この特殊なハンバーガーメニューってどう作りますか？

うまいことこのへんのを組み合わせるとそれっぽく出来ると思います.
サンプル的には"Pure CSS Fullscreen Navigation Menu"が一番手っ取り早いかな.

ブラウザの機能 デベロッパーツール は活用されていますでしょうか？
デベロッパーツールでメニューボタンをクリックした後にどんなスタイルが適用されているか確認すれば、ある程度同じような動きを実装することができると思います。

背景の出現後に、文字が傾いて出てきて、振り子のように反動でポジションにつく

一例としてこちらの動きを実装してみました。
ほぼデベロッパーツールからスタイルをコピペしていくだけで、メニュー表示の動きを実装することができました。

See the Pen メニューの動き by yotty (@yotty) on CodePen.

• ークリックすると右上から、円形の背景が出てくる

と

の組み合わせでどうでしょう。

• ー文字ホバーで、1文字ずつ左から上に跳ねていく

はどうでしょう。