想定読者と到達目標

圏、関手、自然変換、
それぞれの定義をひとまず把握した人へ。

ダイアグラム計算を通して
圏論してる雰囲気を醸し出す。

無くて困るものじゃないけど、
ダイアグラムって何かカッコいいし、
後で使うかもしれないのでここに記す¹。

圏論入門前の準備運動―集合と写像―
もう諦めない圏論入門―対象と射―
もう諦めない圏論入門―圏と関手―
もう諦めない圏論入門―関手と自然変換―
もう諦めない圏論付録―ストリング・ダイアグラム―
- 可換図式とストリング・ダイアグラムの関係を受け入れる
- ポアンカレ双対を理解した気になる
もう諦めない圏論基礎―極限からカン拡張へ―
もう諦めない圏論基礎―モノイドからモナドへ―
もう諦めない圏論基礎―高次元圏と変換手―

ストリング・ダイアグラム

可換図式をストリング・ダイアグラム
で表現するためのルールを定める。

射の射という概念を扱いたいので、
ここでは圏の圏 $\mathbf{Cat}$ を考える。

圏と関手

関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ を考える。

ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。

合成関手

関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ と関手 $G \colon \boldsymbol{D} \longrightarrow \boldsymbol{E}$ を考える。

ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。

このストリング・ダイアグラムを用いて、
合成関手 $F \cdot G \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{E}$ を計算しよう。

スライドモードで見れば、計算が進む様子を
パラパラ漫画的に把握できるだろう。たぶん。

これが、

こうなる。

恒等関手

恒等関手 $\mathrm{id}_{\boldsymbol{C}} \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ を考える。

ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。

左単位律

恒等関手 $\mathrm{id}_{\boldsymbol{C}} \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ を考える。

ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。

このストリング・ダイアグラムを用いて、
恒等関手 $\mathrm{id}_{\boldsymbol{C}}$ と関手 $F$ を合成してみよう。

合成の結果はもちろん関手 $F$ となるわけで、
恒等関手が点線な気持ちが分かるだろう。

これが、

こうなる。

右単位律

関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ と恒等関手 $\mathrm{id}_{\boldsymbol{D}} \colon \boldsymbol{D} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ を考える。

ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。

このストリング・ダイアグラムを用いて、
関手 $F$ と恒等関手 $\mathrm{id}_{\boldsymbol{D}}$ を合成してみよう。

合成の結果はもちろん関手 $F$ となるわけで、
恒等関手が点線な気持ちが分かるだろう。

これが、

こうなる。

関手と自然変換

自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow G$ を考える。

ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。

垂直合成

自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow G$ と自然変換 $\sigma \colon G \Longrightarrow H$ を考える。

ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。

このストリング・ダイアグラムを用いて、
垂直合成 $\theta \ggg \sigma \colon F \Longrightarrow H$ を計算しよう。

スライドモードで見れば、計算が進む様子を
パラパラ漫画的に把握できるだろう。たぶん。

これが、

こうなる。

水平合成

自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow F'$ と自然変換 $\sigma \colon G \Longrightarrow G'$ を考える。

ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。

このストリング・ダイアグラムを用いて、
水平合成 $\theta \cdot \sigma \colon F \cdot G \Longrightarrow F' \cdot G'$ を計算しよう。

スライドモードで見れば、計算が進む様子を
パラパラ漫画的に把握できるだろう。たぶん。

これが、

こうなる。

恒等変換

恒等変換 $\mathrm{id}_{F} \colon F \Longrightarrow F$ を考える。

ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。

上単位律

恒等変換 $\mathrm{id}_{F} \colon F \Longrightarrow F$ と自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow G$ を考える。

ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。

このストリング・ダイアグラムを用いて、
恒等変換 $\mathrm{id}_{F}$ と自然変換 $\theta$ を合成してみよう。

合成の結果はもちろん自然変換 $\theta$ となるわけで、
恒等変換が点線な気持ちが分かるだろう。

これが、

こうなる。

下単位律

自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow G$ と恒等変換 $\mathrm{id}_{G} \colon G \Longrightarrow G$ を考える。

ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。

このストリング・ダイアグラムを用いて、
自然変換 $\theta$ と恒等変換 $\mathrm{id}_{G}$ を合成してみよう。

合成の結果はもちろん自然変換 $\theta$ となるわけで、
恒等変換が点線な気持ちが分かるだろう。

これが、

こうなる。

関手の圏

双関手 $- \cdot - \colon \boldsymbol{D}^\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{E}^\boldsymbol{D} \longrightarrow \boldsymbol{E}^\boldsymbol{C}$ が関わる計算は
ストリング・ダイアグラムで描けば楽になる。

結合律と単位律や交替律などの性質を
図の変形として直感的に取り扱えるからだろう。

関手と自然変換の合成

関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ と自然変換 $\sigma \colon G \Longrightarrow G'$ を考える。

ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。

このストリング・ダイアグラムを用いて、
関手 $F$ と自然変換 $\sigma$ の合成を計算しよう。

スライドモードで見れば、計算が進む様子を
パラパラ漫画的に把握できるだろう。たぶん。

これが、

こうなる。

自然変換と関手の合成

自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow F'$ と関手 $G \colon \boldsymbol{D} \longrightarrow \boldsymbol{E}$ を考える。

ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。

このストリング・ダイアグラムを用いて、
自然変換 $\theta$ と関手 $G$ の合成を計算しよう。

スライドモードで見れば、計算が進む様子を
パラパラ漫画的に把握できるだろう。たぶん。

これが、

こうなる。

交替律

水平合成は次のように書けるのであった。
$\theta \cdot \sigma = \theta \cdot G \ggg F' \cdot \sigma = F \cdot \sigma \ggg \theta \cdot G'$

ストリング・ダイアグラムにより
この式を視覚的に捉えることができる。

まず、
自然変換 $\theta$ と関手 $G$ の合成
関手 $F'$ と自然変換 $\sigma$ の合成
を計算してみよう。

これが、

こうなって、

こうなる。

また、
関手 $F$ と自然変換 $\sigma$ の合成
自然変換 $\theta$ と関手 $G'$ の合成
を計算してみよう。

これが、

こうなって、

こうなる。

したがって、水平合成の交替律
$\theta \cdot \sigma = \theta \cdot G \ggg F' \cdot \sigma = F \cdot \sigma \ggg \theta \cdot G'$
は次の変形を行って良いことをあらわす。
$=$

対象と射

圏 $\boldsymbol{C}$ の射 $f \colon a \longrightarrow b$ を考える。

ストリング・ダイアグラムで描くために
対象と射を関手と自然変換とみなす²。

格上げ

対象が１つ $\{*\} = \mathrm{Obj}(\mathbf{1})$ で
射が１つ $\{\mathrm{id}_{\displaystyle *}\} = \mathrm{Mor}(\mathbf{1})$ な単位圏 $\mathbf{1}$ から
圏 $\boldsymbol{C}$ への関手 $\widetilde{a}, \widetilde{b} \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と
自然変換 $\widetilde{f} \colon \widetilde{a} \Longrightarrow \widetilde{b}$ を考える。

$f \colon a \longrightarrow b$ と $\widetilde{f} \colon \widetilde{a} \Longrightarrow \widetilde{b}$ を同一視して
チルダを陽には書かないことにする。

ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。

自然性

自然変換 $f \colon a \Longrightarrow b$ と自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow G$ を考えると、
$f \cdot \theta = f \cdot F \ggg b \cdot \theta = a \cdot \theta \ggg f \cdot G$ であり
ダイアグラム計算で次の変形を行って良い。
$=$
これは、対象 $\{*\} = \mathrm{Obj}(\mathbf{1})$ として
$(f \cdot \theta)_{\displaystyle *} = F\ f_{\displaystyle *} \ggg \theta_{b\,{\displaystyle*}} = \theta_{a\,{\displaystyle*}} \ggg G\ f_{\displaystyle *}$
すなわち、自然変換 $\theta$ が満たすべき式
$(f \cdot \theta)_{\displaystyle *} = F\ f \ggg \theta_{b} = \theta_{a} \ggg G\ f$
をあらわしており、何か上手くできてる。

随伴関手

これでルールは定まったので、
ストリング・ダイアグラムを用いて
随伴について考えてみよう。

単位

自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}} \Longrightarrow F \cdot G$ を考える。

ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。

このストリング・ダイアグラムを用いて、
関手 $F$ と関手 $G$ を合成してみよう。

これが、

こうなる。

余単位

自然変換 $\varepsilon \colon G \cdot F \Longrightarrow \mathrm{id}_{\boldsymbol{D}}$ を考える。

ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。

このストリング・ダイアグラムを用いて、
関手 $G$ と関手 $F$ を合成してみよう。

これが、

こうなる。

単位と余単位

自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}} \Longrightarrow F \cdot G$ と
自然変換 $\varepsilon \colon G \cdot F \Longrightarrow \mathrm{id}_{\boldsymbol{D}}$ を考える。

ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。

このストリング・ダイアグラムを用いて、
関手や自然変換の計算してみよう。

これが、

こうなって、

こうなる。

余単位と単位

自然変換 $\varepsilon \colon G \cdot F \Longrightarrow \mathrm{id}_{\boldsymbol{D}}$ と
自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}} \Longrightarrow F \cdot G$ を考える。

ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。