コンピューターなどが稼働する加算直積可能世界(Countable and Productable Sets)は、残念ながら「辺長が無限小(1/Inf)で辺数が無限大(Inf)」と定義される円そのもの(Circle itself)を直接は扱えません。それで概念上、必要にして十分なだけの辺数(NoS=Number of Sides)を備えた正多辺形(Regular PolySides)を用意し、これを代替操作対象としてきたのです。例えば、その起源がシュメール文明(紀元前3500年〜紀元前2350年頃)まで遡るとされる60進法に由来する60角形…

正多角形による円の近似

#CVCM=等速円運動（Constant Velocity Circular Motion）
#Radian=角度（60分割）
CVCM<-function(Radian){
c0<-seq(0,2*pi,length=60)
cx<-cos(c0)
cy<-sin(c0)
plot(cx,cy,asp=1,type="l",col=rgb(0,1,0),main="Constant Velocity Circular Motion",xlab="cos(θ)",ylab="sin(θ)")

#塗りつぶし（円）
polygon(cx, #x
cy, #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=c(200,200,200)) 　#塗りつぶす色
text(cx[Radian],cy[Radian],"%",col=rgb(1,0,0))

segments(cx[Radian],cy[Radian],0,0,col=rgb(1,0,0))

#凡例
legend("bottomright", legend=c("side=2π/1τ","radius=1"), lty=c(1,1), col=c(rgb(0,1,0),rgb(1,0,0))) 
}
#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(1,59, length=30)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　CVCM(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "CVCM01.gif")

とりあえずこうした考え方を近似円概念(Approximate Circle Concept)と呼ぶ事にします。見掛けはほとんど円そのもの。しかも「必要にして十分なだけの辺数を備えた正多辺形への代替」に成功した副産物として角度の概念の導入が可能となるのです。

角度概念の起源

そもそも「円そのもの」の各頂点は中心からの垂線(Perpendicular)と直角に交わるとされているので、それぞれを含む水平線(Horizon)も引ける訳です。近似円概念を直交座標系（Rectangular Coordinate System / Orthogonal Coordinate System）に射影(Projiection)する際の基本ですね。例えば半径1の単位円を原点(0,0)に射影する場合は以下となります。

円の上端の座標=(0,1)
円の下端の座標=(0,-1)
円の左端の座標=(-1,0)
円の右端の座標=(1,0)

後はどう分割結果を反映させるかですね。尺度としては60*60=360を分割数に据えた度数法(Degree measure)と、半径rの円の周長が2πrである点に注目した弧度法(Radian measure)辺りが二大巨塔と目されています。後者は当然、それに先立って半径rの場合の円周長2πrが求められる必要がありました。
【初心者向け】挟み撃ち定理（Squeeze Theorem）による円周率πの近似
 弧度法とは？度数法との違いと表・求め方

	radians	degrees	Cos	Sin
1	0.00	0.00	1.00	0.00
2	0.10	6.00	0.99	0.10
3	0.21	12.00	0.98	0.21
4	0.31	18.00	0.95	0.31
5	0.42	24.00	0.91	0.41
6	0.52	30.00	0.87	0.50
7	0.63	36.00	0.81	0.59
8	0.73	42.00	0.74	0.67
9	0.84	48.00	0.67	0.74
10	0.94	54.00	0.59	0.81
11	1.05	60.00	0.50	0.87
12	1.15	66.00	0.41	0.91
13	1.26	72.00	0.31	0.95
14	1.36	78.00	0.21	0.98
15	1.47	84.00	0.10	0.99
16	1.57	90.00	0.00	1.00
17	1.68	96.00	-0.10	0.99
18	1.78	102.00	-0.21	0.98
19	1.88	108.00	-0.31	0.95
20	1.99	114.00	-0.41	0.91
21	2.09	120.00	-0.50	0.87
22	2.20	126.00	-0.59	0.81
23	2.30	132.00	-0.67	0.74
24	2.41	138.00	-0.74	0.67
25	2.51	144.00	-0.81	0.59
26	2.62	150.00	-0.87	0.50
27	2.72	156.00	-0.91	0.41
28	2.83	162.00	-0.95	0.31
29	2.93	168.00	-0.98	0.21
30	3.04	174.00	-0.99	0.10
31	3.14	180.00	-1.00	0.00
32	3.25	186.00	-0.99	-0.10
33	3.35	192.00	-0.98	-0.21
34	3.46	198.00	-0.95	-0.31
35	3.56	204.00	-0.91	-0.41
36	3.67	210.00	-0.87	-0.50
37	3.77	216.00	-0.81	-0.59
38	3.87	222.00	-0.74	-0.67
39	3.98	228.00	-0.67	-0.74
40	4.08	234.00	-0.59	-0.81
41	4.19	240.00	-0.50	-0.87
42	4.29	246.00	-0.41	-0.91
43	4.40	252.00	-0.31	-0.95
44	4.50	258.00	-0.21	-0.98
45	4.61	264.00	-0.10	-0.99
46	4.71	270.00	-0.00	-1.00
47	4.82	276.00	0.10	-0.99
48	4.92	282.00	0.21	-0.98
49	5.03	288.00	0.31	-0.95
50	5.13	294.00	0.41	-0.91
51	5.24	300.00	0.50	-0.87
52	5.34	306.00	0.59	-0.81
53	5.45	312.00	0.67	-0.74
54	5.55	318.00	0.74	-0.67
55	5.65	324.00	0.81	-0.59
56	5.76	330.00	0.87	-0.50
57	5.86	336.00	0.91	-0.41
58	5.97	342.00	0.95	-0.31
59	6.07	348.00	0.98	-0.21
60	6.18	354.00	0.99	-0.10
61	6.28	360.00	1.00	-0.00

#角度(ラディアン/度)とCos（θ）/Sin（θ）の対応
c0<-seq(0,2*pi,length=61)
c1<-seq(0,360,length=61)
cx<-cos(c0)
cy<-sin(c0)
TR01<- data.frame(radians=c0,degrees=c1,Cos=cx,Sin=cy)
library(xtable)
print(xtable(TR01),type="html")

これではあまりに解りにくいので、初学者向けにこういう図も出回っている様です。試験向けに暗記するならこっち？

とりあえず半径1,周長2πの単位円(Unit Circle)の円弧上において、角度さえ求められれば自動的に決定するx座標が正弦波(Sine wave)、y座標が余弦波(Cosin wave)という認識。
【初心者向け】物理学における「単位円筒(Unit Cylinder)」の概念について。

XY軸（円弧）

XZ軸（Cos波）

YZ軸（Sin波）

【初心者向け】三角関数と指数・対数関数の「巡回性」について。

【Rで球面幾何学】オイラーの公式を導出したマクローリン級数の限界？

【Rで球面幾何学】オイラーの公式とは、そもそも何か？

地球儀上における経度(longitude)の概念はこれに由来するとも。
緯度経度とは？
ならば緯度の概念は何処から発祥したのでしょう…それについては、以下続報。

【初心者向け】「円そのもの」の近似から派生した角度と経度の概念の起源

正多角形による円の近似

角度概念の起源