スクリュー理論㊸操作力楕円体

Last updated at 2026-03-16Posted at 2026-03-14

　はじめまして、りょーつといいます。高専出身の大学院2年生です。研究の専門は力学や機構学で、Qiitaでは主に制御工学や数学に関する記事を書いています。本稿はスクリュー理論の解説(布教)をする41個目の記事です。前回までの記事は以下のリンクを参照してください。

　スクリュー理論は剛体の運動を記述する方法で、ロボット工学などでよく使われています。日本の高専や大学ではDH法を使った記述を学ぶことが多いですが、国際的にはスクリュー理論を使った記述が一般的となってきているようです。スクリュー理論を扱う日本語の文献は少ないので、この記事が誰かの助けになればいいなと思います。

1. はじめに

　今回は，「マニピュレータの各コンフィギュレーションにおける力の出しやすさ」を定量化する，力楕円体について紹介します．力楕円体はヤコビアン$J$を用いたトルク$\boldsymbol{\tau}$からレンチ$\boldsymbol{\mathcal{F}}$の広がりを可視化するものになります．力楕円体の各軸はレンチ$\boldsymbol{\mathcal{F}}$の各成分，すなわちマニピュレータが出力可能な力やモーメントに対応しており，力楕円体が広がる方向に大きな力やトルクが出力できることを意味しています．可操作性楕円体に似た概念として抑えておくと幸せになれます．
　大学の一般教養程度の線形代数の知識や可操作性楕円体の内容を知っているとスムーズに理解できると思います．

2. 可操作性楕円体の復習

　力楕円体はほとんど可操作性楕円体と同じ概念です．そのため，可操作性楕円体の内容を熟知していればびっくりするほど簡単に理解できます．そのため，少し冗長ですが，前回の記事で紹介した可操作性楕円体を簡単に復習しておきます．

　可操作性楕円体は各関節角度$\dot{\boldsymbol{\theta}}$をヤコビアン$J$によって変換した際に得られるツイスト$\boldsymbol{\nu}$の広がりを表現する楕円体です．楕円体は以下の数式で定義されます．

\boldsymbol{\nu}^T(J^{-T}J^{-1})\boldsymbol{\nu}
=
1
\tag{1}

ここで各関節角度$\dot{\boldsymbol{\theta}}$とツイスト$\boldsymbol{\nu}$の間には

\boldsymbol{\nu}
=
J
\dot{\boldsymbol{\theta}}
\tag{2}

の関係があります．

　ツイストの各成分は，関節角速度$\dot{\boldsymbol{\theta}}$が大きくなるほど大きくなるので，うまく制約条件を課す必要があります．(1)式の右辺が"1"になっているのは，以下の制約条件を加えたことを意味しています．

||\dot{\boldsymbol{\theta}}||
=
1

\therefore
||\dot{\boldsymbol{\theta}}||^2
=
\dot{\boldsymbol{\theta}}^T
\dot{\boldsymbol{\theta}}
=
1
\tag{3}

　証明は省略しますが，(1)式の左辺にある$J^{-T}J^{-1}$は正定値対称行列なので，(1)式は楕円体を描きます．そしてこの楕円体が冒頭でも述べた通り可操作性楕円体となります．

3. 力楕円体の定義

力楕円体は各関節のトルク$\tau_1, \tau2, \cdots, \tau_6$をまとめたベクトル$\boldsymbol{\tau}$をヤコビアン$J$によって変換した際に得られるレンチ$\boldsymbol{\mathcal{F}}$の広がりを表現する楕円体です．先に結論を述べておくと，楕円体は以下の数式で定義されます．

\boldsymbol{\mathcal{F}}^T(J J^{T})\boldsymbol{\mathcal{F}}
=
1
\tag{4}

まずは$J J^T$が正定値対称行列であることを示しておきましょう．全体の転置を取ります．

(J J^T)^T
=
(J^T)^T (J)^T
=
J J^T
\tag{5}

したがって，転置を取る前後で同じ行列が得られるので，$J J^T$は対称行列です．
　また，任意の非零実数ベクトル$\boldsymbol{x}$について，Jが正則ならば

\boldsymbol{x}^T(J J^T)\boldsymbol{x}
=
(\boldsymbol{x}^T J) (J^T \boldsymbol{x})
=
(J^T \boldsymbol{x})^T (J^T \boldsymbol{x})
=
||J^T \boldsymbol{x}||^2
>
0
\tag{6}

なので正定値行列です．
　以上より$J J^T$は正定値対称行列となります．

　では(4)式の導出をしていきましょう．以前の記事の内容から，トルク$\boldsymbol{\tau}$とレンチ$\boldsymbol{\mathcal{F}}$の間には以下の関係が知られています．

\boldsymbol{\mathcal{F}}
=
J^{-T}
\boldsymbol{\tau}
\tag{7}

(7)式は静力学の有名な式です．(7)式から逆静力学を解くと以下のようになります．

\boldsymbol{\tau}
=
J^T
\boldsymbol{\mathcal{F}}
\tag{8}

したがって，トルク$\boldsymbol{\tau}$のノルムの2乗は以下のように計算できますね．

||\boldsymbol{\tau}||^2
=
\boldsymbol{\tau}^T \boldsymbol{\tau}
=
(J^T \boldsymbol{\mathcal{F}})^T (J^T \boldsymbol{\mathcal{F}})
=
\boldsymbol{\mathcal{F}} ^T (J J^T)\boldsymbol{\mathcal{F}}
\tag{9}

可操作性楕円体において，関節角速度$\dot{\boldsymbol{\theta}}$に制約をかけたのと同様に，トルク$\boldsymbol{\tau}$に対して以下のように制約をかけてやると(4)式が得られます．

\therefore
||\boldsymbol{\tau}||^2
=
\boldsymbol{\tau}^T
\boldsymbol{\tau}
=
1
\tag{10}

つまり，力楕円体は，ある大きさの関節トルク$\boldsymbol{\tau}$によって出力されるレンチの成分の分布を可視化したものと考えられます．まさに可操作性楕円体の力バージョンですね．

4. おわりに

　今週は力楕円体について解説しました．元になる写像がレンチ$\boldsymbol{\mathcal{F}}$とトルク$\boldsymbol{\tau}$の関係に置き換わるだけで，可操作性楕円体と全く同じように導出できます．そのため非常に分かりやすかったんじゃないかなと思います．
　次回は各楕円体の具体例について紹介できたらいいなと考えています．また，ツイスト$\boldsymbol{\nu}$とレンチ$\boldsymbol{\mathcal{F}}$の双対性についてもどこかで触れられたらいいなと思っています．
　今週も最後まで読んでいただき，ありがとうございました！

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スクリュー理論㊸ 操作力楕円体

目次

1. はじめに

2. 可操作性楕円体の復習

3. 力楕円体の定義

4. おわりに

スクリュー理論㊸操作力楕円体