これまでの投稿内容のある種のまとめ。
#①観測線(Observated Line)概念からの出発。
観測原点(Observated Origin)0と観測極限(Observated Limit)∞を結ぶ非負の連続実数列(Consecutive Real Sequence)rから出発する。ここで観測結果集合(Observated Result Set)rは観測原点0そのものも観測極限∞そのものも含まない開集合(Open Set)と規定される。
0< r <∞(r \in \mathbb{R})
#②加法単位元(Additive Identity Element)0概念と乗法単位元(Multiplication Identity Element)1概念の追加。
加法単位元(Additive Identity Element)0と乗法単位元(Multiplicative Identity Element)1を以下の様に規定する。
∞-∞=0(加法単位元)\\
* トートロジー（Tautology=同内容反復)式∞=∞の変形\\
\\
\frac{∞}{∞}=1(乗法単位元)\\
* 等尺数列(Isometric Sequence)式1×∞=∞の変形
半径(Radius)1の単位円(Unit circle)上で考えると、こうした規定の全てが$T_n$=基本周期(Fundamental Period)T概念 x 周回数(Rap)nの概念で説明可能となります。
%matplotlib nbagg
import math as m
import cmath as c
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation
#単位円データ作成
c0=np.linspace(-m.pi,m.pi,61,endpoint = True)
s0=[]
for num in range(len(c0)):
s0.append(complex(m.cos(c0[num]),m.sin(c0[num])))
s1=np.array(s0)
plt.style.use('default')
fig = plt.figure()
#関数定義
def unit_circle(n):
plt.cla()
#スポーク線描画
for num in range(len(s1)):
plt.plot([0,s1[num].real],[0,s1[num].imag],color="gray",lw=0.5);
#円周描画
plt.plot(s1.real,s1.imag,color="blue", label="Unit Cylinder")
plt.ylim([-1.1,1.1])
plt.xlim([-1.1,1.1])
plt.title("Unit Circle")
plt.xlabel("Real")
plt.ylabel("Imaginal")
ax = fig.add_subplot(111)
ax.set_aspect('equal', adjustable='box')
ax.legend(loc='upper right')
#補助線描画
plt.axvline(0, 0, 1,color="red")
plt.axhline(0, 0, 1,color="red")
#移動線描画
plt.plot([0,s1[n].real],[0,s1[n].imag],color="green",lw=1)
ani = animation.FuncAnimation(fig, unit_circle, interval=50,frames=len(s1))
ani.save("desktop/output02.gif", writer="pillow")
- $f(x+T)=f(x)$ となる時、関数fを独立変数xに対する周期関数(Periodic Function)という。ただしT= 基本周期(一定量の正の定数)とし、これに周回数(Rap)を掛けた2T,3Tで周期(Period)を表す(ベクトル空間におけるスカラー倍の概念に対応)。
Python演算処理】環論に立脚した全体像再構築③ベクトル空間としての構成 - 関数f(x),g(x)が基本周期Tの周期関数なら、以下も基本周期Tの周期関数となる。特に①の式形を線形結合/一次結合(Linear Combination)と呼ぶ。
Python演算処理】環論に立脚した全体像再構築③ベクトル空間としての構成
af(x)+bg(x)…①\\
f(x)g(x)…②
- 関数f(x)が基本周期Tの周期関数なら、周回数(Rap)nが自然数の時、関数f(nx)は基本周期$\frac{x}{n}T$の周期関数となるが、これは周期Tの周期関数に含まれ続ける。一方逆に関数$\frac{x}{n}$は基本周期nTの関数となり、基本周期Tの関数を含む様になる。
基本周期Tの周期関数f(nx)=基本周期\frac{T}{n}の関数f(x)…③\\
基本周期Tの周期関数f(\frac{x}{n})=基本周期nTの関数f(x)…④\\
基本周期\frac{T}{n} \in 基本周期T \in 基本周期nT…⑤
- 関数f(x)が基本周期Tの周期関数なら、任意の数cについて以下が成立する。この事は面積を表す定積分(Definite Integral)の概念から自明として導出される。
\int_{0}^{T}f(x)dx=\int_{C}^{C+T}f(x)dx…⑥
- p≦t<p+tで定義された関数を$f_p(x)$とする時、その関数の値をTの整数倍ずらした区画で繰り返す事により、-∞<x<+∞の範囲で基本周期Tの周期関数f(x)が得られる。この様な手続きによる周期関数の作成方法を周期的拡張(Periodic Expansion)という(コピーが実数全体の範囲にわたってずらっと並ぶイメージ。サンプラーでいうとサンプリング・データの無限Loop)。
そしてこの考え方を適用するなら、直径(Diameter)が半径の2倍(あるいは中心から伸ばした2つの半径1,-1の輪が0)となるのに対応し、以下が成立するのです。
-
さしあたって単位円の円周2πラジアン(あるいは半周πラジアンや$\frac{1}{4}$周に該当する$\frac{π}{4}$ラジアン)を基本周期に設定する周期的拡張を遂行すると、-∞から+∞に掛けての範囲をこれで均等に区切る数直線空間(Number Line Space)が設定される。ここで基本周期に設定するのは周回数nが1でも良い(それは定規の様に真っ直ぐ広がっているとは限らず、巻尺の様に心棒に巻きついていたり、極座標系の様に同心円(Concentric Circles)/同心球面()集合(Set)/空間(Space)を構築していたりする)。
【Rで球面幾何学】「世界で一番美しい公式」オイラーの等式の罠？
【Pyrhon演算処理】同心集合①乗法的同心集合とは？
-
単位円上の任意の始点0から正方向(慣例に従って反時計回りとする)に伸ばした距離x(0<x<∞)は必ず反対方向(慣例に従って時計回りとする)に同じだけ伸ばした反数(Additive Inverse)-xと対となり、両者の和が加法単位元(Additive Identity)0規定される。
-
単位円の円周2πを基本周期Tとする周期関数f(x)を考えた場合、その周回数n(0<x<∞)は必ずその数で単位円を分割する逆数(Multiplicative Inverse)$\frac{1}{n}$と対となり、両者の積が乗法単位元(Multiplicative Identity)1と規定される。
今度は三次元の場合、すなわち円筒座標系(Cylindrical Coordinate System=)における観測のされ方について考えてみましょう。
%matplotlib nbagg
import math as m
import cmath as c
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
#単位円データ作成
c0=np.linspace(-m.pi,m.pi,61,endpoint = True)
s0=[]
for num in range(len(c0)):
s0.append(complex(m.cos(c0[num]),m.sin(c0[num])))
s1=np.array(s0)
z0=np.linspace(-1,1,61,endpoint = True)
#グラフ表示
plt.style.use('default')
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
#関数定義
def unit_cylinder(n):
plt.cla()
#スポーク線描画
ax.plot([0,0],[0,0],[-1,1],color="red",lw=1)
ax.plot([0,-1],[0,0],[-1,-1],color="red",lw=1)
ax.plot([0,-1],[0,0],[1,1],color="red",lw=1)
for num in range(len(s1)):
ax.plot([0,s1[num].real],[0,s1[num].imag],[z0[num],z0[num]],color="gray",lw=0.5);
ax.plot(s1.real,s1.imag,z0,color="blue")
ax.set_ylim([-1.1,1.1])
ax.set_xlim([-1.1,1.1])
ax.set_zlim([-1.1,1.1])
ax.set_title("Unit Cylinder")
ax.set_xlabel("Real")
ax.set_ylabel("Imaginal")
ax.set_zlabel("Cycle")
# グラフを回転(elv=45,0で水平,90で垂直)
ax.view_init(elev=45, azim=-45)
#動線描画
ax.plot([0,s1[n].real],[0,s1[n].imag],[z0[n],z0[n]],color="green",lw=1);
ani = animation.FuncAnimation(fig, unit_cylinder, interval=50,frames=len(s1))
ani.save("desktop/output06.gif", writer="pillow")
この場合単位円がCos波とSin波のある種の合成波(Synthetic Wave)として観測される展開を迎えます。
- z軸から観測した場合に現れる円運動(合成波)
- x軸から観測した場合に現れるCos波
- y軸から観測した場合に現れるSin波
Z軸は(陰関数として2変数が相互依存関係にあるので)xy平面と異なり尺度設定などが自由に行えます。
- 数学系は交代級数$-1^n=±i^{2n}$概念の影響や立方体意識から-1≦z≦1あるいは0≦z≦2と周回数nベースの設定が主流。
- 物理系では(おそらく実測上の利便nに基づいた)-π≦z≦πあるいは0≦z≦2πとラジアン系ベースの設定が主流。
そう、そもそもこの二択が存在する事自体が要注意なのです。
###波形の空間的捉らえ方
例えば水波(池に浮かべておいた球を急速に取り去った時に水面に発生する波紋。一定間隔で同じ形が繰り返される凹凸といったイメージ)については横軸に位置xを置き、縦軸に波の高さy=f(x)を配置して図示します。この時、幅λごとに同じ形が繰り返されているとするなら以下の関係が成立します。
f(x-λ)=f(x) ただしλは一定量の正の定数
まさしく基本周期λの周期関数の規定そのもの。
- 波を空間的に把握しようとする場合、基本周期λを波長(Wavelength)と呼ぶ。
- また長さ2πに含まれる波の最小パターンの個数を波数(Wavenumber)kといい波長の逆数、またはその2π倍として定義される。後者は前者と区別して角波数（Angular Wavenumber）$\tilde {\nu}$と呼ばれる事もある。
波数k=\frac{1}{λ}\\
角波数\tilde {\nu}=\frac{2π}{λ}
###波形の時間的捉え方
心電図などが著名で、時間tを変数にした関数f(x)によって可視化します。
- ある一定時間内に同じ波形が繰り返される時、その一定時間を周期(Periodic Time)T、基本周期Tの周期関数f(t)と呼ぶ。
f(t-T)=f(t) ただしTは一定量の正の定数
- また単位時間(例えば1秒)に含まれる基本周期の個数、すなわち単位時間に含まれる最小パターンの個数を周波数(Frequency)νと呼ぶ。この周波数は単位時間内に同じ事が何回繰り返されるかを表しているので振動数(Frequency)νとも呼ばれる。内容としては周期Tの逆数。
周波数/振動数(Frequency)ν=\frac{1}{T}
- また中心が原点(0,0)で半径が1の単位円において、x軸(実軸)となす角度がθである動径の先端座標(x=cos(θ),y=sin(θ))について考える時(ただしy軸=虚軸とする)、動径が一定速度で回転し続けているとすれば単位時間(例えば1秒間)におけるθの変化が角周波数/角振動数(Angular Frequency)ωが得られる。
角周波数(角振動数)ω=単位時間(例えば1秒間)における回転角\\
動径がx軸上(つまりθ=0もしくはπ)からスタートする場合の時刻tにおける回転角θ\\
θ=ωt+nπ\\
ただしnは周回数とする。
- この時、cos(ωt)やsin(ωt)を角周波数ωの正常波(Ordinary Wave)と呼ぶ。cos波は余弦、sin波は正弦と日本語読みされる為に正常波=sin波」と連想する人もいるが、正常波=sin波と相似形の波全てという定義なのでcos波も正常波に分類されるのである。
#③加法実数群(Additive Real Group)概念=スカラー(Scalar)概念の追加。
連続実数列rと加法単位元0とその反数(Additive Inverse)-rの概念を加え加法実数群(Additive Real Group)とする。合わせてこれをスカラー(Scalar)と規定し、族集合(Family Set)を記し分ける際の添字集合(Index set)nなどで用いる事にする。
スカラー (数学) - Wikipedia
(\mathbb{R},+)=-∞<-r<0<r<+∞\\
s=(\mathbb{R},+)
同値の結果なら、集合論から出発して「実数列全体の代表が可能な」十進環(Decimal Ring)の概念に到着しても得られる。
【Python描画処理】ベン図と組み合わせ計算と確率演算
#④乗法実数群(Multiplicative Real Group)概念の追加。
乗法単位元1を中心に外側にn倍、内側に逆数(Multiplicative Inverse)たる$\frac{1}{n}$倍の半径rの同心円を配置した極座標系(Polar Coordinates System)を規定し、これを乗法実数群(Multiplicative Real Group)の定義とする。
\begin{eqnarray*}
(\mathbb{R},×)&=&0(=\frac{1}{∞})<\frac{1}{n}<1(=\frac{n}{n})<n<∞(乗除算)\\
&=&0(=r^{-∞}=\frac{r}{∞})<r^{-n}(=\frac{1}{r^n})<1(=r^0=\frac{r}{r})<r^n<∞(r=^{+∞})(冪算)\\
\end{eqnarray*}
- 関数$y=2^{\frac{n}{2}}$が生成する同心円集合(正方形に内接/外接)
- 関数$y=2^n$が生成する同心円集合(正三角形/正六角形に内接/外接)
- 関数$y=e^n$(自然指数関数)が生成する同心円集合(さらに半径増減の勾配が急に)
- 同時に小数点下も表現可能な十進数表現概念を導入しておこう。より厳密には上掲の「幾何学上における正多角形と内接/外接円問題」と密接に関連してくる剰余類(Cosets=傍系)の概念導入が欠かせない。
剰余類 - 物理のかぎしっぽ
剰余類2 - 物理のかぎしっぽ
合同式(mod)の意味とよく使う6つの性質 - 学びTimes(http://hooktail.sub.jp/algebra/Remainder/)
整数部n桁、少数部m桁の十進数表現a_nb_mを以下の様に規定する。\\
a_n(a_1,…,a_n) \in \mathbb{Z} \land 0≦a_n≦9(\mathbb{Z} mod 10)\\
b_m(b_1,…,b_m) \in \mathbb{Z} \land 0≦b_m≦9(\mathbb{Z} mod 10)\\
すなわち\\
a_n,b_m \in (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)\\
この時\\
\begin{eqnarray*}
a_nb_m&=&\sum_{n=1}^{n}a_n 10^n+\sum_{m=1}^{m}b_m 10^{-m}\\
&=& a_1 10^n+a_2 10^{n-1}+…+a_n 10^{0}+b_1 10^{-1}+…+b_m 10^{-m}
\end{eqnarray*}\\
ただしn,m \in a_nb_m
- なるほど「ベクトル空間(Vector Space)において超越的に存在する」スカラーは、この様に一次結合的表現(Linear Combination like Expression)によって再帰的かつ離散的に規定される。「十の位」や「百の位」や「千の位」が表現可能とはそういう訳だったのである(1の位が$a_n 10^0$になる点に注意)。
-
ベクトルと異なり向きの概念を備えないとされるスカラーだが、この様にその表記に用いられる10進法($10^n$を法とする剰余類の無限連鎖による元の数の近似)そのものの表現に既に(互いの直交を前提とする)標準基底(Standard Basis)(1,0,0,…,0),(0,1,0,…,0),(0,0,1,…,0),…,(1,0,0,…,0)の類似概念が導入されている辺りが実に興味深い。
正規直交基底 - Wikipedia - いずれにせよこうして等尺(Isometric Scale)、指数尺(Exponential Scale)、対数尺(Logarithmic Scale)の概念がまとめて使用可能となる。
#⑤指数写像(Exponential Map)/対数写像(Logarithmic Map)概念の追加。
ところで乗法実数群はは加法実数群の指数写像(Exponential Map)であり、かつ加法実数群は乗法実数群の対数写像(Logarithmic Map)である（加法実数群における乗除算/冪算が乗法実数群における加減算/乗除算に対応する）。
【数理考古学】常用対数表を使った計算
-
指数写像(加法実数群→乗法実数群)
【Pyrhon演算処理】同心集合③環概念と指数/対数写像概念の導入
| 加法実数群 | 乗法実数群 | |
|---|---|---|
| 0 | -∞ | 0 |
| 1 | -1 | exp(-1) |
| 2 | 0 | 1 |
| 3 | 1 | exp(+1) |
| 4 | +∞ | ∞ |
-
対数写像(乗法実数群→加法実数群)
【Pyrhon演算処理】同心集合③環概念と指数/対数写像概念の導入
| 乗法実数群 | 加法実数群 | |
|---|---|---|
| 0 | 0 | -∞ |
| 1 | exp(-1) | -1 |
| 2 | 1 | 0 |
| 3 | exp(+1) | 1 |
| 4 | ∞ | +∞ |
#⑥加法実数群概念と乗法実数群概念の実数環概念(Real Ring Concept)への統合
この特徴に着目して乗法実数群(角度の概念が導入される以前の極座標系)を水平軸、加法実数群(一次元デカルト座標系)を垂直軸に取ったある種の円筒座標系(Cylindrical Coordinate System)を実数環(Real Ring)と規定すれば、水平軸が半径1の時に垂直軸の傾き(勾配=Slope)が実数列(加法実数群)のそれと一致する。
群同型 Wikipedia
加法整数群$(\mathbb {Z},+)$は加法実数群$(\mathbb{R},+)$の部分群であり、商群$\frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}}$は、同型写像$f(x+\mathbb {Z})=e^{2πxi}(x \in \mathbb{R} \land 0 \leqq x \leqq 2π)$によって絶対値1の乗法複素数群$S^1$に同型である：
\frac{(\mathbb{R},+)}{(\mathbb{Z},+)} \cong S^1
すなわち…
e^{2πi}(exp(0+6.283185i))=\cos(2π)+\sin(2π)i=1+0i\\
e^{πi}(exp(0+3.141593i))=\cos(π)+\sin(π)i=-1+0i\\
-e^{πi}(-exp(0+3.141593i))=-\cos(π)-\sin(π)i=1+0i
または…・
-1^n=±i^{2n}\\
-1^1=±i^{2}=-1\\
-1^2=±i^{2*2}=1
- この様な形で乗法加法群と乗法実数群の座標軸が直交していると考えると、それから逆算して自然数(Matural)集合/列$\mathbb{N}=(1,2,3,…,∞)$や整数(Integer)集合/列$\mathbb{Z}=(-∞,…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…,+∞)$の概念を規定し、かつまたそれらが(10進数導入を前提とする)小数点下を直接は含まず(乗法的逆数概念の反映たる)有理数(Rational)集合/列$\mathbb{Q}$や(任意の一次元実数列上の1点を中心とする極座標系が元数列に与える影響を演算する)複素数(Complex)概念$\mathbb{C}$に拡張される過程がより明確化出来る。
一時結合表現の大源流としての複素数表現/四元数表現
さらに指数写像・対数写像概念の適用を続ければ、円筒座標系と球面座標系(Spherical Coordinate System)の間の往復も可能となる。いわゆるメルカトル図法(Mercator Projection)の発想…
【Python画像処理】メルカトル図法と正距方位図法
#そもそも数学的対象(Mathematical Object)とは？
そもそも数学の世界において数学的対象(Mathematical Object)と認識される為には、観測結果集合/列(Observated Result Set/Sequence)rとして観測されただけでは不十分で、それから抽出された特徴(Feature=機械学習における学習対象等)を再現(近似)する演算(Operation)と組み合わせた群論的表現(Group Theory Expression)(r,○)などに発展させられる必要があります。
数学的対象 - Wikipedia
もちろんここでの再現/近似は完璧とは限らず、実際歴史上幾度も更新されてきましたし、これからも更新されていく事でしょう。その総体こそが「数理そのもの」に対する数学の立場であり、例えば上掲の様に算数初学者の頃から慣れ親しんできた「数直線概念(Number Line Concept)」から、それと紐付けて覚えさせられてきた以下の様な集合/列概念(Set/Sequence Concept=最も原始的な数学的対象)を「解放」する為だけにも上掲の様な手間が必要となったのです。
◇数直線ほど不可解な線はない◇ - AIRnet
- 自然数集合/列(Natural Set/Sequence)$\mathbb{N}$
- 整数集合/列(Integer Set/Sequence)$\mathbb{Z}$
- 有理数集合/列(Rational Set/Sequence)$\mathbb{Q}$
- 実数集合/列(Rational Set/Sequence)$\mathbb{R}$
- 複素数集合/列(Complex Set/Sequence)$\mathbb{C}$
集合(Set)概念と数列(Sequence)概念を峻別するのは順序関係(Ordered Relation)の有無と考えられます。そして上掲の考え方を援用するなら、それを問える様になるのは群論(Group Theory)概念の導入され数列の定義が規定される③以降という事になりそうです。
【順序集合】反射性/非反射性と対称性/非対称性と推移性/非推移性の関係定義
とりあえず以下続報…