スクリュー理論㊷可操作性楕円体

Last updated at 2026-03-07Posted at 2026-03-07

　はじめまして、りょーつといいます。高専出身の大学院2年生です。研究の専門は力学や機構学で、Qiitaでは主に制御工学や数学に関する記事を書いています。本稿はスクリュー理論の解説(布教)をする41個目の記事です。前回までの記事は以下のリンクを参照してください。

　スクリュー理論は剛体の運動を記述する方法で、ロボット工学などでよく使われています。日本の高専や大学ではDH法を使った記述を学ぶことが多いですが、国際的にはスクリュー理論を使った記述が一般的となってきているようです。スクリュー理論を扱う日本語の文献は少ないので、この記事が誰かの助けになればいいなと思います。

1. はじめに

今回は，マニピュレータの「動きやすさ」を定量化する，可操作性楕円体について紹介します．可操作性楕円体はヤコビアン$J$を用いた以下の写像による，ツイスト$\boldsymbol{\nu}$の広がり，を可視化するものになります．学会に行くと可操作性楕円体アンチの方がまあまあ観測されますが，理論として直感的に分かりやすく，知っておくと幸せになれるかなあと思います．

\boldsymbol{\nu}
=
J
\boldsymbol{\dot{\theta}}
\tag{1}

まずは第2章で必要な数学の知識をおさらいし，第3章で可操作性楕円体について紹介します．大学の一般教養程度の線形代数の知識があれば理解しやすいと思います．

2. 正定値対称行列と楕円体

まずは線形代数の知識を使って楕円体を描画する方法について復習します．まず，$n \times n$の正定値対称行列を$A$，任意の$n$次元実数ベクトルを$\boldsymbol{x}$とします．正定値対称行列$A$は定義より以下の2つの性質を満たします．

A^T
=
A
\tag{2}

\boldsymbol{x}^T
A
\boldsymbol{x}
>
0
\tag{3}

このとき，正定値対称行列$A$とベクトル$\boldsymbol{x}$により，$n$次元楕円体は以下の計算式により表現されます．

\boldsymbol{x}^T
A
\boldsymbol{x}
=
1
\tag{4}

(4)式が楕円体を表す理由(導出過程)や，どのような楕円体が描かれるのかに関しては，こちらの記事を参照ください．

3. 可操作性楕円体の定義

まず，マニピュレータの速度運動学について，ヤコビアン$J$が正方行列かつ正則な場合を考えます．このとき，逆行列$J^{-1}$が存在し，以下の逆速度運動学が成立します．

\dot{\boldsymbol{\theta}}
=
J^{-1}
\boldsymbol{\nu}
\tag{5}

ここで，$\dot{\boldsymbol{\theta}}$はマニピュレータの各関節の角速度$\dot{\theta_1}, \dot{\theta_2}, \cdots, \dot{\theta_6}$を1つのベクトルにまとめたもの，$\boldsymbol{\nu}$はツイストを表します．マニピュレータの関節角速度$\dot{\boldsymbol{\theta}}$のユークリッドノルムの2乗は以下のように計算できます．

||
\dot{\boldsymbol{\theta}}
||^2
=
\dot{\boldsymbol{\theta}}^T
\dot{\boldsymbol{\theta}}
=
(
J^{-1}
\boldsymbol{\nu}
)^T
(
J^{-1}
\boldsymbol{\nu}
)
=
\boldsymbol{\nu}^T
J^{-T}
J^{-1}
\boldsymbol{\nu}
\tag{6}

ここで，$J^{-T}J^{-1}$が正定値対称行列であることを示します．$B = J^{-T}J^{-1}$としたとき，

B^T
= 
(J^{-T}J^{-1})^T
=
(J^{-1})^T(J^{-T})^T
=
J^{-T}J^{-1}
=
B

\therefore
B^T
= 
B
\tag{7}

となり，$J^{-T}J^{-1}$が対称行列ということが分かります．またベクトル$\boldsymbol{x}$について，

\boldsymbol{x}^T(J^{-T}J^{-1})\boldsymbol{x}
=
(\boldsymbol{x}^T J^{-T}) (J^{-1}\boldsymbol{x})
=
(J^{-1}\boldsymbol{x})^T (J^{-1}\boldsymbol{x})
=
||
J^{-1}\boldsymbol{x}
||^2
>
0
\tag{8}

となるので，$J^{-T}J^{-1}$が正定値行列ということも分かります．以上のことから，$J^{-T}J^{-1}$が正定値対称行列であると分かります．

　ツイストの各成分は，関節角速度$\dot{\boldsymbol{\theta}}$が大きくなるほど大きくなります．つまり，マニピュレータの運動を解析するためには，各関節の角速度$\dot{\boldsymbol{\theta}}$に対して適切な制約を考える必要があります．たとえば，「$\dot{\boldsymbol{\theta}}$のノルムを1に制限する」などが挙げられます．数式で書くと以下のような感じです．

||\dot{\boldsymbol{\theta}}||
=
1

\therefore
||\dot{\boldsymbol{\theta}}||^2
=
\dot{\boldsymbol{\theta}}^T
\dot{\boldsymbol{\theta}}
=
1
\tag{9}

(9)式を(6)式に代入してみましょう．すると，(4)式と類似した楕円の方程式が得られます．

\boldsymbol{\nu}^T(J^{-T}J^{-1})\boldsymbol{\nu}
=
1
\tag{10}

ここで，楕円の広がりはツイスト$\boldsymbol{\nu}$に対応しており，楕円が大きければ大きいほど，マニピュレータは多様なツイスト$\boldsymbol{\nu}$の値を取ることができることを意味しています．

　ただし，可操作性楕円体は広がりしか検知しなかったり(楕円の各軸は傾いた方向を向く)，すべての関節入力を同列に扱ったりと，少しヤンキーな操作をするところがあるので，その点は使いづらさを感じるかもしれません．

　これと同じような概念として，力楕円体というものが存在します．これは各関節のトルク$\boldsymbol{\tau}$を制限したときに生じるレンチ$\boldsymbol{\mathcal{F}}$の範囲を示す楕円体となります．力楕円体については来週説明しようと思います．

4. おわりに

　今週の記事では，前回までの数学の知識を活かして，可操作性楕円体について紹介しました．来週の記事では可操作性楕円体の力バージョンにあたる力楕円体を紹介しようと思います．また，可操作性楕円体と力楕円体は，ツイスト$\boldsymbol{\nu}$とレンチ$\boldsymbol{\mathcal{F}}$の双対性を説明する際にとても便利な概念となります．
　少し抽象的ですが，入力を制限したときに出力がどのような広がりを見せるのか，という概念を解いたものとして，可操作性楕円体はとても面白い考え方だと思います．

　今週も最後まで読んでいただき，ありがとうございました！

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スクリュー理論㊷ 可操作性楕円体

目次

1. はじめに

2. 正定値対称行列と楕円体

3. 可操作性楕円体の定義

4. おわりに

スクリュー理論㊷可操作性楕円体