,0))
abline(v=exp(1),col=rgb(1,0,0))
# θ位置を書き添える 。
text(cx[Radian],cy[Radian],"θ",col=rgb(0,1,0))
segments(exp(1),exp(1),cx[Radian],cy[Radian],col=rgb(0,1,0))
# 凡例を書き添える 。
legend("topright", legend=c("y=exp(exp(Cos(θ)+Sin(θ)i))","x=y=exp(1)"), lty =c(1,1),col=c(rgb(0,0,0),rgb(1,0,0)))
}

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(1,59, length=30)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　expcos02(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "expcos02.gif")

再帰的繰り返し3回目…既に単なるx=y=exp(exp(1))(15.15426)を交点とするx成分(x component){exp(exp(exp(-1)))(4.240443),exp(exp(exp(1)))(3814279)}とy成分(x component){exp(exp(exp(-1)))(4.240443),exp(exp(exp(1)))(3814279)}の直角交差に過ぎない。

expcos03<-function(Radian){
c0<-seq(0,pi*2,length=61)
cx<-exp(exp(exp(cos(c0))))
cy<-exp(exp(exp(sin(c0))))
plot(cx,cy,type="l",xlim=c(exp(exp(exp(-1))),exp(exp(exp(1)))),ylim=c(exp(exp(exp(-1))),exp(exp(exp(1)))),main="exp(exp(exp(Cos(θ)+Sin(θ)i)))",xlab="exp(exp(exp(Cos(θ))))",ylab="exp(exp(exp(Sin(θ)i)))")
# θ位置を書き添える 。
text(cx[Radian],cy[Radian],"θ",col=rgb(0,1,0))
segments(exp(exp(1)),exp(exp(1)),cx[Radian],cy[Radian],col=rgb(0,1,0))
# 凡例を書き添える 。
legend("topright", legend=c("y=exp(exp(exp(Cos(θ)+Sin(θ)i)))"), lty =c(1),col=c(rgb(0,0,0)))
}

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(1,61, length=61)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　expcos03(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "expcos03.gif")

自然指数関数(Natural Exponential Function)の逆関数(Inverse Function)たる自然対数関数(Natural Logarithm Function)でも同じ結果が得られる。
再帰的繰り返し初回

logcos01<-function(Radian){
c0<-seq(0,pi*2,length=61)
cx<-rev(exp(sin(c0)))
cy<-rev(exp(cos(c0)))
plot(cx,cy,type="l",xlim=c(exp(-1),exp(1)),ylim=c(exp(-1),exp(1)),main="log(Cos(θ)+Sin(θ)i)",xlab="log(Cos(θ))",ylab="log(Sin(θ)i)")
abline(h=1,col=rgb(1,0,0))
abline(v=1,col=rgb(1,0,0))
# θ位置を書き添える 。
text(cx[Radian],cy[Radian],"θ",col=rgb(0,1,0))
segments(1,1,cx[Radian],cy[Radian],col=rgb(0,1,0))
# 凡例を書き添える 。
legend("topright", legend=c("y=log(Cos(θ)+Sin(θ)i)","x=y=log(exp(1))=1"), lty =c(1,1),col=c(rgb(0,0,0),rgb(1,0,0)))
}

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(1,59, length=30)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　logcos01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "logcos01.gif")

再帰的繰り返し2回目

logcos02<-function(Radian){
c0<-seq(0,pi*2,length=61)
cx<-rev(exp(exp(sin(c0))))
cy<-rev(exp(exp(cos(c0))))
plot(cx,cy,type="l",xlim=c(exp(exp(-1)),exp(exp(1))),ylim=c(exp(exp(-1)),exp(exp(1))),main="log(log(Cos(θ)+Sin(θ)i))",xlab="log(log(Cos(θ)))",ylab="log(log(Sin(θ)i))")
abline(h=exp(1),col=rgb(1,0,0))
abline(v=exp(1),col=rgb(1,0,0))
# θ位置を書き添える 。
text(cx[Radian],cy[Radian],"θ",col=rgb(0,1,0))
segments(exp(1),exp(1),cx[Radian],cy[Radian],col=rgb(0,1,0))
# 凡例を書き添える 。
legend("topright", legend=c("y=log(log(Cos(θ)+Sin(θ)i))","x=y=exp(1)"), lty =c(1,1),col=c(rgb(0,0,0),rgb(1,0,0)))
}

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(1,59, length=30)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　logcos02(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "logcos02.gif")

再帰的繰り返し3回目

logcos03<-function(Radian){
c0<-seq(0,pi*2,length=61)
cx<-rev(exp(exp(exp(sin(c0)))))
cy<-rev(exp(exp(exp(cos(c0)))))
plot(cx,cy,type="l",xlim=c(exp(exp(exp(-1))),exp(exp(exp(1)))),ylim=c(exp(exp(exp(-1))),exp(exp(exp(1)))),main="log(log(log(Cos(θ)+Sin(θ)i)))",xlab="log(log(log(Cos(θ))))",ylab="log(log(log(Sin(θ)i)))")
# θ位置を書き添える 。
text(cx[Radian],cy[Radian],"θ",col=rgb(0,1,0))
segments(exp(exp(1)),exp(exp(1)),cx[Radian],cy[Radian],col=rgb(0,1,0))
# 凡例を書き添える 。
legend("topright", legend=c("y=log(log(log(Cos(θ)+Sin(θ)i)))"), lty =c(1),col=c(rgb(0,0,0)))
}

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(1,61, length=61)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　logcos03(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "logcos03.gif")

こうして円関数集合(Circle Function Set)がある種の「両者を互いの逆元とする場合の単位元」として浮上してくる訳である。

【Rで球面幾何学】等差数列(算術数列)②数直線(Number Line)概念から同心円集合(Concentric Set)概念へ
①直線y=0を軸線に選ぶとxの値が+1から-1(-1から+1)にかけて推移するのに対して、yの値は決して0以下(0以上)にならない。

これは円関数集合(Circle Function Set)でいうとCos(θ)+Sin(θ)iに該当する。

②一方直線x=0を軸線に選ぶとyの値が+1から-1(-1から+1)にかけて推移するのに対して、xの値は決して0以下(0以上)にならない。

これは円関数集合(Circle Function Set)でいうとSin(θ)+Cos(θ)iに該当する。

⑤ならば、どう考えるべきなのか？　現段階で私が思いつけた唯一の処方箋は球面関数sqrt(x^2+y^2+z^2)のZ軸を対数尺(Logarithmic Scale)に切り替えるというものだった。手品の種は「X軸とY軸は二つセットで極座標系を表現しているので弄れないが(実質上、合わせて1次元)それと直交する(すなわち互いに独立している)Z軸に加えられる操作はこれに影響を与えない」なる数理。ここで興味深いのが「球面を構成するZ軸要素(すなわち半径rが赤道で最大、南極と北極で最小となる円形増減)もまたZ軸そのものとは独立している」事で、これを平面上のみで展開すると螺旋運動、あるいは渦巻運動となる訳である。実は自分でプログラミングしてみるまで「こういうものだ」とちゃんと頭に入ってなかった…

【初心者向け】「単位円筒」から「単位球面」へ
それにつけても何故この形？　ネットで探して唯一納得がいった説明がこれ。
卵はなぜあんな形をしているのか？

鶏の体内で卵がどのように形作られるかといいますと、卵巣という組織でまず卵黄（いわゆる黄身）が作られ、これが卵管という管に入ってその中を通る内に、卵黄は周りを卵白で包まれ、周りに卵殻膜と言う物が作られます。

最後に子宮にあたる部分で卵殻膜にカルシウムが沈着して殻が形成されて卵となります。

この過程は大体２４時間、つまり丸一日かかります。毎日卵を産む採卵鶏ですと、卵管のなかには卵が卵黄だけの状態から殻がついたものまで順序良く並んでいるのです。

その形は卵黄だけの状態では、ほぼまん丸の形に近いのに、卵白が形成された時点で既に楕円に近い状態になっています。

つまり卵管の中をずっと転がっていく内に、真円に近い状態から自然と重心の偏った丸い形状になっていくということになります。たまご形のその理由は、あえて言うなら重力のなせる技でしょうか？

卵の形が魅力的に見えるのは、物理法則にかなっているから、かも知れませんね。

正規分布(Normal Distribution)において水平面の「極座標系の円分布」と垂直面の(exp(-x^2)で表される)所謂「釣鐘曲線(Bell curve)」が共存出来てる仕組みも、この「世界卵(World Egg)」の構造と同じ。

#人類はどうやって「世界卵(World Egg)」から目を背けてきたか？

そう、冒頭の設問内容は、ここへきて掲題の様に完全に反転してしまうのです。それは「指数・対数関数がどうして近世まで発見されなかったか？」を振り返る歴史探索の旅でもあります。
【初心者向け】指数・対数関数の発見とそれ以降の発展について。

①exp(1)(2.718282)について…おそらく所謂「複利計算の期間分割問題」において増率が2.7倍以上に到達する73分割以上にもはやそれほどの意義が見出せなかった?

> f4<-function(x)(1+1/x)^x
> c1<-seq(0,100,length=101)
> f4(c1)
  [1] 1.000000 2.000000 2.250000 2.370370 2.441406 2.488320 2.521626 2.546500 2.565785
 [10] 2.581175 2.593742 2.604199 2.613035 2.620601 2.627152 2.632879 2.637928 2.642414
 [19] 2.646426 2.650034 2.653298 2.656263 2.658970 2.661450 2.663731 2.665836 2.667785
 [28] 2.669594 2.671278 2.672849 2.674319 2.675696 2.676990 2.678208 2.679355 2.680439
 [37] 2.681464 2.682435 2.683357 2.684232 2.685064 2.685856 2.686612 2.687333 2.688022
 [46] 2.688681 2.689312 2.689917 2.690497 2.691053 2.691588 2.692102 2.692597 2.693073
 [55] 2.693532 2.693975 2.694402 2.694814 2.695213 2.695598 2.695970 2.696330 2.696679
 [64] 2.697017 2.697345 2.697663 2.697971 2.698270 2.698560 2.698842 2.699116 2.699383
 [73] 2.699642 2.699894 2.700140 2.700379 2.700611 2.700838 2.701059 2.701275 2.701485
 [82] 2.701690 2.701890 2.702085 2.702276 2.702462 2.702644 2.702822 2.702996 2.703166
 [91] 2.703332 2.703495 2.703654 2.703810 2.703962 2.704112 2.704258 2.704401 2.704542
[100] 2.704679 2.704814

• 近似問題として「人類は正多角形をどれくらいの角数から円と見做すか？」なる設問があり、古代段階で既に早々に「60角形辺りが境界線?」なる結論が下されていたりする。どうやらこの辺りがカンブリア爆発以降生物が獲得した「視覚とそれを処理する脳髄」の処理能力の限界らしい。
  【初心者向け】「円そのもの」の近似から派生した角度と経度の概念の起源
  
  

②exp(1)(2.718282)について…おそらく所謂「お見合い問題」において区間(Interval){0→1}を確率密度空間(Probability Density Space){0%→100%}と置いちゃう時点で絶望的。後はひたすらヒューリスティックス(Heuristics)の嵐…
秘書問題をシミュレーションしてみた

#n人の応募者に対して、何人目まで応募者を見て、選び始めるべきなのかをtry_cnt回試行した確率でシミュレートする。

try_cnt <- 10000
# 人数
n <- 100
# 伴侶
pertner <- numeric(n)
# 確率分布
prob <- numeric(n)

# jは見る人数
for(j in 1:(n-1)){
success <- 0
for(i in 1:try_cnt){
# ランダムに優先度割付
pertner <- sample(1:n,n)
# 基準値
criterion_max <- 0
# 成功数カウント
excel_cnt <- 0
for(k in 1:j){
if(criterion_max <pertner[k]){
criterion_max <-pertner[k]
}
}
for(l in (j+1):n){
if(criterion_max <pertner[l]){
excel_cnt <- excel_cnt + 1
criterion_max <-pertner[l]
}
}
if(excel_cnt == 1){
success <- success + 1
}
}
prob[j] <- success / try_cnt
}
# 確率分布に行番号付与
rownum <- 1:n
distribution <- cbind(rownum,prob)
# グラフにプロット
plot(distribution,type="h",main="Best_Choice_Problem")

• 所謂お見合い問題においては概ね「生涯で最も適切な伴侶を選ぶには、候補に100人出会うとして36人目まで見てから決めるのが最適」なる「（10人中の）4人目（100人中の）37人目（1000人中の）368人目からが本番」なるルールが証明される訳だが、ここで浮上してくる問題が２つ。「生涯のうちに出会う伴侶候補の人数は臨終の瞬間まで確定しない」そして「誰もがこのアルゴリズムが有効となるほど伴侶候補と出会うとは限らない」。そもそも「Nが十分に大きい時」なる条件に隠された残酷さ。人によっては368人目や37人目どころか4人目すら怪しいというのに…
  秘書問題（お見合い問題）
  お見合いにおける鳩山理論とは

いずれにせよ「世界卵(World Egg)」なんて仮名まで与えられるほどその特徴が列記可能となった時点で名状し難きもの(The Unnamableとしての寿命は尽きてる訳ですが…そういえばこの世界卵、その植物的イメージに関わらず「泳ぐ=区間{exp(1)→exp(-1)}では速度最大/面積最小、区間{exp(-1)→exp(1)}では速度最小/面積最大となる往復運動によって-y方向に進む」なる物理的特徴も備えていたりするんですね。
【初心者向け】「泳ぐ」数理について。

• 物理運動として最適化されてる方なのだろうか？　世界卵をひっくり返して眺めると、ついクラゲやキノコを連想してしまう。こうした形の相似形には何らかの共通する数理(Mathematical Things)が潜んでいる様に思えてならない。

これが私が世に解き放ちたかった名状し難きもの(The Unnamable改め世界卵(World Egg)の概ねの特徴。ここまでの記述を十分に理解し得た人の脳内では、既にそれがヒヨヒヨと泳いでいる事でしょう(既に貴方も「感染者」の一人です)。確かに一見すると利用価値のない無意味な数理にしか見えませんが、それでも世界卵は実在しているのです。とはいえ私一人でその事について考え続けるのにはもう疲れて果ててしまいました。「僕には時間がないんだ (je n'ai pas le temps)。後は誰かが勝手にどうぞ!!」。おっと、お後がよろしい様で…