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@MENDY(MENDY)

【強化学習】まとめてみた　第二回（n本腕バンディット問題　多腕バンディット問題）

Last updated at Posted at 2018-07-20

はじめに

強化学習勉強会なるものがスタートしました！
なので，それらを勉強もかねてまとめていこうと思います．二番煎じ感がものすごいですが，自分の理解度向上のためにも！
予定ではQiitaで第7回分（Q学習ぐらいまで）ぐらいやろうかなと考えています．今回は第二回です！

過去のもの

その他リンク

原著プログラムについてですが，基本的には見ずに書いてます．
原著のプログラムが分かりにくければ，僕のgithubで見ていただけると嬉しいです．

目的

  • 強化学習勉強会の内容のまとめ
  • 自分の理解度向上もかねて
  • プログラムの書き方の練習もかねて

おしながき

  1. n本腕バンディット問題
    2. 問題設定
    3. 問題の定式化
    3. 強化学習への落とし込み
    4. 難しさ（知識利用と探索）
    4. プログラム

n本腕バンディット問題とは

聞こえだけだとなにやらとっても難しそうですが
やる問題としてはいたって簡単です
腕が何本かついているスロットを用意します
腕を引くとスロットが回って，いくらかの利益（報酬）がもらえます
どの腕を引けばよいでしょうか？それを学習してください
という問題です

以下の図を参考に！
image.png

問題の定式化と強化学習への落とし込み

問題の定式化を行います　ここから数学の話がでてきますが，まだ簡単ですので大丈夫です（第四回ぐらいから急に来ます）
この問題で言う前回定義した強化学習の要素、エージェントとか環境とか報酬、価値は、以下の通りになります

エージェント

スロットマシンを引くロボット？というか引く人

行動

どの腕を引くか
（行動$a$）とします

環境

この問題においては特に考えなくて大丈夫です

状態

この問題においては特に考えなくて大丈夫です
腕を引くことで状態は変化しません

報酬

スロットマシンを引いたことで得られる利益です
今回は，報酬がガウス分布（正規分布です）で表されるとしています
よって，報酬の真値を$Q(a)$とした場合，実際に得られる報酬は分散1，平均$Q^{*}(a)$に従うものになりますね*

図のイメージ
この場合はスロットが5本の腕を持つとしています
image.png

価値

この問題においては推定される報酬になります
推定される報酬とは・・・
普通に考えたら何回か試してみてその平均をとりますよね
それで一番確率が高そうなやつを選ぶと思います
それです
それを標本化平均法といいます
数学チックに書くと
$t$番目のプレイで，ある行動$a$を$k$回とったときの価値の推定（この腕をひくことの価値）を

Q_t(a)=\frac{r_1 + r_2 + ... + r_k}{k}

と表します
t回プレーして（スロットの腕を引いた合計数）で，そのうちあるスロットを引いたのがk回だったら，k個分データがあるので，平均をとれば推定できそうです．
しかも行動する回数が増えれば増えるほど，真値に収束します（大数の法則ですね）

ちなみにプログラムに実装するときは
これだと目盛り食いすぎるので
$r_{k+1}$これをその時に得た報酬とすると

Q_{k+1} = Q_k + \frac{1}{k + 1} [r_{k+1}-Q_k]

で更新しましょう！
ちなみにこれはそんなに難しい式変換ではなく，要は更新分が平均にどう加算されるかをみているだけです

難しい点

さて，さっき平均をとって推定するといいました
あれ？何回試すの？本気でプレーするタイミングはいつになるの？
という疑問が湧いてきます

つまり

何回データをとって，何回本気でプレーするんですかというわけです．
さらに詳しくいいます
このゲーム，この腕きっと良いっていって引くんですけど

  • ずっとこれがいいって思った腕を本気で引き続けて，確率が正しい値に収束しても，実は他のが高い場合がある
  • かといってずっとあちこち浮気して引きまくってデータを集めてたら終わりが見えない

というわけです

ここで出てくるキーワードが貪欲法と，知識利用と探索になります

まず貪欲法です
これは，その名の通り，これだって思う腕を本気で引きまくる方法です
つまり，推定される価値が最も大きい腕を引き続けます
これは自分が知っている知識を利用し続けるので，知識利用になりますね！

しかし，これだけでは進化しません
なので，あるタイミングでデータを集めにいきます
これが探索になります！

この探索をランダムでやるのが，$\epsilon$-貪欲法になります！
大体10%ぐらいでデータ取りに行きます．その時の気分ですね

ただ，この手法，見た目普通なのに，かなり強力で，今でも使用されることもあります
人間っぽい学習方法だからかもしれませんね

再び問題設定

ではなんとなくできそうなので具体的にこの問題を解きます
ここで注意なのはスロットマシンも確率的なので，2000個のスロットマシンの真値は，平均0分散1のガウス分布から， 行動$a$の報酬の真値$Q*(a)$ を生成します．
なので！

  • 行動選択によって得られる報酬も確率分布を利用
  • そもそもの真値も確率分布を利用

になっていることにご注意ください

まず，確率を考えるので，このスロットマシンを2000個用意します笑
普通のパチンコ屋って何台あるのでしょうか笑
（教科書の問題設定なので許してください）
そして，それぞれのスロットの行動$a$に対する報酬を$Q^*(a)$とします

なので例えば，ある腕適当にを引くってなったら2000個おらって引きます
それで行動を推定していくというわけですね！

ここで注意点は，そのスロットマシンそれぞれで，引く腕は異なります
なのでここでいう行動aは，配列的になっています
マシン1では，腕1を引いて，マシン2では，腕4をひいて．．．．ってなります
しかもそれぞれスロットマシンで貪欲か探索かを考えて
吟味するので，ここは勘違いしないようにしてください！！

image.png

プログラム

プログラム書きます

  • 貪欲法
  • $\epsilon$-貪欲法
    を比較します
    まず乱数生成（numpyの使います）
    これは正規分布です！注意！

ちなみに補足ですが
90%の確率で選ぶとかをやりたいときは
1-10の数字で，その一様分布！で乱数発生させて，1-9でたら大きい方，10なら小さい方みたいに選ぶ作戦がいいかもです

参考です！


# bunpu.py
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# グラフ作成
fig = plt.figure()

# axis
itiyo_ax = fig.add_subplot(131)
seiki_ax = fig.add_subplot(132)
coins_ax = fig.add_subplot(133)

figures = [itiyo_ax, seiki_ax, coins_ax]

# 一様分布（どれも等確率です）
y_1 = np.random.rand(1000)

# ヒストグラムを書きます
img = itiyo_ax.hist(y_1, bins=10, ec='black')

# 正規分布
y_2 = np.random.randn(1000)

# ヒストグラムを書きます
img = seiki_ax.hist(y_2, bins=20, ec='black')

# 10パーセントで裏，と90パーセントで表の出る確率
count_omote = 0
count_ura = 0

for i in range(1000):#1000回試行します
    temp = np.random.randint(1, 11)
    print(temp)
    if temp > 9:
        count_ura += 1
    else:
        count_omote += 1

print('Omote = {0}'.format(count_omote/1000))
print('Ura = {0}'.format(count_ura/1000))

img = coins_ax.bar([1, 0], [count_omote, count_ura], ec='black')

plt.tight_layout()
plt.show()

Figure_1.png

左から

  • 一様分布
  • 正規分布
  • 90％で表が出るコインを1000回なげたときの結果

です
うまくいってますね！

では，いよいよプログラムです
numpyはrandomを使いましょう！

  1. まず，真値の報酬を作成します
  2. 続いて初期の報酬推定値をあたえます、今回は0にしてます
  3. どの腕を引くべきか考えます
  4. ゲームをやって、得られた報酬をもとに報酬推定値を更新します

# n_bandit.py
import sys
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

class Epsilon_greedy():
    def __init__(self, rate):
        self.random_rate = rate
        self.greedy_rate = 1 - rate

class Greedy():
    def __init__(self):
        self.random_rate = 0
        self.greedy_rate = 1

class Bandit():
    def __init__(self, method_type, bandit_num, arms):
        # パラメータ
        self.method = method_type
        self.arms = arms
        self.bandit_num = bandit_num

        # 各行動に対する報酬の真値
        self.Q_true = np.random.randn(self.bandit_num, self.arms)

        # 推定報酬
        self.Q_esti = np.array([[0.0 for i in range(self.arms)] for j in range(self.bandit_num)])
        self.Q_times = np.array([[0 for i in range(self.arms)] for j in range(self.bandit_num)]) # そのアームを何回引いたか

        # 記録用
        self.sum_rewards = []

    def play(self):# 腕を引きます
        a = self.decide_arm()
        # 行動aが取られた場合の報酬
        reward = []
        for i in range(self.bandit_num):
            reward.append(np.random.normal(self.Q_true[i, a[i]], 1))
        
        sum_reward = sum(reward)/self.bandit_num
        
        self.sum_rewards.append(sum_reward) # 報酬の記録
        self.update_estimate(a, reward)

        return self.sum_rewards

    def decide_arm(self):# どの腕引くか決めます
        a = []
        # 貪欲か貪欲じゃないかの選択
        for i in range(self.bandit_num):#各マシンで吟味します
            temp = np.random.rand() * 10
            # print(temp)
            if temp > 10 * self.method.greedy_rate:
                # 探索！（ランダムに選びます）
                a.append(np.random.randint(0, 10))
            else:
                # 貪欲！
                a.append(np.argmax(self.Q_esti[i]))
        
        return a

    def update_estimate(self, a, reward): # 推定値を更新します！
        for i in range(self.bandit_num):
            self.Q_times[i, a[i]] += 1
            self.Q_esti[i, a[i]] = self.Q_esti[i, a[i]] + (1/self.Q_times[i, a[i]])*(reward[i] - self.Q_esti[i, a[i]])


if __name__ == '__main__':
    greedy = Greedy()
    epsilon_greedy_1 = Epsilon_greedy(0.01)
    epsilon_greedy_2 = Epsilon_greedy(0.1)
    
    game_1 = Bandit(greedy, 2000, 10)
    game_2_1 = Bandit(epsilon_greedy_1, 2000, 10)
    game_2_2 = Bandit(epsilon_greedy_2, 2000, 10)

    playtimes = 1000

    for i in range(playtimes):
        rewards_1 = game_1.play()
        rewards_2_1 = game_2_1.play()
        rewards_2_2 = game_2_2.play()

    plt.plot(range(1000), rewards_1, 'k', label='greedy')
    plt.plot(range(1000), rewards_2_1, 'r', label='epsilon=0.01')
    plt.plot(range(1000), rewards_2_2, 'b', label='epsilon=0.1')
    plt.xlabel('play times')
    plt.ylabel('reward')
    plt.grid(True)
    plt.show()

答えです！
教科書と同じですね！
表示してるのは，平均報酬です

Figure_2.png

つまりこれ，一定でランダムにした方がいいんです
ただ，これ回数ふやすと，イプシロンを小さくしたほうがゆくゆくは大きくなります
下図をみてみてください
ただ，この問題での理想値である，約1.55にはまだ遠いですね

Figure_3.png

ここでいろいろな工夫が考えられます

  • イプシロンの値を変化させる
    • 最初は大きくして，後から小さくするとか
  • 初期推定を今は0にしてますが（プログラム参考），3とかにして，おけば，必ず一回はすべてを引くことになるので，greedyでも性能が上がるとか

ぜひトライしてみてください

しかもこんなことも考えられます
それは報酬が時間で変化することです
なので，そういう場合は直近の報酬が重くなるように更新します（加重平均）

この後教科書には
さまざまな手法が提案されていますが，そこまで本質的には重要でないので飛ばします

結論

イプシロングリーディー法をプログラムで書いてみました！
探索と知識利用のバランスがとっても重要ということです！

また，今回は行動によって状態は変化しませんでしたが，次回からは変化します！
次回は本格的に強化学習の式を書いていきます！

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