推移的で無反射的な関係は、非対称関係で強半順序関係となる。一方、推移的で反射的な関係は(半順序関係や同値関係といった特殊例も含め)単なる前順序(擬順序)関係となる。有限集合では前者よりも後者の方が多い。
非対称関係（Asymmetric relation -Wikipedia）
原義としては対称的でない二項関係を意味するが、場合によっては「Xにおける関係Rが非対称であるとは、Xの属する全ての元aおよびbについて、aからbへの関係が成り立つ時はbからaへの関係が成り立たない場合を指す」なる狭義で説明される。
$\forall a,b\in X,\ aRb;\Rightarrow \lnot (bRa)$
この意味合いにおける非対称関係は、反対称的であると同時に非反射的でもある。推移関係では非対称性と非反射性が等価となり、この場合の非対称性は上の狭い意味の定義を包含するが、逆は成り立たない。一方、空集合は後者の意味で非対称的であると同時に対称的に振る舞う。
- 過去投稿で定義した空和概念(元の総和は常に0)と空積概念(元の総積は常に1)を「指数・対数写像」概念で統合した空環概念(Empty Ring Concept)で考えてみると、それが認識体系上の限界、すなわち「数理的に有意味な要素を何も検出出来てない状況下における認識可能範囲外全て」に対応する都合上「非反射性要素=元に含まれない非元」は自明の場合(Trival Case)としてまとめて(順序尺度など到底成立しない)非推移関係に分類され、そもそもさらに反射性/非反射性や対称性/非対称性を問う事自体が出来ない。
【Python演算処理】環論に立脚した全体像再構築①空環と実数環
空和概念(Empty Sum Concept)…「∞-∞=加法単位元0」なる方便から出発する「平均と分散」「共役」概念の大源流
空積概念(Empty Product Concept)「∞/∞=乗法単位元1」なる方便から出発する「反比例関係xy=1」「指数・対数写像」概念の大源流
空和概念の空積概念への「指数写像」。既に(表面を均等尺で敷き詰めた)「球面座標系」や(表面を対数尺で敷き詰めた)半径1の単位円を赤道、0と∞をそれぞれ対蹠(北極点や南極点)に対応させる「リーマン球面(Riemann Sphere)」を扱う幾何学的操作が用いられているが、実数環段階と異なり空環段階ではまだ「赤道に該当する半径1の単位円」が検出出来ていない。
リーマン球面 - Wikipedia
空積概念の空和概念への「対数写像」。既に(表面を均等尺で敷き詰めた)「球面座標系」を扱う幾何学的操作、すなわち「リーマン球面」を(赤道に対応する)半径$\frac{π}{2}$と(観測限界∞に対応する)半径πの二重同心円状態への展開が用いられているが、実数環段階と異なり空環段階ではまだ「赤道に該当する半径$\frac{π}{2}$の円」が検出出来ていない。
【Python画像処理】メルカトル図法と正距方位図法
ところが数学の世界における反射性/非反射性と対称性/非対称性と推移性/非推移性の関係定義は(空集合の振る舞いを含め)はこの制約に縛られていない様に見えます。果たしてどうやってそれを実現しているのでしょう？
「順序」の概念が定義された集合のことで、「順序」とは大小、高低、長短等の序列に関わる概念を抽象化した二項関係を指す。ただしここでいう順序とは、その集合の任意の2つの元に対して必ずしも定まっているとは限らず、両者が「比較不能」であることもありうる。
比較不能の場合を許容する順序集合として典型的なのが「半順序集合（Partially Ordered Set, Poset）である。特に、半順序集合で全ての2元が比較可能であるものを「全順序集合(totally ordered set)」という。
その定義(同値関係を導出する同値律との微妙な定義違いに注意)
集合Pについて「≤」をP上で定義された二項関係とする。かかる集合(P,≤)は台集合(Underlying Set) あるいは台(Support)とも呼ばれる。紛れがなければ≤ を省略し、集合Pを（以下のいずれかの意味で）順序集合という。順序集合(P,≤)に対し「≤」を台P上の順序関係ともいう。
- 反射律：Pの任意の元aに対し、a≤aが成り立つ($\forall a \in P,a≤a$)。
- 推移律：Pの任意の元a,b,cに対し、a≤bかつb≤cならばa≤cが成り立つ($\forall a,b,c \in P,a≤b \land b≤c \to a≤c$)。
- 反対称律：Pの任意の元a,bに対し、a≤bかつb≤aならばa=bが成り立つ($\forall a,b \in P,a≤b \land b≤a \to a=b$)。
- 全順序律：Pの任意の元a,bに対し、a≤bまたはb≤aが成り立つ($\forall a,b \in P,a≤b \lor b≤a$)。
「≤」が全順序律を満たさない場合には「a ≤ b」でも「b ≤ a」でもない場合が想定され、この時aとbは「比較不能 (incomparable)」であるという。
- 「≤」が反射律と推移律を満たすとき「≤」をP上の前順序という。
- 「≤」が前順序でありさらに反対称律を満たすとき「≤」をP上の半順序という。
- 「≤」が半順序でありさらに全順序律を満たすとき
- 「≤」をP上の全順序という。
「≤」が前順序であるとき (P, ≤) を前順序集合という。同様に「≤」が半順序なら (P, ≤) は半順序集合、全順序なら (P, ≤) は全順序集合という。
- 多くの数学の分野では半順序集合を主に扱うので、単に順序あるいは順序集合といった場合はそれぞれ半順序、半順序集合を意味する場合が多いが、分野によっては、主な対象が半順序集合でなく前順序集合や全順序集合である場合があり、そのような分野では前順序集合や全順序集合の意味で「順序集合」という言葉が用いられることがあるので注意が必要である。
- ここでは順序関係を記号「≤」で表したが、必ずしもこの記号で表現する必要はない。実数の大小を表す記号「≤」と区別するため、順序の記号として$\prec$や$\ll$を使うこともある。
順序集合の実例(一部抜粋)
- 実数全体の集合$\mathbb{R}$およびその部分集合（例えば、自然数全体の集合$\mathbb{N}$,整数全体の集合$\mathbb{Z}$, 有理数全体の集合$\mathbb{Q}$）は、通常の大小関係により全順序集合となる。
- 一方、複素数全体の集合$\mathbb{C}$には複素数の乗法と"両立"する全順序は存在しない（順序体でない）。
分岐点(数学)- Wikipedia - 自然数全体の成す集合は整除関係を順序として半順序集合である。
剰余類 - Wikipedia
【分解する物語（２）】整除関係
複素数や剰余類のケースでも、単に全順序を入れるだけであれば、直積集合R×Rに辞書式順序(Lexicographical Order)を定めることができる。
辞書式順序 - Wikipedia
どうやら大雑把には(通常多価関数で表現される)複素数や剰余類の類こそが「半順序集合」の典型的イメージの一つで、その範囲についてなら「(周期管理と周回管理を切り離した)円筒座標系」や「(10進数の様に桁上がり/桁下り概念を備えた)P進数」概念を方便として導入する事によって全順序集合として扱い得るといった粗雑な理解で乗り越えられそうな気がしてきました。
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そのうちPythonでの実装を検討したいと考えています。そんな感じで以下続報…