想定読者と到達目標

Data.Functor.Kan.Ranや
Data.Functor.Kan.Lanで定義されている
右カン拡張や左カン拡張を
何となく理解してみたい人へ。

圏論で重要となるらしい普遍性の概念を、
とあるコンマ圏の終対象や始対象として、
統一的に扱えるようになるかもしれない。

圏論入門前の準備運動―集合と写像―
もう諦めない圏論入門―対象と射―
もう諦めない圏論入門―圏と関手―
もう諦めない圏論入門―関手と自然変換―
もう諦めない圏論付録―ストリング・ダイアグラム―
もう諦めない圏論基礎―極限からカン拡張へ―
- コンマ圏の終対象や始対象として諸概念を捉える
- カン拡張が極限であることを理解した気になる
もう諦めない圏論基礎―モノイドからモナドへ―
もう諦めない圏論基礎―高次元圏と変換手―

対角関手

$\boldsymbol{C}$ を圏として関手 $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C} \times \boldsymbol{C}$ を考える。

対象の対応 $\varDelta\ a = (a,a) \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{C})$ と
射の対応 $\varDelta\ f = (f,f) \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{C})$ で関手は定義される。

$\varDelta\ a$ は第１成分も第２成分も $a$ なので、
引数１と引数２に対して $a$ を返すような
定数関数と思えるだろう。$\varDelta\ f$ も同様だ。

圏の平方

格上げにより、１点離散圏を $\mathbf{1}$ として、
対象 $\mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}) \ni a$ を
関手 $a \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ とみなし、
射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}) \ni f \colon a \longrightarrow b$ を
自然変換 $f \colon a \Longrightarrow b$ とみなせる。

同様に、２点離散圏を $\mathbf{2}$ として、
対象 $\mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{C}) \ni (a_{1},a_{2})$ を
関手 $(a_{1},a_{2}) \colon \mathbf{2} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ とみなし、
射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{C}) \ni (f_{1},f_{2}) \colon (a_{1},a_{2}) \longrightarrow (b_{1},b_{2})$ を
自然変換 $(f_{1},f_{2}) \colon (a_{1},a_{2}) \Longrightarrow (b_{1},b_{2})$ とみなせる。

対象の対応 $(a_{1},a_{2})\ i = a_{i}$ と
射の対応 $(a_{1},a_{2})\ \mathrm{id}_{i} = \mathrm{id}_{a_{i}}$ により関手を
射の族 $(f_{1},f_{2})_{i} = f_{i}$ により自然変換を
それぞれ定める。$\mathrm{Obj}(\mathbf{2}) \ni i = 1,2$ である。

１点離散圏を $\mathbf{1}$ とすると格上げにより、
対象 $\mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}) \ni a$ と
関手 $\mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\mathbf{1}}) \ni a \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ が
射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}) \ni f \colon a \longrightarrow b$ と
自然変換 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}^{\mathbf{1}}) \ni f \colon a \Longrightarrow b$ が
それぞれ対応し圏同型 $\boldsymbol{C} \cong \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}}$ となる。

２点離散圏を $\mathbf{2}$ とすると圏の平方により、
対象 $\mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{C}) \ni (a_{1},a_{2})$ と
関手 $\mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\mathbf{2}}) \ni (a_{1},a_{2}) \colon \mathbf{2} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ が
射 $(f_{1},f_{2}) \colon (a_{1},a_{2}) \longrightarrow (b_{1},b_{2})$ と
自然変換 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}^{\mathbf{2}}) \ni (f_{1},f_{2}) \colon (a_{1},a_{2}) \Longrightarrow (b_{1},b_{2})$ が
それぞれ対応し圏同型 $\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{C} \cong \boldsymbol{C}^{\mathbf{2}}$ となる。

したがって関手 $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C} \times \boldsymbol{C}$ を
関手 $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\mathbf{2}}$ とみなすことができる。

関手 $\varDelta$ の終域 $\boldsymbol{C}^{\mathbf{2}}$ にあらわれる２点離散圏 $\mathbf{2}$ を
圏 $\boldsymbol{J}$ に一般化することを考えよう。

定義

１点離散圏 $\mathbf{1}$ には対象も射も１つしかないので、
対象 $\_ \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{J})$ を $F\ \_ = *$ に対応させ
射 $\_ \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{J})$ を $F\ \_ = \mathrm{id}_{\displaystyle *}$ に対応させることで、
圏 $\boldsymbol{J}$ に対して関手 $F \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \mathbf{1}$ が一意に定まる。

双関手 $- \cdot - \colon \mathbf{1}^{\boldsymbol{J}} \times \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ の
左セクション $F \cdot - \colon \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ を
この関手 $F \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \mathbf{1}$ に対して考えてみると、

関手 $F \cdot -$ は関数 const のような役割を果たす。

対象 $a \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ と射 $f \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{C})$ を格上げして
関手 $a \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と自然変換 $f \colon a \Longrightarrow b$ を考える。
対象(すなわち関手) $a \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\mathbf{1}})$ と
射(すなわち自然変換) $f \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}^{\mathbf{1}})$ である。

関手 $F \cdot - \colon \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ により
対象 $a \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\mathbf{1}})$ は関手 $F \cdot a \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ すなわち
対象の対応 $(F \cdot a)\ \_ = a\ (F\ \_) = a\ * = a$ と
射の対応 $(F \cdot a)\ \_ = a\ (F\ \_) = a\ \mathrm{id}_{\displaystyle *} = \mathrm{id}_{a}$ を、
射 $f \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}^{\mathbf{1}})$ は自然変換 $F \cdot f \colon F \cdot a \Longrightarrow F \cdot b$ すなわち
射の族 $(F \cdot f)_{\displaystyle \_} = f_{F\ \_} = f_{\displaystyle *} = f$ を
それぞれ与えることが分かる。

$\boldsymbol{C} \cong \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}}$ により $F \cdot -$ の始域 $\boldsymbol{C}^{\mathbf{1}}$ を $\boldsymbol{C}$ とし
対角関手 $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ を定義する。

関手 $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ は関数 const の型

const :: c -> (j -> c)

と類似していることが分かるだろう。
対象 $M \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}})$ は関手 $M \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ である。

対角関手 $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ は $a,b \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ および
$\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}) \ni f \colon a \longrightarrow b$ とし、以下のように定まる。

$\varDelta\ a \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}})$ すなわち関手 $\varDelta\ a \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ は
対象 $\_ \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{J})$ を $(\varDelta\ a)\ \_ = a$ に対応させ
射 $\_ \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{J})$ を $(\varDelta\ a)\ \_ = \mathrm{id}_{a}$ に対応させる。

$\varDelta\ f \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}})$ すなわち自然変換 $\varDelta\ f \colon \varDelta\ a \Longrightarrow \varDelta\ b$ は
対象 $\_ \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{J})$ を射 $(\varDelta\ f)_{\displaystyle \_} = f$ に対応させる。

対角関手

{-# LANGUAGE Rank2Types #-}
import Control.Category ((>>>))
--対象を関手に対応させる--
newtype Const a j = Const { getConst :: a }
instance Functor (Const a) where
    fmap _ = getConst >>> Const
--射を自然変換に対応させる--
class FunctorNT f where
    fmapNT :: (a -> b) -> (forall j. f a j -> f b j)
instance FunctorNT Const where
    fmapNT f = getConst >>> f >>> Const

コンマ圏

$\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ を圏とし、
関手 $L \colon \boldsymbol{A} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と関手 $R \colon \boldsymbol{B} \longrightarrow \boldsymbol{C}$
に対してコンマ圏 $L \downarrow R$ を次のように定義する。

$a \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{A})$ と $b \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{B})$ と $h \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{C})$ の
組 $(a,b,h)$ を対象とし、$f \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{A})$ と $g \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{B})$ の
組 $(f,g)$ で $L\ f \ggg h' = h \ggg R\ g$ を満たすものを射とする。

$\mathrm{Obj}(L \downarrow R)\ni (a,b,h), (a',b',h')$ と
$\mathrm{Mor}(L \downarrow R)\ni (f,g) \colon (a,b,h) \longrightarrow (a',b',h')$
であり、上図の四角形が可換図式となる。

コンマ圏 $L \downarrow R$ を始域とする２つの関手と
それに関する自然変換を次のように定義する。

関手 $P_{\mathrm{L}} \colon L \downarrow R \longrightarrow \boldsymbol{A}$ と
関手 $P_{\mathrm{R}} \colon L \downarrow R \longrightarrow \boldsymbol{B}$ と
自然変換 $\tau \colon P_{\mathrm{L}} \cdot L \Longrightarrow P_{\mathrm{R}} \cdot R$ であり、
対象の対応 $P_{\mathrm{L}}\ (a,b,h) = a$ と射の対応 $P_{\mathrm{L}}\ (f,g) = f$
対象の対応 $P_{\mathrm{R}}\ (a,b,h) = b$ と射の対応 $P_{\mathrm{R}}\ (f,g) = g$
射の族 $\tau_{(a,b,h)} = h$ とそれぞれ定める。

コンマ圏が満たす条件 $L\ f \ggg h' = h \ggg R\ g$ によって、
上図の四角形が可換図式となり、$\tau$ は自然変換となる。

射の圏

コンマ圏 $\mathrm{id}_{\boldsymbol{C}} \downarrow \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}}$ を考える。

対象 $(a,b,h) = (\mathrm{dom}(h),\mathrm{cod}(h),h)$ だから
射 $h$ そのものが対象であると考えられる。

射 $(f,g) \colon (a,b,h) \longrightarrow (a',b',h')$ は
$h \ggg g = f \ggg h'$ を満たす。

射 $h$ が対象で、上図を可換図式にするような
射の組 $(f,g) \colon h \longrightarrow h'$ が射である。

これを射(が対象)の圏¹ $\mathrm{Arr}(\boldsymbol{C})$ と呼ぶ。

ねじれた射の圏

単集合 $\{*\}$ を集合の圏 $\mathbf{Set}$ の対象と考え、
格上げにより関手 $\{*\} \colon \mathbf{1} \longrightarrow \mathbf{Set}$ とみなす。

双関手 $\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(-,-) \colon \boldsymbol{C}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{C} \longrightarrow \mathbf{Set}$
に対してコンマ圏 $\{*\} \downarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(-,-)$ を考える。

対象 $(*,(a^{\mathrm{op}},b),h) \cong (\mathrm{dom}(h),\mathrm{cod}(h),h)$ だから
射 $h$ そのものが対象であると考えられる。

$\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(f,g) = f \ggg - \ggg g$ であるから
射 $(\mathrm{id}_{\displaystyle *},(f^{\mathrm{op}},g)) \colon (*,(a^{\mathrm{op}},b),h) \longrightarrow (*,({a'}^{\mathrm{op}},b'),h')$ は
$f \ggg h \ggg g = h'$ を満たす。

射 $h$ が対象で、上図を可換図式にするような
射の組 $(f,g) \colon h \longrightarrow h'$ が射である。

これをねじれた射の圏² $\mathrm{Tw}(\boldsymbol{C})$ と呼ぶ。

錐と余錐

関手 $M \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ を関手の圏 $\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ の対象と考え、
格上げにより関手 $M \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ とみなす。

この関手 $M$ と対角関手 $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$
に対して以下のようなコンマ圏を考える。

錐の圏

コンマ圏 $\varDelta \downarrow M$ を考える。

対象 $(x,*,\psi) \cong (\mathrm{dom}(\psi)\ \_,\psi)$ だから
自然変換 $\psi$ そのものが対象であると考えられる。

この自然変換を錐 $\psi \colon \varDelta\ x \Longrightarrow M$ と呼ぶ。
すなわちコンマ圏 $\varDelta \downarrow M$ は錐(が対象)の圏である。

錐 $\psi \colon \varDelta\ x \Longrightarrow M$ は次のように図示できる。

関手 $\varDelta\ x$ は全ての対象 $i \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{J})$ を
対象 $x \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ に対応させるため
射の族 $\psi_{i}$ の始域が１点に集中する。

余錐の圏

コンマ圏 $M \downarrow \varDelta$ を考える。

対象 $(*,x,\psi) \cong (\mathrm{cod}(\psi)\ \_,\psi)$ だから
自然変換 $\psi$ そのものが対象であると考えられる。

この自然変換を余錐 $\psi \colon M \Longrightarrow \varDelta\ x$ と呼ぶ。
すなわちコンマ圏 $M \downarrow \varDelta$ は余錐(が対象)の圏である。

余錐 $\psi \colon M \Longrightarrow \varDelta\ x$ は次のように図示できる。

関手 $\varDelta\ x$ は全ての対象 $i \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{J})$ を
対象 $x \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ に対応させるため
射の族 $\psi_{i}$ の終域が１点に集中する。

楔と余楔

ねじれた射の圏 $\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})$ が始域な
関手 $P_{\mathrm{R}} \colon \mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}) \longrightarrow \boldsymbol{J}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{J}$ を
対象の対応 $P_{\mathrm{R}}\ h = (\mathrm{dom}(h)^{\mathrm{op}},\mathrm{cod}(h))$ と
射の対応 $P_{\mathrm{R}}\ (f,g) = (f^{\mathrm{op}},g)$ により定める。

$\mathrm{Obj}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{J}) \ni (a^{\mathrm{op}},b)$ を $T(a,b)$ に
$\mathrm{Mor}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{J}) \ni (f^{\mathrm{op}},g)$ を $T(f,g)$ に
対応させる双関手を $T \colon \boldsymbol{J}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ とし、
$P_{\mathrm{R}}$ との合成 $\overline{T} = P_{\mathrm{R}} \cdot T$ により
関手 $\overline{T} \colon \mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}) \longrightarrow \boldsymbol{C}$ を定める。

対象 $\mathrm{Obj}(\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})) \ni h \colon a \longrightarrow b$ および
射 $\mathrm{Mor}(\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})) \ni (f, g)$ とすれば以下となる。

関手 $\overline{T} \colon \mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}) \longrightarrow \boldsymbol{C}$ は
対象の対応 $\overline{T}\ h = T(a,b)$ と
射の対応 $\overline{T}\ (f,g) = T(f,g)$ である。

関手 $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}} \colon \mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ は
対象の対応 $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}}\ h = T(b,a)$ と
射の対応 $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}}\ (f,g) = T(f,g)$ である。

関手 $\overline{T} \colon \mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}) \longrightarrow \boldsymbol{C}$ を
関手の圏 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})}$ の対象と考えて
格上げにより関手 $\overline{T} \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})}$ とみなす。
同様に関手 $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}} \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}}$ とみなす。

この関手 $\overline{T}, \overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}}$ と対角関手 $\varDelta$
に対して以下のようなコンマ圏を考える。

楔の圏

コンマ圏 $\varDelta \downarrow \overline{T}$ を考える。

対象 $(x,*,\psi) \cong (\mathrm{dom}(\psi)\ \_,\psi)$ だから
自然変換 $\psi$ そのものが対象であると考えられる。

この自然変換を楔 $\psi \colon \varDelta\ x \Longrightarrow \overline{T}$ と呼ぶ。
すなわちコンマ圏 $\varDelta \downarrow \overline{T}$ は楔(が対象)の圏である。

任意の射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{J}) \ni h \colon a \longrightarrow b$ に対して
$\mathrm{Mor}(\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})) \ni (\mathrm{id}_{a},h), (h,\mathrm{id}_{b})$ が存在するため、
楔 $\psi \colon \varDelta\ x \Longrightarrow \overline{T}$ は次の図式を可換とする。

つまり、$\psi_{\mathrm{id}_{-}}$ は射の族 $\psi_{\mathrm{id}_{a}} \colon x \longrightarrow T(a,a)$ で、
任意の射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{J}) \ni h \colon a \longrightarrow b$ に対して
$\psi_{\mathrm{id}_{b}} \ggg T(h,\mathrm{id}_{b}) = \psi_{\mathrm{id}_{a}} \ggg T(\mathrm{id}_{a},h)$ が成り立つ。

余楔の圏

コンマ圏 $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}} \downarrow \varDelta$ を考える。

対象 $(*,x,\psi) \cong (\mathrm{cod}(\psi)\ \_,\psi)$ だから
自然変換 $\psi$ そのものが対象であると考えられる。

この自然変換を余楔 $\psi \colon \overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}} \Longrightarrow \varDelta\ x$ と呼ぶ。
すなわちコンマ圏 $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}} \downarrow \varDelta$ は余楔(が対象)の圏である。

任意の射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{J}) \ni h \colon a \longrightarrow b$ に対して
$\mathrm{Mor}(\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}) \ni (h,\mathrm{id}_{a}), (\mathrm{id}_{b},h)$ が存在するため、
余楔 $\psi \colon \overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}} \Longrightarrow \varDelta\ x$ は次の図式を可換とする。

つまり、$\psi_{\mathrm{id}_{-}}$ は射の族 $\psi_{\mathrm{id}_{a}} \colon T(a,a) \longrightarrow x$ で、
任意の射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{J}) \ni h \colon a \longrightarrow b$ に対して
$T(\mathrm{id}_{b},h) \ggg \psi_{\mathrm{id}_{b}} = T(h,\mathrm{id}_{a}) \ggg \psi_{\mathrm{id}_{a}}$ が成り立つ。

柱と余柱

対角関手 $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ とは、
一意に定まる関手を $F \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \mathbf{1}$ として、
双関手 $- \cdot - \colon \mathbf{1}^{\boldsymbol{J}} \times \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ の
左セクション $F \cdot - \colon \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ である。

関手を $F \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ と一般化して、
双関手 $- \cdot - \colon \boldsymbol{D}^{\boldsymbol{J}} \times \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{D}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ の
左セクション $F \cdot - \colon \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{D}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ を考えよう。

この関手 $M$ と関手 $F \cdot - \colon \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{D}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$
に対して以下のようなコンマ圏を考える。

錐と余錐の一般化が柱と余柱である³。

柱の圏

コンマ圏 $F \cdot - \downarrow M$ を考える。

対象 $(X,*,\psi) \cong (X,\psi)$ だから
関手と自然変換の組 $(X,\psi)$ が対象であると考えられる。

この組を柱 $(X,\psi)$ と呼ぶ。$\psi \colon F \cdot X \Longrightarrow M$ である。
すなわちコンマ圏 $F \cdot - \downarrow M$ は柱(が対象)の圏である。

自然変換 $\psi \colon F \cdot X \Longrightarrow M$ は次のように図示できる。

錐の圏とは異なり、対象 $i \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{J})$ として、
射の族 $\psi_{i}$ の始域も終域も１点に集中しない。

余柱の圏

コンマ圏 $M \downarrow F \cdot -$ を考える。

対象 $(*,X,\psi) \cong (X,\psi)$ だから
関手と自然変換の組 $(X,\psi)$ が対象であると考えられる。

この組を余柱 $(X,\psi)$ と呼ぶ。$\psi \colon M \Longrightarrow F \cdot X$ である。
すなわちコンマ圏 $M \downarrow F \cdot -$ は余柱(が対象)の圏である。

自然変換 $\psi \colon M \Longrightarrow F \cdot X$ は次のように図示できる。

余錐の圏とは異なり、対象 $i \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{J})$ として、
射の族 $\psi_{i}$ の始域も終域も１点に集中しない。

普遍性

終対象と始対象の普遍性が
おそらく例として最も簡単だろう。

「一意に存在する」と言う
普遍性の概念に慣れるため、
随伴関手を構成する全単射を考えて
一意性の雰囲気を感じてみよう。

終対象

１点離散圏を $\mathbf{1}$ として、
一意に定まる関手 $! \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \mathbf{1}$ の右随伴関手 $1 \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}$

すなわち対象 $\mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}) \ni 1 = 1\ *$ を終対象 $1$ と呼ぶ。

随伴関係 $! \dashv 1$ すなわち
$\mathrm{Hom}_{\mathbf{1}}(!\ -,-) \cong \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(-,1\ -)$ が
成り立つとき、次の自然な同型射が存在する。
$\varphi_{(c,*)} \colon \mathrm{Hom}_{\mathbf{1}}(*,*) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(c,1)$
$\psi_{(c,*)} \colon \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(c,1) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathbf{1}}(*,*)$

任意の対象 $c \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ に対して
射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}) \ni g \colon c \longrightarrow 1$ が、
元の対応 $\varphi_{(c,*)} \colon \mathrm{id}_{\displaystyle *} \longmapsto g$ により、
一意に存在することが分かる。

終対象とは以下を満たす対象 $1 \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ である。

任意の対象 $c \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ に対して
射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}) \ni g \colon c \longrightarrow 1$ が一意に存在する。

始対象

１点離散圏を $\mathbf{1}$ として、
一意に定まる関手 $! \colon \boldsymbol{D} \longrightarrow \mathbf{1}$ の左随伴関手 $0 \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{D}$

すなわち対象 $\mathrm{Obj}(\boldsymbol{D}) \ni 0 = 0\ *$ を始対象 $0$ と呼ぶ。

随伴関係 $0 \dashv~!$ すなわち
$\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(0\ -,-) \cong \mathrm{Hom}_{\mathbf{1}}(-,!\ -)$ が
成り立つとき、次の自然な同型射が存在する。
$\varphi_{(*,d)} \colon \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(0,d) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathbf{1}}(*,*)$
$\psi_{(*,d)} \colon \mathrm{Hom}_{\mathbf{1}}(*,*) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(0,d)$

任意の対象 $d \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ に対して
射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{D}) \ni f \colon 0 \longrightarrow d$ が、
元の対応 $\psi_{(*,d)} \colon \mathrm{id}_{\displaystyle *} \longmapsto f$ により、
一意に存在することが分かる。

始対象とは以下を満たす対象 $0 \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ である。

任意の対象 $d \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ に対して
射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{D}) \ni f \colon 0 \longrightarrow d$ が一意に存在する。

普遍射

格上げにより
対象 $c \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ を関手 $c \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ とみなし、
対象 $d \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ を関手 $d \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ とみなす。

ある対象に対するコンマ圏の
終対象や始対象が普遍射である。

また、すべての対象に対する普遍射を
集めることで随伴関手を定められる。

余単位

ある $d \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ に対して定まる対象と射を
それぞれ $G\ d \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ と $\varepsilon_{d} \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{D})$ とする。

関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ と対象 $d \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ に対して、
コンマ圏 $F \downarrow d$ の終対象 $(G\ d,*,\varepsilon_{d})$

すなわち $(G\ d,\varepsilon_{d})$ を $F$ から $d$ への普遍射と呼ぶ。

各対象 $d \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ に対して普遍射 $(G\ d,\varepsilon_{d})$ が存在するとき、

関手 $G \colon \boldsymbol{D} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と自然変換 $\varepsilon \colon G \cdot F \Longrightarrow \mathrm{id}_{\boldsymbol{D}}$ が定義できて、

$G$ による射 $q \colon d \longrightarrow d'$ の対応を考える。

まずコンマ圏 $F \downarrow d$ の終対象 $(G\ d,*,\varepsilon_{d})$
すなわち普遍射 $\varepsilon_{d} \colon F\ (G\ d) \longrightarrow d$ を用いて
合成射 $\varepsilon_{d} \ggg q \colon F\ (G\ d) \longrightarrow d'$ すなわち
コンマ圏 $F \downarrow d'$ の対象 $(G\ d,*,\varepsilon_{d} \ggg q)$ を用意する。

コンマ圏 $F \downarrow d'$ には終対象 $(G\ d',*,\varepsilon_{d'})$ が
存在するため、射 $g \colon G\ d \longrightarrow G\ d'$ すなわち
コンマ圏 $F \downarrow d'$ の射 $(g,\mathrm{id}_{\displaystyle *})$ が一意に存在する。

これにより射の対応 $G\ q = g$ を定める。

また、コンマ圏 $F \downarrow d'$ の射 $(g,\mathrm{id}_{\displaystyle *})$ が満たす条件は
$(G \cdot F)\ q \ggg \varepsilon_{d'} = \varepsilon_{d} \ggg \mathrm{id}_{\boldsymbol{D}}\ q$ となっており、
自然変換 $\varepsilon \colon G \cdot F \Longrightarrow \mathrm{id}_{\boldsymbol{D}}$ が満たす条件と一致する。

随伴関係 $F \dashv G$ すなわち次式が成り立つ。

写像 $\psi_{(c,d)} \colon \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(c,G\ d) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ c,d)$ を
元の対応 $\psi_{(c,d)} \colon g \longmapsto F\ g \ggg \varepsilon_{d}$ で定める。

このとき

\begin{align}
(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(p,G\ q) \ggg \psi_{(c',d')})(g)
&=
F\ (p \ggg g \ggg G\ q) \ggg \varepsilon_{d'}
\\
&=
F\ p \ggg F\ g \ggg (G \cdot F)\ q \ggg \varepsilon_{d'}
\\
&=
F\ p \ggg F\ g \ggg \varepsilon_{d} \ggg \mathrm{id}_{\boldsymbol{D}}\ q
\\[2mm]
(\psi_{(c,d)} \ggg \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ p,q))(g)
&=
F\ p \ggg (F\ g \ggg \varepsilon_{d}) \ggg q
\\
&=
F\ p \ggg F\ g \ggg \varepsilon_{d} \ggg q
\\
&=
F\ p \ggg F\ g \ggg \varepsilon_{d} \ggg \mathrm{id}_{\boldsymbol{D}}\ q
\end{align}

すなわち
$\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(p,G\ q) \ggg \psi_{(c',d')} = \psi_{(c,d)} \ggg \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ p,q)$
が成り立つから $\psi$ は
自然変換 $\psi \colon \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(-,G\ -) \Longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ -,-)$ である。

写像 $\varphi_{(c,d)} \colon \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ c,d) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(c,G\ d)$ を
考えて写像 $\psi_{(c,d)}$ が同型射であることを示そう。

任意の射 $f \in \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ c,d)$ に対して、
組 $(c,*,f)$ はコンマ圏 $F \downarrow d$ の対象であるから
コンマ圏 $F \downarrow d$ の射 $(g,\mathrm{id}_{\displaystyle *})$ が一意に存在する。
つまり、$F\ g \ggg \varepsilon_{d} = f$ を満たす射 $g$ が一意に存在する。

これにより元の対応 $\varphi_{(c,d)} \colon f \longmapsto g$ を定める。

このとき

\begin{align}
(\varphi_{(c,d)} \ggg \psi_{(c,d)})(f)
&=
F\ \varphi_{(c,d)}(f) \ggg \varepsilon_{d}
\\
&=
F\ g \ggg \varepsilon_{d} = f
\\[2mm]
(\psi_{(c,d)} \ggg \varphi_{(c,d)})(g)
&=
\varphi_{(c,d)}(F\ g \ggg \varepsilon_{d})
\\
&= g
\end{align}

であるから、$\psi_{(c,d)}$ は自然な同型射である。

$\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ -,-) \cong \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(-,G\ -)$

単位

ある $c \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ に対して定まる対象と射を
それぞれ $F\ c \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ と $\eta_{c} \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{C})$ とする。

対象 $c \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と関手 $G \colon \boldsymbol{D} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ に対して、
コンマ圏 $c \downarrow G$ の始対象 $(*,F\ c,\eta_{c})$

すなわち $(F\ c,\eta_{c})$ を $c$ から $G$ への普遍射と呼ぶ。

各対象 $c \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ に対して普遍射 $(F\ c,\eta_{c})$ が存在するとき、

関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ と自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}} \Longrightarrow F \cdot G$ が定義できて、

$F$ による射 $p \colon c' \longrightarrow c$ の対応を考える。

まずコンマ圏 $c \downarrow G$ の始対象 $(*,F\ c,\eta_{c})$
すなわち普遍射 $\eta_{c} \colon c \longrightarrow G\ (F\ c)$ を用いて
合成射 $p \ggg \eta_{c} \colon c' \longrightarrow G\ (F\ c)$ すなわち
コンマ圏 $c' \downarrow G$ の対象 $(*,F\ c,p \ggg \eta_{c})$ を用意する。

コンマ圏 $c' \downarrow G$ には始対象 $(*,F\ c',\eta_{c'})$ が
存在するため、射 $f \colon F\ c' \longrightarrow F\ c$ すなわち
コンマ圏 $c' \downarrow G$ の射 $(\mathrm{id}_{\displaystyle *},f)$ が一意に存在する。

これにより射の対応 $F\ p = f$ を定める。

また、コンマ圏 $c' \downarrow G$ の射 $(\mathrm{id}_{\displaystyle *},f)$ が満たす条件は
$\mathrm{id}_{\boldsymbol{C}}\ p \ggg \eta_{c} = \eta_{c'} \ggg (F \cdot G)\ p$ となっており、
自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}} \Longrightarrow F \cdot G$ が満たす条件と一致する。

随伴関係 $F \dashv G$ すなわち次式が成り立つ。

写像 $\varphi_{(c,d)} \colon \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ c,d) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(c,G\ d)$ を
元の対応 $\varphi_{(c,d)} \colon f \longmapsto \eta_{c} \ggg G\ f$ で定める。

このとき

\begin{align}
(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ p,q) \ggg \varphi_{(c',d')})(f)
&=
\eta_{c'} \ggg G\ (F\ p \ggg f \ggg q)
\\
&=
\eta_{c'} \ggg (F \cdot G)\ p \ggg G\ f \ggg G\ q
\\
&=
\mathrm{id}_{\boldsymbol{C}}\ p \ggg \eta_{c} \ggg G\ f \ggg G\ q
\\[2mm]
(\varphi_{(c,d)} \ggg \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(p,G\ q))(f)
&=
p \ggg (\eta_{c} \ggg G\ f) \ggg G\ q
\\
&=
p \ggg \eta_{c} \ggg G\ f \ggg G\ q
\\
&=
\mathrm{id}_{\boldsymbol{C}}\ p \ggg \eta_{c} \ggg G\ f \ggg G\ q
\end{align}

すなわち
$\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ p,q) \ggg \varphi_{(c',d')} = \varphi_{(c,d)} \ggg \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(p,G\ q)$
が成り立つから $\varphi$ は
自然変換 $\varphi \colon \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ -,-) \Longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(-,G\ -)$ である。

写像 $\psi_{(c,d)} \colon \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(c,G\ d) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ c,d)$ を
考えて写像 $\varphi_{(c,d)}$ が同型射であることを示そう。

任意の射 $g \in \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(c,G\ d)$ に対して、
組 $(*,d,g)$ はコンマ圏 $c \downarrow G$ の対象であるから
コンマ圏 $c \downarrow G$ の射 $(\mathrm{id}_{\displaystyle *},f)$ が一意に存在する。
つまり、$\eta_{c} \ggg G\ f = g$ を満たす射 $f$ が一意に存在する。

これにより元の対応 $\psi_{(c,d)} \colon g \longmapsto f$ を定める。

このとき

\begin{align}
(\varphi_{(c,d)} \ggg \psi_{(c,d)})(f)
&=
\psi_{(c,d)}(\eta_{c} \ggg G\ f)
\\
&= f
\\[2mm]
(\psi_{(c,d)} \ggg \varphi_{(c,d)})(g)
&=
\eta_{c} \ggg G\ \psi_{(c,d)}(g)
\\
&=
\eta_{c} \ggg G\ f = g
\end{align}

であるから、$\varphi_{(c,d)}$ は自然な同型射である。

$\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ -,-) \cong \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(-,G\ -)$

テンソル関手

次のHom 関手
関手 $\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{op}}(-,c) \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \mathbf{Set}^{\mathrm{op}}$ と
関手 $\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(b,-) \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \mathbf{Set}$ に関して
普遍射および随伴関手を考える。

エンドとしての右カン拡張や
コエンドとしての左カン拡張を
考える際に以下の概念が必要となる。

余テンソル対象

コンマ圏 $\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{op}}(-,c) \downarrow B^{\mathrm{op}}$ の終対象 $(B \pitchfork c,*,\varepsilon_{B^{\mathrm{op}}})$

すなわち $(B \pitchfork c,\varepsilon_{B^{\mathrm{op}}})$ は $\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{op}}(-,c)$ から $B^{\mathrm{op}}$ への普遍射であり、
余テンソル対象 $B \pitchfork c$ と呼ぶ。

各対象 $B^{\mathrm{op}} \in \mathrm{Obj}(\mathbf{Set}^{\mathrm{op}})$ に対して普遍射 $(B \pitchfork c,\varepsilon_{B^{\mathrm{op}}})$
が存在するとき、関手 $- \pitchfork c \colon \mathbf{Set}^{\mathrm{op}} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と
自然変換 $\varepsilon \colon \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{op}}(- \pitchfork c,c) \Longrightarrow \mathrm{id}_{\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}}$ が定義できて、
随伴関係 $\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{op}}(-,c) \dashv - \pitchfork c$ すなわち次式が成り立つ。

$\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}}(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{op}}(-,c),-) \cong \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(-,- \pitchfork c)$

各対象 $c \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ に対しても余テンソル対象 $B \pitchfork c$
が存在するとき、双関手 $- \pitchfork - \colon \mathbf{Set}^{\mathrm{op}} \times \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ が定まり
射の族 $\psi_{(x,B,c)} \colon \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(x,B \pitchfork c) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}}(B,\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(x,c))$
により自然同型 $\psi$ を定義することができる⁴。

$\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}) \ni g \colon x \longrightarrow B \pitchfork c$ と
$\mathrm{Mor}(\mathbf{Set}) \ni f \colon B \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(x,c)$ であり、
射の族 $\psi_{(x,B,c)}$ は関数 flip の型

flip :: (x -> (b -> c)) -> (b -> (x -> c))

と類似していることが分かるだろう。

テンソル対象

コンマ圏 $A \downarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(b,-)$ の始対象 $(*,A \odot b,\eta_{A})$

すなわち $(A \odot b,\eta_{A})$ は $A$ から $\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(b,-)$ への普遍射であり、
テンソル対象 $A \odot b$ と呼ぶ。

各対象 $A \in \mathrm{Obj}(\mathbf{Set})$ に対して普遍射 $(A \odot b,\eta_{A})$
が存在するとき、関手 $- \odot b \colon \mathbf{Set} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と
自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}_{\mathbf{Set}} \Longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(b,- \odot b)$ が定義できて、
随伴関係 $- \odot b \dashv \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(b,-)$ すなわち次式が成り立つ。

$\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(- \odot b,-) \cong \mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}}(-,\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(b,-))$

各対象 $b \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ に対してもテンソル対象 $A \odot b$
が存在するとき、双関手 $- \odot - \colon \mathbf{Set} \times \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ が定まり
射の族 $\varphi_{(A,b,x)} \colon \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(A \odot b,x) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}}(A,\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(b,x))$
により自然同型 $\varphi$ を定義することができる⁴。

$\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}) \ni f \colon A \odot b \longrightarrow x$ と
$\mathrm{Mor}(\mathbf{Set}) \ni g \colon A \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(b,x)$ であり、
射の族 $\varphi_{(A,b,x)}$ は関数 curry の型

curry :: ((a, b) -> x) -> (a -> (b -> x))

と類似していることが分かるだろう。

極限と余極限

極限と余極限で見た概念を
関手や自然変換を用いて定義する。

錐の圏の終対象が極限であり、
余錐の圏の始対象が余極限である。

極限

錐の圏 $\varDelta \downarrow M$ の終対象 $(\mathrm{lim}_{\boldsymbol{J}}M,*,\varepsilon_{M})$

すなわち $(\mathrm{lim}_{\boldsymbol{J}}M,\varepsilon_{M})$ は $\varDelta$ から $M$ への普遍射であり、
これを関手 $M \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の極限 $\mathrm{lim}_{\boldsymbol{J}}M$ と呼ぶ。

各対象 $M \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}})$ に対して普遍射 $(\mathrm{lim}_{\boldsymbol{J}}M,\varepsilon_{M})$
が存在するとき、関手 $\mathrm{lim}_{\boldsymbol{J}} \colon \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と
自然変換 $\varepsilon \colon \mathrm{lim}_{\boldsymbol{J}} \cdot \varDelta \Longrightarrow \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}}$ が定義できて、
随伴関係 $\varDelta \dashv \mathrm{lim}_{\boldsymbol{J}}$ すなわち次式が成り立つ。

$\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}}(\varDelta\ -,-) \cong \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(-,\mathrm{lim}_{\boldsymbol{J}}\,-)$

圏の平方にて定義を与えた関手 $(a,b) \colon \mathbf{2} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の
極限 $\mathrm{lim}_{\mathbf{2}}(a,b) \cong a \times b$ が直積である。

$\mathrm{Obj}(\mathbf{2}) \ni i = 1,2$ として、$\psi_{i} = f \ggg \varepsilon_{i}$ である。
ここでは $\varepsilon_{(a,b)}$ を $\varepsilon$ と略記している。

右随伴関手との交換

関手 $F \colon \boldsymbol{D} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と関手 $G \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ に対して
$F \dashv G$ が随伴であるとき以下が成り立つ。

圏 $\boldsymbol{C}$ の終対象 $1 \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ が存在すれば、
圏 $\boldsymbol{D}$ の終対象 $G\ 1 \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ が定まる。

すなわち、右随伴関手 $G$ は終対象を保つ。

$F \dashv G$ より次の自然な同型射が存在する。
$\varphi_{(d,c)} \colon \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(F\ d, c) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(d, G\ c)$
$\psi_{(d,c)} \colon \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(d, G\ c) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(F\ d, c)$

終対象 $1 \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ が存在すれば、
任意の対象 $d \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ に対して
射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{D}) \ni g \colon d \longrightarrow G\ 1$ が、
写像 $\varphi_{(d,1)} \colon \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(F\ d, 1) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(d, G\ 1)$ により、
一意に存在することが分かる。

$F_{\displaystyle*} \dashv G_{\displaystyle*}$ が随伴となるような
関手 $F_{\displaystyle*} \colon \varDelta \downarrow M \cdot G \longrightarrow \varDelta \downarrow M$ と
関手 $G_{\displaystyle*} \colon \varDelta \downarrow M \longrightarrow \varDelta \downarrow M \cdot G $ を

構成することができる。

対象の対応 $F_{\displaystyle*}\ (d,*,\beta) = (F\ d,*,\beta_{\cup})$ と
射の対応 $F_{\displaystyle*}\ (q,\mathrm{id}_{\displaystyle*}) = (F\ q,\mathrm{id}_{\displaystyle*})$ を
対象の対応 $G_{\displaystyle*}\ (c,*,\alpha) = (G\ c,*,\alpha \cdot G)$ と
射の対応 $G_{\displaystyle*}\ (p,\mathrm{id}_{\displaystyle*}) = (G\ p,\mathrm{id}_{\displaystyle*})$ を
それぞれ定める。

ここで $\beta_{\cup} = \beta \cdot F \ggg M \cdot \varepsilon$ であり、
${\beta_{\cup}}^{\cap} = \varDelta\ \eta_{d} \ggg \beta_{\cup} \cdot G = \beta$ である。

写像 $\varphi_{((d,*,\beta),(c,*,\alpha))} \colon \mathrm{Hom}_{\varDelta \downarrow M}(F_{\displaystyle*}\ (d,*,\beta),(c,*,\alpha)) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\varDelta \downarrow M \cdot G}((d,*,\beta),G_{\displaystyle*}\ (c,*,\alpha))$ を
元の対応 $\varphi_{((d,*,\beta),(c,*,\alpha))} \colon (f,\mathrm{id}_{\displaystyle*}) \longmapsto (\eta_{d} \ggg G\ f,\mathrm{id}_{\displaystyle*})$ で定める。

コンマ圏 $\varDelta \downarrow M$ の射 $(f,\mathrm{id}_{\displaystyle*})$ が満たす条件
$\beta_{\cup} = \varDelta\ f \ggg \alpha$ により

\begin{align}
\beta
&=
(\varDelta\ f \ggg \alpha)^{\cap}
\\
&=
\varDelta\ \eta_{d} \ggg (\varDelta\ f \ggg \alpha) \cdot G
\\
&=
\varDelta\ \eta_{d} \ggg \varDelta\ (G\ f) \ggg \alpha \cdot G
\\
&=
\varDelta\ (\eta_{d} \ggg G\ f) \ggg \alpha \cdot G
\end{align}

コンマ圏 $\varDelta \downarrow M \cdot G$ の射 $(\eta_{d} \ggg G\ f,\mathrm{id}_{\displaystyle*})$ が満たす条件
$\beta = \varDelta\ (\eta_{d} \ggg G\ f) \ggg \alpha \cdot G$ が成り立つ。

写像 $\psi_{((d,*,\beta),(c,*,\alpha))} \colon \mathrm{Hom}_{\varDelta \downarrow M \cdot G}((d,*,\beta),G_{\displaystyle*}\ (c,*,\alpha)) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\varDelta \downarrow M}(F_{\displaystyle*}\ (d,*,\beta),(c,*,\alpha))$ を
元の対応 $\psi_{((d,*,\beta),(c,*,\alpha))} \colon (g,\mathrm{id}_{\displaystyle*}) \longmapsto (F\ g \ggg \varepsilon_{c},\mathrm{id}_{\displaystyle*})$ で定める。

コンマ圏 $\varDelta \downarrow M \cdot G$ の射 $(g,\mathrm{id}_{\displaystyle*})$ が満たす条件
$\beta = \varDelta\ g \ggg \alpha \cdot G$ により

\begin{align}
\beta_{\cup}
&=
(\varDelta\ g \ggg \alpha \cdot G)_{\cup}
\\
&=
(\varDelta\ g \ggg \alpha \cdot G) \cdot F \ggg M \cdot \varepsilon
\\
&=
\varDelta\ (F\ g) \ggg \alpha \cdot (G \cdot F) \ggg M \cdot \varepsilon
\\
&=
\varDelta\ (F\ g) \ggg \varDelta\ c \cdot \varepsilon \ggg \alpha \cdot \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}}
\\
&=
\varDelta\ (F\ g) \ggg \varDelta\ \varepsilon_{c} \ggg \alpha
\\
&=
\varDelta\ (F\ g \ggg \varepsilon_{c}) \ggg \alpha
\end{align}

コンマ圏 $\varDelta \downarrow M$ の射 $(F\ g \ggg \varepsilon_{c},\mathrm{id}_{\displaystyle*})$ が満たす条件
$\beta_{\cup} = \varDelta\ (F\ g \ggg \varepsilon_{c}) \ggg \alpha$ が成り立つ。

この写像 $\varphi_{((d,*,\beta),(c,*,\alpha))}$ と写像 $\psi_{((d,*,\beta),
(c,*,\alpha))}$ は、
１点離散圏 $\mathbf{1}$ の射 $\mathrm{id}_{\displaystyle*}$ を除き第１成分だけを見れば、
随伴関手の定義にて自然な同型射であることを示した
写像 $\varphi_{(d,c)}$ と写像 $\psi_{(d,c)}$ に等しい。

したがって、$\varphi_{((d,*,\beta),(c,*,\alpha))}$ は自然な同型射である

右随伴関手 $G_{\displaystyle*}$ は極限(錐の圏 $\varDelta \downarrow M$ の終対象)を保つ。
関手 $M$ の極限 $(\mathrm{lim}_{\boldsymbol{J}}M,\varepsilon_{M})$ が存在すれば、
関手 $M \cdot G$ の極限 $(G\ (\mathrm{lim}_{\boldsymbol{J}}M),\varepsilon_{M} \cdot G)$ が定まる。

右随伴関手 $G$ は極限と交換する。
$G\ (\mathrm{lim}_{\boldsymbol{J}}M) \cong \mathrm{lim}_{\boldsymbol{J}}(M \cdot G)$

余極限

余錐の圏 $M \downarrow \varDelta$ の始対象 $(*,\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}}\!M,\eta_{M})$

すなわち $(\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}}\!M,\eta_{M})$ は $M$ から $\varDelta$ への普遍射であり、
これを関手 $M \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の余極限 $\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}}\!M$ と呼ぶ。

各対象 $M \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}})$ に対して普遍射 $(\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}}\!M,\eta_{M})$
が存在するとき、関手 $\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}} \colon \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と
自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}} \Longrightarrow \mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}} \cdot \varDelta$ が定義できて、
随伴関係 $\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}} \dashv \varDelta$ すなわち次式が成り立つ。

$\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}}-,-) \cong \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}}(-,\varDelta\ -)$

圏の平方にて定義を与えた関手 $(a,b) \colon \mathbf{2} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の
余極限 $\mathrm{colim}_{\mathbf{2}}(a,b) \cong a + b$ が余直積である。

$\mathrm{Obj}(\mathbf{2}) \ni i = 1,2$ として、$\psi_{i} = \eta_{i} \ggg f$ である。
ここでは $\eta_{(a,b)}$ を $\eta$ と略記している。

左随伴関手との交換

関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ と関手 $G \colon \boldsymbol{D} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ に対して
$F \dashv G$ が随伴であるとき以下が成り立つ。

圏 $\boldsymbol{C}$ の始対象 $0 \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ が存在すれば、
圏 $\boldsymbol{D}$ の始対象 $F\ 0 \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ が定まる。

すなわち、左随伴関手 $F$ は始対象を保つ。

$F \dashv G$ より次の自然な同型射が存在する。
$\varphi_{(c,d)} \colon \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ c, d) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(c, G\ d)$
$\psi_{(c,d)} \colon \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(c, G\ d) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ c, d)$

始対象 $0 \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ が存在すれば、
任意の対象 $d \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ に対して
射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{D}) \ni f \colon F\ 0 \longrightarrow d$ が、
写像 $\psi_{(0,d)} \colon \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(0, G\ d) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ 0, d)$ により、
一意に存在することが分かる。

$F^{\displaystyle*} \dashv G^{\displaystyle*}$ が随伴となるような
関手 $F^{\displaystyle*} \colon M \downarrow \varDelta \longrightarrow M \cdot F \downarrow \varDelta$ と
関手 $G^{\displaystyle*} \colon M \cdot F \downarrow \varDelta \longrightarrow M \downarrow \varDelta$ を

構成することができる。

対象の対応 $F^{\displaystyle*}\ (*,c,\alpha) = (*,F\ c,\alpha \cdot F)$ と
射の対応 $F^{\displaystyle*}\ (\mathrm{id}_{\displaystyle*},p) = (\mathrm{id}_{\displaystyle*},F\ p)$ を
対象の対応 $G^{\displaystyle*}\ (*,d,\beta) = (*,G\ d,\beta^{\cap})$ と
射の対応 $G^{\displaystyle*}\ (\mathrm{id}_{\displaystyle*},q) = (\mathrm{id}_{\displaystyle*},G\ q)$ を
それぞれ定める。

ここで $\beta^{\cap} = M \cdot \eta \ggg \beta \cdot G$ であり、
${\beta^{\cap}}_{\cup} = \beta^{\cap} \cdot F \ggg \varDelta\ \varepsilon_{d} = \beta$ である。

写像 $\varphi_{((*,c,\alpha),(*,d,\beta))} \colon \mathrm{Hom}_{M \cdot F \downarrow \varDelta}(F^{\displaystyle*}\ (*,c,\alpha),(*,d,\beta)) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{M \downarrow \varDelta}((*,c,\alpha),G^{\displaystyle*}\ (*,d,\beta))$ を
元の対応 $\varphi_{((*,c,\alpha),(*,d,\beta))} \colon (\mathrm{id}_{\displaystyle*},f) \longmapsto (\mathrm{id}_{\displaystyle*},\eta_{c} \ggg G\ f)$ で定める。

コンマ圏 $M \cdot F \downarrow \varDelta$ の射 $(\mathrm{id}_{\displaystyle*},f)$ が満たす条件
$\beta = \alpha \cdot F \ggg \varDelta\ f$ により

\begin{align}
\beta^{\cap}
&=
(\alpha \cdot F \ggg \varDelta\ f)^{\cap}
\\
&=
M \cdot \eta \ggg (\alpha \cdot F \ggg \varDelta\ f) \cdot G
\\
&=
M \cdot \eta \ggg \alpha \cdot (F \cdot G) \ggg \varDelta\ (G\ f)
\\
&=
\alpha \cdot \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}} \ggg \varDelta\ c \cdot \eta \ggg \varDelta\ (G\ f)
\\
&=
\alpha \ggg \varDelta\ \eta_{c} \ggg \varDelta\ (G\ f)
\\
&=
\alpha \ggg \varDelta\ (\eta_{c} \ggg G\ f)
\end{align}

コンマ圏 $M \downarrow \varDelta$ の射 $(\mathrm{id}_{\displaystyle*},\eta_{c} \ggg G\ f)$ が満たす条件
$\beta^{\cap} = \alpha \ggg \varDelta\ (\eta_{c} \ggg G\ f)$ が成り立つ。

写像 $\psi_{((*,c,\alpha),(*,d,\beta))} \colon \mathrm{Hom}_{M \downarrow \varDelta}((*,c,\alpha),G^{\displaystyle*}\ (*,d,\beta)) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{M \cdot F \downarrow \varDelta}(F^{\displaystyle*}\ (*,c,\alpha),(*,d,\beta))$ を
元の対応 $\psi_{((*,c,\alpha),(*,d,\beta))} \colon (\mathrm{id}_{\displaystyle*},g) \longmapsto (\mathrm{id}_{\displaystyle*},F\ g \ggg \varepsilon_{d})$ で定める。

コンマ圏 $M \downarrow \varDelta$ の射 $(\mathrm{id}_{\displaystyle*},g)$ が満たす条件
$\beta^{\cap} = \alpha \ggg \varDelta\ g$ により

\begin{align}
\beta
&=
(\alpha \ggg \varDelta\ g)_{\cup}
\\
&=
(\alpha \ggg \varDelta\ g) \cdot F \ggg \varDelta\ \varepsilon_{d}
\\
&=
\alpha \cdot F \ggg \varDelta\ (F\ g) \ggg \varDelta\ \varepsilon_{d}
\\
&=
\alpha \cdot F \ggg \varDelta\ (F\ g \ggg \varepsilon_{d})
\end{align}

コンマ圏 $M \cdot F \downarrow \varDelta$ の射 $(\mathrm{id}_{\displaystyle*},F\ g \ggg \varepsilon_{d})$ が満たす条件
$\beta = \alpha \cdot F \ggg \varDelta\ (F\ g \ggg \varepsilon_{d})$ が成り立つ。

この写像 $\varphi_{((*,c,\alpha),(*,d,\beta))}$ と写像 $\psi_{((*,c,\alpha),
(*,d,\beta))}$ は、
１点離散圏 $\mathbf{1}$ の射 $\mathrm{id}_{\displaystyle*}$ を除き第２成分だけを見れば、
随伴関手の定義にて自然な同型射であることを示した
写像 $\varphi_{(c,d)}$ と写像 $\psi_{(c,d)}$ に等しい。

したがって、$\varphi_{((*,c,\alpha),(*,d,\beta))}$ は自然な同型射である

左随伴関手 $F^{\displaystyle*}$ は余極限(余錐の圏 $M \downarrow \varDelta$ の始対象)を保つ。
関手 $M$ の余極限 $(\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}}M,\eta_{M})$ が存在すれば、
関手 $M \cdot F$ の余極限 $(F\ (\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}}M),\eta_{M} \cdot F)$ が定まる。

左随伴関手 $F$ は余極限と交換する。
$F\ (\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}}M) \cong \mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}}(M \cdot F)$

エンドとコエンド

Haskell では
Data.Functor.Kan.Ranまたは
Data.Functor.Kan.Lanにて、
右カン拡張または左カン拡張を
エンドとしてまたはコエンドとして
それぞれ記述している。

楔の圏の終対象がエンドであり、
余楔の圏の始対象がコエンドである。

エンド

楔の圏 $\varDelta \downarrow \overline{T}$ の終対象 $(\int_{\boldsymbol{J}}T,*,\varepsilon_{\overline{T}})$

すなわち $(\int_{\boldsymbol{J}}T,\varepsilon_{\overline{T}})$ は $\varDelta$ から $\overline{T}$ への普遍射
もしくは関手 $\overline{T} \colon \mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}) \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の極限 $\mathrm{lim}_{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})}\overline{T}$ であり、
双関手 $T \colon \boldsymbol{J}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ のエンド $\int_{\boldsymbol{J}}T$ と呼ぶ。

各対象 $\overline{T} \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})})$ に対して普遍射 $(\int_{\boldsymbol{J}}T,\varepsilon_{\overline{T}})$
が存在するとき、関手 $\int_{\boldsymbol{J}} \colon \boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と
自然変換 $\varepsilon \colon \int_{\boldsymbol{J}} \cdot \varDelta \Longrightarrow \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})}}$ が定義できて、
随伴関係 $\varDelta \dashv \int_{\boldsymbol{J}}$ すなわち次式が成り立つ。

$\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})}}(\varDelta\ -,-) \cong \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(-,\int_{\boldsymbol{J}}-)$

全称量化子

双関手 $\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ -,G\ -) \colon \boldsymbol{C}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{C} \longrightarrow \mathbf{Set}$ の

エンドに関して、次の式が成り立つ。

$T = \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ -,G\ -)$ とする。

楔 $\psi \colon \varDelta\ X \Longrightarrow \overline{T}$ を考えると、
各対象 $\mathrm{Obj}(\mathrm{Tw}(\boldsymbol{C})) \ni h \colon a \longrightarrow b$ に対して
射 $\mathrm{Mor}(\mathbf{Set}) \ni \psi_{h} \colon X \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ a,G\ b)$
すなわち写像 $\psi_{h}$ が存在する。

写像 $\psi_{h}$ は元の対応で次のように定義される。
$\psi_{h} \colon x \longmapsto F\ h \ggg \psi_{\mathrm{id}_{b}}(x) = \psi_{\mathrm{id}_{a}}(x) \ggg G\ h$

各対象 $a \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ に対して射 $\psi_{\mathrm{id}_{a}}(x) \colon F\ a \longrightarrow G\ a$
が存在するため $\psi_{\mathrm{id}_{-}}(x)$ は射の族であり、また
条件 $F\ h \ggg \psi_{\mathrm{id}_{b}}(x) = \psi_{\mathrm{id}_{a}}(x) \ggg G\ h$
を満たすため自然変換 $\psi_{\mathrm{id}_{-}}(x) \colon F \Longrightarrow G$ である。

楔 $\varepsilon_{\overline{T}} \colon \varDelta\,\left(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}^\boldsymbol{C}}(F,G)\right) \Longrightarrow \overline{T}$ を
写像 $(\varepsilon_{\overline{T}})_{h} \colon \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}^\boldsymbol{C}}(F,G) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ a,G\ b)$ すなわち
元の対応 $(\varepsilon_{\overline{T}})_{h} \colon \psi_{\mathrm{id}_{-}}(x) \longmapsto F\ h \ggg \psi_{\mathrm{id}_{b}}(x) = \psi_{\mathrm{id}_{a}}(x) \ggg G\ h$
として定義することができる。

このとき、任意の楔 $\psi$ に対して、
射(すなわち写像) $f \colon X \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}^\boldsymbol{C}}(F,G)$ が
元の対応 $f \colon x \longmapsto \psi_{\mathrm{id}_{-}}(x)$ により定まり、
$f \ggg (\varepsilon_{\overline{T}})_{h} = \psi_{h}$ すなわち $\varDelta\ f \ggg \varepsilon_{\overline{T}} = \psi$ を満たす。

$\displaystyle \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}^\boldsymbol{C}}(F,G) \cong \int_{\boldsymbol{C}}\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ -,G\ -)$

自然変換

{-# LANGUAGE Rank2Types #-}
{-# LANGUAGE TypeOperators #-}

type f ~> g = forall c. f c -> g c

自然変換とはすべての対象(すなわち型)に対して
存在する射(すなわち関数)を集めたものである。

エンドの記法として、対象 $c \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ を明示し
$\displaystyle \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}^\boldsymbol{C}}(F,G) \cong \int_{c \in \boldsymbol{C}}\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ c,G\ c)$
と書く場合もある。コエンドでも同様の記法を用いる。

ある双関手 $T \colon \mathbf{Set}^{\mathrm{op}}\times\mathbf{Set} \longrightarrow \mathbf{Set}$ の
エンド $\int_{j\in\mathbf{Set}}T(j,j)$ は Haskell で次のように書ける。

エンド

{-# LANGUAGE Rank2Types #-}

data End t = End (forall j. t j j)

積分記号 $\int_{j\in\mathbf{Set}}$ と全称量化子 forall j が対応している。

コエンド

余楔の圏 $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}} \downarrow \varDelta$ の始対象 $(*,\int^{\boldsymbol{J}}T,\eta_{\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}}})$

すなわち $(\int^{\boldsymbol{J}}T,\eta_{\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}}})$ は $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}}$ から $\varDelta$ への普遍射
もしくは関手 $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}} \colon \mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の余極限 $\mathrm{colim}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}}\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}}$ であり、
双関手 $T \colon \boldsymbol{J}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ のコエンド $\int^{\boldsymbol{J}}T$ と呼ぶ。

各対象 $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}} \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}})$ に対して普遍射 $(\int^{\boldsymbol{J}}T,\eta_{\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}}})$
が存在するとき、関手 $\int^{\boldsymbol{J}} \colon \boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と
自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}}} \Longrightarrow \int^{\boldsymbol{J}} \cdot \varDelta$ が定義できて、
随伴関係 $\int^{\boldsymbol{J}} \dashv \varDelta$ すなわち次式が成り立つ。

$\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(\int^{\boldsymbol{J}}-,-) \cong \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}}}(-,\varDelta\ -)$

存在量化子

ある双関手 $T \colon \mathbf{Set}^{\mathrm{op}}\times\mathbf{Set} \longrightarrow \mathbf{Set}$ の
コエンド $\int^{j\in\mathbf{Set}}T(j,j)$ は Haskell で次のように書ける。

コエンド

{-# LANGUAGE ExistentialQuantification #-}

data CoEnd t = forall j. CoEnd (t j j)

積分記号 $\int^{j\in\mathbf{Set}}$ と存在量化子 forall j が対応している。

全称量化子と同じく forall j なのでややこしいが、
一般化代数的データ型(Generalized Algebraic Data Type)
を考えれば両者の違いを思い出せるだろう。

存在量化子

{-# LANGUAGE GADTs #-}
{-# LANGUAGE ExplicitForAll #-}

data T = forall a. T a

data T' where
    T' :: forall a. a -> T'

T と T' は型として同じものをあらわし、
すべての型 a から１つの型 T が作れる。
また一方で、型 T の中身はある型 a である。

直和型も同様に複数の型から１つの型が作れる。

直和型

data CB = C Char | B Bool

型 CB の中身はある型(Char か Bool)である。

カン拡張

全ての概念⁵と呼ばれる
カン拡張を最後に定義する。

柱の圏の終対象が右カン拡張であり、
余柱の圏の始対象が左カン拡張である。

関手 $F \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ の終域 $\boldsymbol{D}$ が
１点離散圏 $\mathbf{1}$ であるならば、
関手 $F \cdot -$ は対角関手 $\varDelta$ となるため、
極限と余極限に帰着することを注意しよう。

右カン拡張

柱の圏 $F \cdot - \downarrow M$ の終対象 $(\mathrm{Ran}_{F}M,*,\varepsilon_{M})$

すなわち $(\mathrm{Ran}_{F}M,\varepsilon_{M})$ は $F \cdot -$ から $M$ への普遍射であり、
$F$ に沿った $M$ の右カン拡張 $\mathrm{Ran}_{F}M$ と呼ぶ。

各対象 $M \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}})$ に対して普遍射 $(\mathrm{Ran}_{F}M,\varepsilon_{M})$
が存在するとき、関手 $\mathrm{Ran}_{F} \colon \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{D}}$ と
自然変換 $\varepsilon \colon F \cdot (\mathrm{Ran}_{F}\,-) \Longrightarrow \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}}$ が定義できて、
随伴関係 $F \cdot - \dashv \mathrm{Ran}_{F}$ すなわち次式が成り立つ。

$\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}}(F \cdot -,-) \cong \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{D}}}(-,\mathrm{Ran}_{F}\,-)$

極限として

コンマ圏 $d \downarrow F$ を考えることで次の図式を得る。

双関手 $- \cdot - \colon \mathbf{1}^{d \downarrow F} \times \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{d \downarrow F}$ の
左セクション $P_{\mathrm{L}} \cdot - \colon \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{d \downarrow F}$ は
対角関手 $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{d \downarrow F}$ となる。

$P_{\mathrm{L}}$ に沿った $P_{\mathrm{R}} \cdot M$ の右カン拡張は
関手 $P_{\mathrm{R}} \cdot M \colon d \downarrow F \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の極限である⁴。
$(\mathrm{Ran}_{F}M)\ d \cong \mathrm{lim}_{d \downarrow F}(P_{\mathrm{R}} \cdot M)$

エンドとして

双関手 $\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(d,F\ -) \pitchfork M\ - \colon \boldsymbol{J}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の
エンドとして、右カン拡張を
$\displaystyle \mathrm{Ran}_{F}M\ d \cong \int_{j\in\boldsymbol{J}} \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(d,F\ j) \pitchfork M\ j$

と書くことができる。

以下の式変形により示すことができる⁴。

\begin{align}
\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{D}}}(X,\mathrm{Ran}_{F}M)
&\cong
\int_{d\in\boldsymbol{D}}\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(X\ d,\mathrm{Ran}_{F}M\ d)
\\
&\cong
\int_{d\in\boldsymbol{D}}\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}\left(X\ d,\int_{j\in\boldsymbol{J}} \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(d,F\ j) \pitchfork M\ j\right)
\\
&\cong
\int_{d\in\boldsymbol{D}}\int_{j\in\boldsymbol{J}}\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(X\ d,\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(d,F\ j) \pitchfork M\ j)
\\
&\cong
\int_{d\in\boldsymbol{D}}\int_{j\in\boldsymbol{J}}\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}}(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{op}}(X\ d,M\ j),\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}^{\mathrm{op}}(d,F\ j))
\\
&\cong
\int_{j\in\boldsymbol{J}}\int_{d\in\boldsymbol{D}}\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}}(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{op}}(X\ d,M\ j),\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}^{\mathrm{op}}(d,F\ j))
\\
&\cong
\int_{j\in\boldsymbol{J}}\mathrm{Hom}_{{\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}}^{\boldsymbol{D}}}(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{op}}(X\ -,M\ j),\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}^{\mathrm{op}}(-,F\ j))
\\
&\cong
\int_{j\in\boldsymbol{J}}\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}((F \cdot X)\ j,M\ j)
\\
&\cong
\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}}(F \cdot X,M)
\end{align}

圏 $\boldsymbol{C}$ を集合の圏 $\mathbf{Set}$ (すなわち圏 $\mathbf{Hask}$)とすれば
余テンソル対象 $B \pitchfork C$ は $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}}(B, C)$ であり⁴、
圏 $\boldsymbol{J},\boldsymbol{D}$ も集合の圏 $\mathbf{Set}$ のときは以下となる。
$\displaystyle \mathrm{Ran}_{F}M\ d \cong \int_{j\in\mathbf{Set}} \mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}}(\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}}(d,F\ j), M\ j)$

右カン拡張

{-# LANGUAGE Rank2Types #-}

data Ran f m d = Ran (forall j. (d -> f j) -> m j)

左カン拡張

余柱の圏 $M \downarrow F \cdot -$ の始対象 $(*,\mathrm{Lan}_{F}M,\eta_{M})$

すなわち $(\mathrm{Lan}_{F}M,\eta_{M})$ は $M$ から $F \cdot -$ への普遍射であり、
$F$ に沿った $M$ の左カン拡張 $\mathrm{Lan}_{F}M$ と呼ぶ。

各対象 $M \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}})$ に対して普遍射 $(\mathrm{Lan}_{F}M,\eta_{M})$
が存在するとき、関手 $\mathrm{Lan}_{F} \colon \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{D}}$ と
自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}} \Longrightarrow F \cdot (\mathrm{Lan}_{F}\,-)$ が定義できて、
随伴関係 $\mathrm{Lan}_{F} \dashv F \cdot -$ すなわち次式が成り立つ。

$\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{D}}}(\mathrm{Lan}_{F}\,-,-) \cong \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}}(-,F \cdot -)$

余極限として

コンマ圏 $F \downarrow d$ を考えることで次の図式を得る。

双関手 $- \cdot - \colon \mathbf{1}^{F \downarrow d} \times \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{F \downarrow d}$ の
左セクション $P_{\mathrm{R}} \cdot - \colon \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{F \downarrow d}$ は
対角関手 $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{F \downarrow d}$ となる。

$P_{\mathrm{R}}$ に沿った $P_{\mathrm{L}} \cdot M$ の左カン拡張は
関手 $P_{\mathrm{L}} \cdot M \colon F \downarrow d \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の余極限である⁴。
$(\mathrm{Lan}_{F}M)\ d \cong \mathrm{colim}^{F \downarrow d}(P_{\mathrm{L}} \cdot M)$

コエンドとして

双関手 $\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ -, d) \odot M\ - \colon \boldsymbol{J}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の
コエンドとして、左カン拡張を
$\displaystyle \mathrm{Lan}_{F}M\ d \cong \int^{j\in\boldsymbol{J}}\!\!\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ j, d) \odot M\ j$

と書くことができる。

以下の式変形により示すことができる⁴。

\begin{align}
\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{D}}}(\mathrm{Lan}_{F}M,X)
&\cong
\int_{d\in\boldsymbol{D}}\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(\mathrm{Lan}_{F}M\ d,X\ d)
\\
&\cong
\int_{d\in\boldsymbol{D}}\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}\left(\int^{j\in\boldsymbol{J}}\!\!\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ j, d) \odot M\ j,X\ d\right)
\\
&\cong
\int_{d\in\boldsymbol{D}}\int_{j\in\boldsymbol{J}}\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}\left(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ j, d) \odot M\ j,X\ d\right)
\\
&\cong
\int_{d\in\boldsymbol{D}}\int_{j\in\boldsymbol{J}}\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}}(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ j, d),\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(M\ j,X\ d))
\\
&\cong
\int_{j\in\boldsymbol{J}}\int_{d\in\boldsymbol{D}}\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}}(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ j, d),\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(M\ j,X\ d))
\\
&\cong
\int_{j\in\boldsymbol{J}}\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}^{\boldsymbol{D}}}(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ j, -),\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(M\ j,X\ -))
\\
&\cong
\int_{j\in\boldsymbol{J}}\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(M\ j,(F \cdot X)\ j)
\\
&\cong 
\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}}(M,F \cdot X)
\end{align}

圏 $\boldsymbol{C}$ を集合の圏 $\mathbf{Set}$ (すなわち圏 $\mathbf{Hask}$)とすれば
テンソル対象 $A \odot B$ は直積 $A \times B$ であり⁴、
圏 $\boldsymbol{J},\boldsymbol{D}$ も集合の圏 のときは以下となる。
$\displaystyle \mathrm{Lan}_{F}M\ d \cong \int^{j\in\mathbf{Set}}\!\!\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}}(F\ j, d) \times M\ j$

左カン拡張

{-# LANGUAGE ExistentialQuantification #-}

data Lan f m d = forall j. Lan (f j -> d, m j)

まとめ

普遍性による定義が分かりづらいのは
「満たすべき条件」や「可換性」や「一意性」
などの諸概念が同時に押し寄せるからだろう。

ここでは「満たすべき条件」や「可換性」を
自然変換やコンマ圏が満たす条件として、
また「一意性」を終対象や始対象として、
それぞれ分離することで単純化を試みた。

カン拡張を結局どう使うのかは
現時点で分からないけれども、
極限からカン拡張への雰囲気は
把握できたのではないかと思う。

nLab「arrow category」 ↩
nLab「twisted arrow category」 ↩
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)「カン拡張のために、柱の絵を描く」(2018-03-26) ↩
詳細に関してはあとでいつかきっとそのうち確認する。 ↩
algebraic dialy「全ての概念はKan拡張である、とは何か」(2015-08-09) ↩

もう諦めない圏論基礎―極限からカン拡張へ―

想定読者と到達目標

目次

対角関手

圏の平方

定義

コンマ圏

射の圏

ねじれた射の圏

錐と余錐

錐の圏

余錐の圏

楔と余楔

楔の圏

余楔の圏

柱と余柱

柱の圏

余柱の圏

普遍性

終対象

始対象

普遍射

余単位

単位

テンソル関手

余テンソル対象

テンソル対象

極限と余極限

極限

右随伴関手との交換

余極限

左随伴関手との交換

エンドとコエンド

エンド

全称量化子

コエンド

存在量化子

カン拡張

右カン拡張

極限として

エンドとして

左カン拡張

余極限として

コエンドとして

まとめ