スクリュー理論㊶正定値行列と楕円体

Last updated at 2026-03-06Posted at 2026-03-01

　はじめまして、りょーつといいます。高専出身の大学院2年生です。研究の専門は力学や機構学で、Qiitaでは主に制御工学や数学に関する記事を書いています。本稿はスクリュー理論の解説(布教)をする41個目の記事です。前回までの記事は以下のリンクを参照してください。

　スクリュー理論は剛体の運動を記述する方法で、ロボット工学などでよく使われています。日本の高専や大学ではDH法を使った記述を学ぶことが多いですが、国際的にはスクリュー理論を使った記述が一般的となってきているようです。スクリュー理論を扱う日本語の文献は少ないので、この記事が誰かの助けになればいいなと思います。

1. はじめに

今回は，正定値対称行列を用いて描かれる楕円体について解説します．これは，今後の記事に登場する「可操作性楕円体」や「力楕円体」に関わる重要な内容です．可操作性楕円体はヤコビアン$J$を用いた以下の写像による，ツイスト$\boldsymbol{\nu}$の広がり，を可視化するものになります．

\boldsymbol{\nu}
=
J
\boldsymbol{\dot{\theta}}
\tag{1}

可操作性楕円体自体の説明は次回の記事にまかせますが，本稿に登場する数学ツールを使い倒すことになるのでしっかりと読んでおいていただけると嬉しいです．行列の正定性や固有値・固有ベクトルなど，線形代数の講義に出てきた概念が必要になります．2章でフワッとした復習をするつもりです．工学部の数学の講義で既に扱っている内容かもしれません．

2. 正定値行列

　本章では，正定値行列の特性について復習します．そのために，まずは固有値・固有ベクトルの知識が必要となります．ある行列$A$とベクトル$\boldsymbol{v}$($\neq \boldsymbol{0}$)，スカラー量$\lambda$を用いて以下の関係式が成り立つ際，スカラー量$\lambda$を固有値，ベクトル$\boldsymbol{v}$を固有ベクトルと呼びます．

A
\boldsymbol{v}
=
\lambda
\boldsymbol{v}
\tag{2}

行列$A$と固有ベクトル$\boldsymbol{v}$はペアで考えるものであり，行列$A$による線形変換で，向きが変化しないベクトル$\boldsymbol{v}$の集合を固有空間と言ったりします．

　固有値・固有ベクトルについてはいろんな性質がありますが，本記事で扱う重要な内容についてのみまとめていこうと思います．まずは対称行列$B=B^T$の固有ベクトルについて考えてみましょう．対称行列$B$の固有値を$\lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_n$とします．そしてそれらに対応する固有ベクトルを$\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_n$とします．このとき，$\lambda_i \neq \lambda_j$であるとき，$\boldsymbol{v}_i \perp \boldsymbol{v}_j$となることが知られています．証明しておきましょう．
固有値・固有ベクトルの定義より，以下が成立します．

B
\boldsymbol{v}_i
=
\lambda_i
\boldsymbol{v}_i
\tag{3}

B
\boldsymbol{v}_j
=
\lambda_j
\boldsymbol{v}_j
\tag{4}

対称行列であることに注意して，(3)式の両辺の転置をとると以下の関係式が得られます．

{\boldsymbol{v}_i}^T
B^T
=
{\boldsymbol{v}_i}^T
B
=
\lambda_i
{\boldsymbol{v}_i}^T
\tag{5}

最後に(5)式の両辺に，右から固有ベクトル${\boldsymbol{v}_j}$を掛けます．すると(4)式の定義より以下の関係が得られます．

{\boldsymbol{v}_i}^T
B
\boldsymbol{v}_j
=
\lambda_i
{\boldsymbol{v}_i}^T
\boldsymbol{v}_i

\therefore
\lambda_j
{\boldsymbol{v}_i}^T
\boldsymbol{v}_j
=
\lambda_i
{\boldsymbol{v}_i}^T
\boldsymbol{v}_i
\tag{6}

ここで，仮定より$\lambda_i \neq \lambda_j$であるため，(6)式が成立するためには${\boldsymbol{v}_i}^T \boldsymbol{v}_j = 0$すなわち$\boldsymbol{v}_i \perp \boldsymbol{v}_j$であることが求められます．

　また，正定値行列$C$の固有値は全て正の値を取ることが知られています．そもそも正定値行列$C$とはなんぞや？ってなるかと思いますが，正定値行列$C$は任意の実数ベクトル$\boldsymbol{x}$($\neq \boldsymbol{0}$)について以下がなりたつような行列を指します．制御工学とかでよく登場するアレです．

{\boldsymbol{x}}^T
C
\boldsymbol{x}
>
0
\tag{7}

これも簡単に証明できます．正定値行列$C$の固有値を$\lambda$，固有ベクトルを$\boldsymbol{v}$としたとき，いつものごとく以下の関係がなりたちます．

C
\boldsymbol{v}
=
\lambda
\boldsymbol{v}
\tag{8}

$\boldsymbol{x}$は任意の実数ベクトルであるため，$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{v}$として(8)式を(7)式に代入すると以下の関係が得られます．

{\boldsymbol{v}}^T
C
\boldsymbol{v}
=
\lambda {\boldsymbol{v}}^T \boldsymbol{v}
>
0
\tag{9}

ここで，固有ベクトルが定義より零ベクトルではないことから，ベクトルのノルムの2乗について${\boldsymbol{v}}^T \boldsymbol{v}>0$がなりたちます．したがって，(9)式の両辺から${\boldsymbol{v}}^T \boldsymbol{v}$を割ることで正定値行列$C$について$\lambda>0$が証明できます．

なお，正定値行列に似た概念として半正定値行列$D$というものが存在しており，こちらは以下の式で定義されます．

{\boldsymbol{x}}^T
D
\boldsymbol{x}
\geqq
0
\tag{10}

このとき，$D$の固有値$\lambda$は0以上の値になります．証明の流れは(9)式と同じです．

　本章では対称行列$B$と半正定値行列$D$について紹介しましたが，これら2つの特性を同時にみたす行列$X$について考えてみましょう．実は行列$X$は以下の計算により，任意の実数行列$J$を用いて簡単に構成することができます！

X
=
J^T
J
\tag{11}

本当なのか確かめてみましょう．まずは対称行列かどうかを確認します．(11)式の両辺の転置を取ると

X^T
=
\big(
J^T
J
\big)^T
=
J^T
\big(
J^T
\big)^T
=
J^T J
=
X

\therefore
X^T
=
X
\tag{12}

たしかに対称行列ですね．

　次に半正定値性について確かめてみましょう．(10)式の定義にあてはめてみます．すると，ベクトルのユークリッドノルムの定義より，半正定値性を示すことができます！

{\boldsymbol{x}}^T
X
\boldsymbol{x}
=
{\boldsymbol{x}}^T
\big(
J^T J
\big)
\boldsymbol{x}
=
\big(
{\boldsymbol{x}}^T
J^T
\big)
\big(
J
\boldsymbol{x}
\big)
=
\big(
J
\boldsymbol{x}
\big)^T
\big(
J
\boldsymbol{x}
\big)
=
\| J
\boldsymbol{x} \| ^2
\geqq
0

\therefore
{\boldsymbol{x}}^T
X
\boldsymbol{x}
\geqq
0
\tag{13}

たしかに$X$は半正定値行列ですね！

最後に逆行列の固有値・固有ベクトルについて考えたいと思います．ある行列$A$の固有値を$\lambda$，固有ベクトルを$\boldsymbol{v}$としたとき，その逆行列$A^{-1}$の固有値は$\lambda^{-1}$，固有ベクトルは$\boldsymbol{v}$になることが知られています．
　この事実は，ベクトル$\boldsymbol{v}$に対する行列$A$による線形変換が，$\lambda$によるスケール倍であることの逆変換を考えると自然に導出できます．数式で示すのであれば，(2)式の両辺に，左から逆行列$A^{-1}$をかけることで同様の結果が得られます．

A^{-1} A \boldsymbol{v}
=
\boldsymbol{v}
=
\lambda
A^{-1}
\boldsymbol{v}

\therefore
A^{-1} \boldsymbol{v}
=
\lambda^{-1}
\boldsymbol{v} \ \ \ \  (\lambda \neq 0)
\tag{14}

これにより準備は整いました．

3. 正規直交行列の対角化と楕円体

　本章では，2章で復習した基礎をもとに，正規直交行列の対角化と楕円体の関係についてまとめます．正規直交行列$G$は，互いに直交する単位ベクトル$\boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2, \cdots, \boldsymbol{u}_n$を用いて以下のように定義できます．回転行列みたいですね．

G
=
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{u}_1 &
\boldsymbol{u}_2 &
\cdots &
\boldsymbol{u}_n \\
\end{bmatrix}
\tag{15}

\boldsymbol{u}_i
\cdot
\boldsymbol{u}_j
=
\delta_{ij}
\tag{16}

$\delta_{ij}$はクロネッカーのデルタです．上記のように定義された，正規直交行列$G$は以下のような特性を持ちます．

G^{-1}
=
G^T
\tag{17}

(17)式も確かめておきましょう．

　まずは逆行列の定義より，以下がなりたちます．

G^{-1} G
=
I
\tag{18}

なお，$I$を単位行列としました．次に行列の積$G^T G$を計算しておきましょう．(15)式に注意すると

G^T G
=
\begin{bmatrix}
{\boldsymbol{u}_1}^T \\
{\boldsymbol{u}_2}^T \\
\vdots \\
{\boldsymbol{u}_n}^T \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{u}_1 &
\boldsymbol{u}_2 &
\cdots &
\boldsymbol{u}_n \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{u}_1 & \boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{u}_2 & \cdots & \boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{u}_n \\
\boldsymbol{u}_2 \cdot \boldsymbol{u}_1 & \boldsymbol{u}_2 \cdot \boldsymbol{u}_2 & \cdots & \boldsymbol{u}_2 \cdot \boldsymbol{u}_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\boldsymbol{u}_n \cdot \boldsymbol{u}_1 & \boldsymbol{u}_n \cdot \boldsymbol{u}_2 & \cdots & \boldsymbol{u}_n \cdot \boldsymbol{u}_n \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\delta_{11} & \delta_{12} & \cdots & \delta_{1n} \\
\delta_{21} & \delta_{22} & \cdots & \delta_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\delta_{n1} & \delta_{n2} & \cdots & \delta_{nn} \\
\end{bmatrix}

\therefore
G^T G
=
I
\tag{19}

(18)式と(19)式を統合すると，(17)式が得られますね．

G^{-1} G
=
G^T G
\ \
\rightarrow
\ \
G^{-1}
=
G^T
\tag{20}

正規直交行列は，互いに直交なベクトルが集めれば構成できるので，対称行列$B$の正規化された固有ベクトル$\hat{\boldsymbol{v}_1}, \hat{\boldsymbol{v}_2}, \cdots, \hat{\boldsymbol{v}_n}$を集めることでも構成できますよね．この性質をうまく使えば，対角化という操作を行うことが可能になります．

仮に行列$P$を以下のように定義してみましょう．

P
=
\begin{bmatrix}
\hat{\boldsymbol{v}_1} &
\hat{\boldsymbol{v}_2} &
\cdots &
\hat{\boldsymbol{v}_n} \\
\end{bmatrix}
\tag{21}

この行列$P$を使って$P^T B P$を計算し，対角行列を作る操作を対角化と言います．実際に計算してみましょう．行列$B$の固有値を$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$とします．

P^T B P
=
\begin{bmatrix}
\hat{\boldsymbol{v}_1}^T \\
\hat{\boldsymbol{v}_2}^T \\
\vdots \\
\hat{\boldsymbol{v}_n}^T \\
\end{bmatrix}
B
\begin{bmatrix}
\hat{\boldsymbol{v}_1} &
\hat{\boldsymbol{v}_2} &
\cdots &
\hat{\boldsymbol{v}_n} \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\hat{\boldsymbol{v}_1}^T \\
\hat{\boldsymbol{v}_2}^T \\
\vdots \\
\hat{\boldsymbol{v}_n}^T \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
B\hat{\boldsymbol{v}_1} &
B\hat{\boldsymbol{v}_2} &
\cdots &
B\hat{\boldsymbol{v}_n} \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\hat{\boldsymbol{v}_1}^T \\
\hat{\boldsymbol{v}_2}^T \\
\vdots \\
\hat{\boldsymbol{v}_n}^T \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\lambda_1 \hat{\boldsymbol{v}_1} &
\lambda_2 \hat{\boldsymbol{v}_2} &
\cdots &
\lambda_n \hat{\boldsymbol{v}_n} \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\lambda_1\boldsymbol{v}_1 \cdot \boldsymbol{v}_1 & \lambda_2\boldsymbol{v}_1 \cdot \boldsymbol{v}_2 & \cdots & \lambda_n\boldsymbol{v}_1 \cdot \boldsymbol{v}_n \\
\lambda_1\boldsymbol{v}_2 \cdot \boldsymbol{v}_1 & \lambda_2\boldsymbol{v}_2 \cdot \boldsymbol{v}_2 & \cdots & \lambda_n\boldsymbol{v}_2 \cdot \boldsymbol{v}_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda_1\boldsymbol{v}_n \cdot \boldsymbol{v}_1 & \lambda_2\boldsymbol{v}_n \cdot \boldsymbol{v}_2 & \cdots & \lambda_n\boldsymbol{v}_n \cdot \boldsymbol{v}_n \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\lambda_1 \delta_{11} & \lambda_2 \delta_{12} & \cdots & \lambda_n \delta_{1n} \\
\lambda_1 \delta_{21} & \lambda_2 \delta_{22} & \cdots & \lambda_n \delta_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda_1 \delta_{n1} & \lambda_2 \delta_{n2} & \cdots & \lambda_n \delta_{nn} \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n \\
\end{bmatrix}

\therefore
P^T B P
=
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n \\
\end{bmatrix}
\tag{22}

たしかに対角行列が得られますね．この性質を使って楕円を描いてみましょう．

　原点を中心とした楕円の方程式は，$n \times n$の正定値対称行列$X$と，任意の$n$次元実数ベクトル$\boldsymbol{x}$を用いて以下のように表されます．

{\boldsymbol{x}}^T X \boldsymbol{x}
=
1
\tag{23}

これだけだとなんのこっちゃか分かりませんよね．そこで，$X$が正定値対称行列であることをもとに，固有値$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$と，互いに直交する正規化された固有ベクトル$\hat{\boldsymbol{v}_1}, \hat{\boldsymbol{v}_2}, \cdots, \hat{\boldsymbol{v}_n}$を計算し，いろいろやってみます．まずは固有ベクトルで構成された以下の行列で表される基底を定義します．

Q
=
\begin{bmatrix}
\hat{\boldsymbol{v}_1} &
\hat{\boldsymbol{v}_2} &
\cdots &
\hat{\boldsymbol{v}_n} \\
\end{bmatrix}
\tag{24}

ここで，以下のような基底変換を行います．

\boldsymbol{x}
=
Q
\boldsymbol{y}

\therefore
\boldsymbol{y}
=
Q^{-1}
\boldsymbol{x}
=
Q^T
\boldsymbol{x}
\tag{25}

(25)式を(23)式に代入してみましょう．このとき，(22)式の対角化より以下のように式が簡略化されます．

{\boldsymbol{x}}^T X \boldsymbol{x}
=
{\big( Q\boldsymbol{y} \big)}^T 
X 
\big( Q \boldsymbol{y} \big)
=
{\boldsymbol{y}}^T Q^T X Q \boldsymbol{y}
=
{\boldsymbol{y}}^T
\big(  Q^T X Q \big)
\boldsymbol{y}
=
1

\therefore
{\boldsymbol{y}}^T
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n \\
\end{bmatrix}
\boldsymbol{y}
=
1
\tag{26}

すごくスッキリしましたね．ここからは(26)式を成分表示してみたいと思います．ベクトル$\boldsymbol{y}$を以下のように成分表示しましょう．

\boldsymbol{y}
=
\begin{bmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n \\
\end{bmatrix}
\tag{27}

この場合において(26)式を展開します．

{\boldsymbol{y}}^T
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n \\
\end{bmatrix}
\boldsymbol{y}
=
\begin{bmatrix}
y_1 & y_2 & \cdots & y_n \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
y_1 & y_2 & \cdots & y_n \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\lambda_1 y_1 \\
\lambda_2 y_2 \\
\vdots \\
\lambda_n y_n \\
\end{bmatrix}
=
\lambda_1 {y_1}^2
+
\lambda_2 {y_2}^2
+
\cdots
+
\lambda_n {y_n}^2
=
1

\therefore
\frac{y_1^2}{\lambda_1^{-1}}
+
\frac{y_2^2}{\lambda_2^{-1}}
+
\cdots
+
\frac{y_n^2}{\lambda_n^{-1}}
=
1
\tag{28}

するとこの(28)式って，どこかで見たことある形になりますよね．そうです，楕円の方程式

\frac{x^2}{a^2}
+
\frac{y^2}{b^2}
=
1
\tag{29}

を高次元に拡張したものとなります．
　(28)式のような形式で表される$n$次元の楕円を「$n$次元楕円体」と呼び，$n=2$のときに楕円，$n=3$のときに楕円体と呼ばれます．それぞれの場合について(28)式を書き下しておきましょう．それぞれに対応する図形も図示しておきました．

\frac{y_1^2}{\lambda_1^{-1}}
+
\frac{y_2^2}{\lambda_2^{-1}}
=
1
\tag{30}

図1　$n=2$の場合の楕円

\frac{y_1^2}{\lambda_1^{-1}}
+
\frac{y_2^2}{\lambda_2^{-1}}
+
\frac{y_3^2}{\lambda_3^{-1}}
=
1
\tag{31}

図2　$n=3$の場合の楕円体

(30)式の楕円の面積$S_2$は楕円の面積の公式より以下の式で表されます．

S_2
=
\pi \sqrt{\lambda_1^{-1}}\sqrt{\lambda_2^{-1}}
=
\frac{\pi}{\sqrt{\lambda_1 \lambda_2}}
\tag{32}

また，(31)式の楕円体の体積$S_3$は楕円体の体積の公式より以下の式で表されます．

S_3
=
\frac{4}{3}\pi \sqrt{\lambda_1^{-1}}\sqrt{\lambda_2^{-1}}\sqrt{\lambda_3^{-1}}
=
\frac{4\pi}{3\sqrt{\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3}}
\tag{33}

これらの関係を一般化すると，$n$次元楕円体の体積$S_n$は固有値の積の平方根に反比例することが分かります．行列式を用いて記述すると以下のようになります．

S_n
\propto
\frac{1}{\sqrt{\det{X}}}
\tag{34}

なおこの場合において，固有値の積が行列式で表されることは，直交行列の特性と対角化の特性を組み合わせることで，以下の手順により証明できます．

\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n
=
\begin{vmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n \\
\end{vmatrix}
=
\det{Q^T X Q}
=
(\det{Q^T}) (\det{X}) (\det{Q}) 
=
(\det{Q^{-1}}) (\det{X}) (\det{Q}) 
=
\bigg(
\frac{1}{\det{Q}}
\bigg)
(\det{X}) (\det{Q}) 
=
\det{X}

\therefore
\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n
=
\det{X}
\tag{35}

4. おわりに

　本章では，行列の固有値・固有ベクトルの基本的な特性の解説に加え，正定値対称行列を用いた高次元楕円体の数学的な記述方法についてまとめました．本記事で解説した楕円体は，マニピュレータの各姿勢における運動学的な制約や力学的な制約を可視化する概念である，「可操作性楕円体」や「力楕円体」の理解に不可欠となります．これらはマニピュレータの運動特性を図形的に理解する基本的な概念となるため，ロボット工学を直感で理解する際にとても役立つかと思います．

　次回の記事では，本記事で解説した数学的なツールを駆使して操作性楕円体の解説ができたらいいなと考えています．今週も最後まで読んでくださりありがとうございました！

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スクリュー理論㊶ 正定値行列と楕円体

目次

1. はじめに

2. 正定値行列

3. 正規直交行列の対角化と楕円体

4. おわりに

スクリュー理論㊶正定値行列と楕円体