すでに一度変数の型を宣言したものに、(int)がなぜ使われているのでしょうか？（

(int)は、変数定義ではなくキャストです。
S.size()の返す値は、int以外の型ではないでしょうか?
それを、(int)と前置することで、iと比較可能なint型であると宣言しています。

for (int i = 0; i < (int)S.size(); ++i){
    cout <<  S[i] << " ";
}

• ソースの挿入を「```cpp:」の行で始めると、C++の文法に基づいて着色されて読みやすくなります。
• 既に投稿した質問でも、再度編集して書き替えることができます。
  • 記事の右上辺りに「編集する」リンクがあると思います。

これは雑なキャストをしてコンパイラの警告を黙らせているコードですね。
Sの型にもよりますが、おそらくS.size()はstd::size_tなどの符号なしの型なのでしょう。符号なしの型と符号付きの型を比較すると、まともなコンパイラなら警告を出します。
本来なら、このようなキャストで警告を黙らせるのではなく、iの型をS.size()の型と同じにするのが良い解決策です。