スクリュー理論㊹ Plücker座標

Last updated at 2026-07-17Posted at 2026-07-17

　はじめまして、りょーつといいます。高専出身の博士課程1年生です。研究の専門は力学や機構学で、Qiitaでは主に制御工学や数学に関する記事を書いています。本稿はスクリュー理論の解説(布教)をする44個目の記事です。前回までの記事は以下のリンクを参照してください。

　スクリュー理論は剛体の運動を記述する方法で、ロボット工学などでよく使われています。日本の高専や大学ではDH法を使った記述を学ぶことが多いですが、国際的にはスクリュー理論を使った記述が一般的となってきているようです。スクリュー理論を扱う日本語の文献は少ないので、この記事が誰かの助けになればいいなと思います。

1. はじめに

　今回は，古典的なスクリュー理論の起源ともなっている線幾何学において重要な概念となる「Plücker座標」について解説します．スクリュー理論にはツイストやレンチなど，回転軸っぽい概念がたくさん登場します．ロボティクスと融合してからはLie群を用いた表記が一般的となりましたが，スクリュー理論が誕生した当初は直線に注目した幾何学分野である「線幾何学」を用いた表記が一般的でした．本稿では，この線幾何学の最重要概念であるPlücker座標について解説します．概念の説明になるので，事前知識などは特に必要ありません．

2. 直線の方程式

　3次元空間の中に存在する直線を数式で表現するにはどうすればよいでしょうか？多くの人は直線の方向ベクトル$\boldsymbol{a}$と直線状のある点$\boldsymbol{b}$，そして任意の実数$t$を用いて，直線状の任意の点$\boldsymbol{r}(t)$を以下のように表記すると思います．

\boldsymbol{r}(t)
=
t \ \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}
\tag{1}

図で表すと以下のような形になりますね．

図1　直線上の点を表すベクトル方程式

美しいですね．このままでも十分に使えそうなのですが，線幾何学やスクリュー理論では少し物足りません．それは(1)式が「直線上に存在する任意の点」を表現する式だからです．

スクリュー理論ではヤコビアンを計算するときにスクリューのアジョイント変換を行いました．これは順運動学(ロボットの関節角度変化)によってどのようにスクリューが変化するのかを考えていたんですね～
このようにスクリュー理論では「直線上の点ではなく，直線という存在そのもの」に焦点を当てる必要があります．

そこで登場するのが後述するPlücker座標です．Plücker座標は「直線そのもの」を座標表現したものになります．Plücker座標を使うと，点と同じようなノリで直線を扱うことができるようになります．($\boldsymbol{p} = (x,y)$みたいな感じ)

3. Plücker座標

　Plücker座標では，ツイストやレンチと同様に直線を6次元ベクトルを用いて表現します．具体的には直線の方向を表す単位ベクトルと，その直線を中心とした渦状のベクトル場を考えた時，原点に発生する速度ベクトルの2つを組み合わせて表現します．

定義だけ聞くと完全にツイストと同じ概念なのですが，これらは別々に発見されているという点が面白いですよね．

　例えば図2に示すような直線は，$(\boldsymbol{\omega} : \boldsymbol{v})$のように表すことができます．

　図2　Plücker座標による直線の表現

　このような座標表現と(1)式で表される直線の方程式の変換について考えてみましょう．ベクトル$\boldsymbol{a}$と$\boldsymbol{b}$から単位方向ベクトル$\boldsymbol{\omega}$と速度$\boldsymbol{v}$を計算してみるイメージです．

まず直線の単位方向ベクトル$\boldsymbol{\omega}$は，直線の方向ベクトル$\boldsymbol{a}$を正規化したものになります．

\boldsymbol{\omega}
=
\frac{\boldsymbol{a}}{|| \boldsymbol{a} ||}
\tag{2}

これは直感的ですよね．
　次に速度$\boldsymbol{v}$を計算します．一言でいうと回転接速度の計算です．角速度と位置ベクトルのベクトル積で計算できます．ただし注意が必要なのは，ベクトル$\boldsymbol{b}$は原点からみた直線の位置を意味します．
一方で，速度$\boldsymbol{v}$の計算に必要な位置ベクトルは直線からみた原点の位置なので，$-\boldsymbol{b}$が必要です．

　これらをまとめると，速度$\boldsymbol{v}$は以下のように計算できます．

\boldsymbol{v}
=
\boldsymbol{\omega}
\times
(
-
\boldsymbol{b}
)
=
\boldsymbol{b}
\times
\boldsymbol{\omega}
=
\frac{
\boldsymbol{b}
\times
\boldsymbol{a}
}{|| \boldsymbol{a} ||}
\tag{3}

このようにして直線を座標表現したものがPlücker座標であり，古典的なスクリュー理論ではよく用いられていました．
このようにして直線が自然な6次元ベクトルとして与えられ，ツイストやレンチが線幾何学を使って解析できるんですね～

4. おわりに

　今週は，古典スクリュー理論を形成した線幾何学の重要概念であるPlücker座標について紹介しました．直線を直接表現するための座標系を作ってしまおう！という発想がとても面白いですよね．
　今ではLie群を用いて体系化されたスクリュー理論ですが，体系化される前のゴリゴリ線幾何学のスクリュー理論についても少しずつ学びながら紹介していけたらいいなと考えています．
　今週も最後まで読んでいただき，ありがとうございました！！

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スクリュー理論㊹ Plücker座標

目次

1. はじめに

2. 直線の方程式

3. Plücker座標

4. おわりに