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もう諦めない圏論付録―ストリング・ダイアグラム―

もう諦めない圏論付録―ストリング・ダイアグラム―

by norkron
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想定読者と到達目標

圏、関手、自然変換、
それぞれの定義をひとまず把握した人へ。

ダイアグラム計算を通して
圏論してる雰囲気を醸し出す。

無くて困るものじゃないけど、
ダイアグラムって何かカッコいいし、
後で使うかもしれないのでここに記す1


目次


ストリング・ダイアグラム

可換図式をストリング・ダイアグラム
で表現するためのルールを定める。

射の射という概念を扱いたいので、
ここでは圏の圏 $\mathbf{Cat}$ を考える。


圏と関手

関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ を考える。
関手F
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
関手F(ストリング図)


合成関手

関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ と関手 $G \colon \boldsymbol{D} \longrightarrow \boldsymbol{E}$ を考える。
関手Fと関手G
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
関手Fと関手G(ストリング図)


このストリング・ダイアグラムを用いて、
合成関手 $F \cdot G \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{E}$ を計算しよう。

スライドモードで見れば、計算が進む様子を
パラパラ漫画的に把握できるだろう。たぶん。


関手Fと関手G(ストリング図)
これが、


関手Fと関手Gの合成(ストリング図)
こうなる。


恒等関手

恒等関手 $\mathrm{id}_{\boldsymbol{C}} \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ を考える。
恒等関手
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
恒等関手(ストリング図)


左単位律

恒等関手 $\mathrm{id}_{\boldsymbol{C}} \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と 関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ を考える。
恒等関手と関手F
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
恒等関手と関手F(ストリング図)


このストリング・ダイアグラムを用いて、
恒等関手 $\mathrm{id}_{\boldsymbol{C}}$ と関手 $F$ を合成してみよう。

合成の結果はもちろん関手 $F$ となるわけで、
恒等関手が点線な気持ちが分かるだろう。


恒等関手と関手F(ストリング図)
これが、


関手F(ストリング図)
こうなる。


右単位律

関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ と 恒等関手 $\mathrm{id}_{\boldsymbol{D}} \colon \boldsymbol{D} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ を考える。
関手Fと恒等関手
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
関手Fと恒等関手(ストリング図)


このストリング・ダイアグラムを用いて、
関手 $F$ と恒等関手 $\mathrm{id}_{\boldsymbol{D}}$ を合成してみよう。

合成の結果はもちろん関手 $F$ となるわけで、
恒等関手が点線な気持ちが分かるだろう。


関手Fと恒等関手(ストリング図)
これが、


関手F(ストリング図)
こうなる。


関手と自然変換

自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow G$ を考える。
自然変換theta
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
自然変換theta(ストリング図)


垂直合成

自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow G$ と自然変換 $\sigma \colon G \Longrightarrow H$ を考える。
自然変換thetaと自然変換sigma
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
自然変換thetaと自然変換sigma(ストリング図)


このストリング・ダイアグラムを用いて、
垂直合成 $\theta \ggg \sigma \colon F \Longrightarrow H$ を計算しよう。

スライドモードで見れば、計算が進む様子を
パラパラ漫画的に把握できるだろう。たぶん。


自然変換thetaと自然変換sigma(ストリング図)
これが、


自然変換thetaと自然変換sigmaの垂直合成(ストリング図)
こうなる。


恒等変換

恒等変換 $\mathrm{id}_{F} \colon F \Longrightarrow F$ を考える。
恒等変換
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
恒等変換(ストリング図)


上単位律

恒等変換 $\mathrm{id}_{F} \colon F \Longrightarrow F$ と自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow G$ を考える。
恒等変換と自然変換theta
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
恒等変換と自然変換theta(ストリング図)


このストリング・ダイアグラムを用いて、
恒等変換 $\mathrm{id}_{F}$ と自然変換 $\theta$ を合成してみよう。

合成の結果はもちろん自然変換 $\theta$ となるわけで、
恒等変換が点線な気持ちが分かるだろう。


恒等変換と自然変換theta(ストリング図)
これが、


自然変換theta(ストリング図)
こうなる。


下単位律

自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow G$ と恒等変換 $\mathrm{id}_{G} \colon G \Longrightarrow G$ を考える。
自然変換thetaと恒等変換
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
自然変換thetaと恒等変換(ストリング図)


このストリング・ダイアグラムを用いて、
自然変換 $\theta$ と恒等変換 $\mathrm{id}_{G}$ を合成してみよう。

合成の結果はもちろん自然変換 $\theta$ となるわけで、
恒等変換が点線な気持ちが分かるだろう。


自然変換thetaと恒等変換(ストリング図)
これが、


自然変換theta(ストリング図)
こうなる。


水平合成

自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow F'$ と自然変換 $\sigma \colon G \Longrightarrow G'$ を考える。
自然変換thetaと自然変換sigma
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
自然変換thetaと自然変換sigma(ストリング図)


このストリング・ダイアグラムを用いて、
水平合成 $\theta \cdot \sigma \colon F \cdot G \Longrightarrow F' \cdot G'$ を計算しよう。

スライドモードで見れば、計算が進む様子を
パラパラ漫画的に把握できるだろう。たぶん。


自然変換thetaと自然変換sigma(ストリング図)
これが、


自然変換thetaと自然変換sigmaの水平合成(ストリング図)
こうなる。


自然変換と関手

自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow F'$ と関手 $G \colon \boldsymbol{D} \longrightarrow \boldsymbol{E}$ を考える。
自然変換thetaと関手G
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
自然変換thetaと関手G(ストリング図)


このストリング・ダイアグラムを用いて、
自然変換 $\theta$ と関手 $G$ の合成を計算しよう。

スライドモードで見れば、計算が進む様子を
パラパラ漫画的に把握できるだろう。たぶん。


自然変換thetaと関手G(ストリング図)
これが、


自然変換thetaと関手Gの合成(ストリング図)
こうなる。


関手と自然変換

関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ と自然変換 $\sigma \colon G \Longrightarrow G'$ を考える。
関手Fと自然変換sigma
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
関手Fと自然変換sigma(ストリング図)


このストリング・ダイアグラムを用いて、
関手 $F$ と自然変換 $\sigma$ の合成を計算しよう。

スライドモードで見れば、計算が進む様子を
パラパラ漫画的に把握できるだろう。たぶん。


関手Fと自然変換sigma(ストリング図)
これが、


関手Fと自然変換sigmaの合成(ストリング図)
こうなる。


自然変換と関手、関手と自然変換

ここで、
自然変換 $\theta$ と関手 $G$ の合成
関手 $F'$ と自然変換 $\sigma$ の合成
を計算してみよう。


自然変換thetaと自然変換sigma左右(ストリング図)
これが、


自然変換thetaと自然変換sigmaの計算左右(ストリング図)
こうなって、


自然変換thetaと自然変換sigmaの水平合成左右(ストリング図)
こうなる。


関手と自然変換、自然変換と関手

また、
関手 $F$ と自然変換 $\sigma$ の合成
自然変換 $\theta$ と関手 $G'$ の合成
を計算してみよう。


自然変換thetaと自然変換sigma右左(ストリング図)
これが、


自然変換thetaと自然変換sigmaの計算右左(ストリング図)
こうなって、


自然変換thetaと自然変換sigmaの水平合成右左(ストリング図)
こうなる。


交替律

したがって、水平合成の定義
$\theta \cdot \sigma = G\ \theta \ggg \sigma_{F'} = \sigma_{F} \ggg G'\ \theta$
を思い出すと、以下が成り立つ。
自然変換thetaと自然変換sigma左右(ストリング図) $=$ 自然変換thetaと自然変換sigma右左(ストリング図)
すなわち、$\theta$ と $\sigma$ が自然変換のとき
ダイアグラム計算でこの変形を行って良い。


対象と射

圏 $\boldsymbol{C}$ の射 $f \colon a \longrightarrow b$ を考える。
射f
ストリング・ダイアグラムで描くために
対象と射を関手と自然変換とみなす2


格上げ

対象が1つ $\{*\} = \mathrm{Obj}(\mathbf{1})$ で
射が1つ $\{\mathrm{id}_{\displaystyle *}\} = \mathrm{Mor}(\mathbf{1})$ な単位圏 $\mathbf{1}$ から
圏 $\boldsymbol{C}$ への関手 $\widetilde{a}, \widetilde{b} \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と
自然変換 $\widetilde{f} \colon \widetilde{a} \Longrightarrow \widetilde{b}$ を考える。
自然変換f-tilde


$f \colon a \longrightarrow b$ と $\widetilde{f} \colon \widetilde{a} \Longrightarrow \widetilde{b}$ を同一視して
チルダを陽には書かないことにする。
自然変換f
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
射f(ストリング図)


自然性

自然変換 $f \colon a \Longrightarrow b$ と自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow G$ を考えると、
ダイアグラム計算では次の変形を行って良い。
自然変換fと自然変換theta左右(ストリング図) $=$ 自然変換fと自然変換theta右左(ストリング図)
これは自然変換 $\theta$ が満たすべき式
$f \cdot \theta = F\ f \ggg \theta_{b} = \theta_{a} \ggg G\ f$
をあらわしており、何か上手くできてる。


随伴関手

これでルールは定まったので、
ストリング・ダイアグラムを用いて
随伴について考えてみよう。


単位

自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}} \Longrightarrow F \cdot G$ を考える。
自然変換eta
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
自然変換eta(ストリング図)


このストリング・ダイアグラムを用いて、
関手 $F$ と関手 $G$ を合成してみよう。


自然変換eta(ストリング図)
これが、


自然変換etaの計算(ストリング図)
こうなる。


余単位

自然変換 $\varepsilon \colon G \cdot F \Longrightarrow \mathrm{id}_{\boldsymbol{D}}$ を考える。
自然変換epsilon
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
自然変換epsilon(ストリング図)


このストリング・ダイアグラムを用いて、
関手 $G$ と関手 $F$ を合成してみよう。


自然変換epsilon(ストリング図)
これが、


自然変換epsilonの計算(ストリング図)
こうなる。


単位と余単位

自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}} \Longrightarrow F \cdot G$ と
自然変換 $\varepsilon \colon G \cdot F \Longrightarrow \mathrm{id}_{\boldsymbol{D}}$ を考える。
自然変換etaと自然変換epsilon
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
自然変換etaと自然変換epsilon(ストリング図)


このストリング・ダイアグラムを用いて、
関手や自然変換の計算してみよう。


自然変換etaと自然変換epsilon(ストリング図)
これが、


自然変換etaと自然変換epsilonの計算1(ストリング図)
こうなって、


自然変換etaと自然変換epsilonの計算2(ストリング図)
こうなる。


余単位と単位

自然変換 $\varepsilon \colon G \cdot F \Longrightarrow \mathrm{id}_{\boldsymbol{D}}$ と
自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}} \Longrightarrow F \cdot G$ を考える。
自然変換epsilonと自然変換eta
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
自然変換epsilonと自然変換eta(ストリング図)


このストリング・ダイアグラムを用いて、
関手や自然変換の計算してみよう。


自然変換epsilonと自然変換eta(ストリング図)
これが、


自然変換epsilonと自然変換etaの計算1(ストリング図)
こうなって、


自然変換epsilonと自然変換etaの計算2(ストリング図)
こうなる。


可換図式とストリング・ダイアグラム

したがって、以下のように可換図式と
ストリング・ダイアグラムが対応することが分かる。


可換図式

次図、三角形の可換図式が $F\ \eta \ggg \varepsilon_{F} = \mathrm{id}_{F}$ をあらわし、
恒等式F


次図、三角形の可換図式が $\eta_{G} \ggg G\ \varepsilon = \mathrm{id}_{G}$ をあらわす。
恒等式G


ストリング・ダイアグラム

次図、ストリング・ダイアグラムが $F\ \eta \ggg \varepsilon_{F} = \mathrm{id}_{F}$ をあらわし、
自然変換etaと自然変換epsilon(ストリング図) $=$ 恒等変換F(ストリング図)


次図、ストリング・ダイアグラムが $\eta_{G} \ggg G\ \varepsilon = \mathrm{id}_{G}$ をあらわす。
自然変換epsilonと自然変換eta(ストリング図) $=$ 恒等変換G(ストリング図)


まとめ

ペースティング・ダイアグラム
自然変換theta
をストリング・ダイアグラム
自然変換theta(ストリング図)
に書き換えることで、
点 $\scriptstyle \blacksquare$ であらわされていた圏が面となり、
面であらわされていた自然変換が点 $\scriptstyle \bigtriangledown$ となる。


ポアンカレ双対

$0$ 次元の圏は $2-0=2$ 次元の面に
$1$ 次元の関手は $2-1=1$ 次元の線に
$2$ 次元の自然変換が $2-2=0$ 次元の点に
それぞれ対応し、これをポアンカレ双対と言うらしい3

高次元である自然変換を主に考えたいときは
たぶんストリング・ダイアグラムが便利なのだろう。


  1. この記事で直接的に Haskell は登場しないが、圏論を通して間接的に Haskell っぽいと考える(シリーズものは何となくタグを揃えたいので)。 

  2. 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)「対象と射を関手と自然変換に格上げする方法」(2013-06-21) 

  3. 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)「圏論の随伴をちゃんと抑えよう: お絵描き完全解説」(2018-03-02) 

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