1.4梁要素
1.4.1 梁とは何か
梁とは、荷重を横方向に受け持つ部材です。
たとえば、床の重さやその上に載る物の重さは、まず梁が受け取り、そこから柱や壁へと伝えられます。
このとき梁は、ただ押されるだけでなく、途中でしなって曲がるように変形します。
つまり梁のいちばん大きな特徴は、曲げを受けながら荷重を支えることです。
身近な例では、本を載せた棚板がわかりやすいです。
棚板は両端で支えられていて、上に重さがかかると中央が少したわみます。
このような振る舞いをする部材が、梁です。
有限要素法で梁を表す梁要素も、このような曲げを受ける部材の性質を表現するための要素です。
そのため、棒要素よりも自由度が多く、たわみや回転を扱えるようになっています。
1.4.2 梁に働く軸力・せん断力・曲げモーメント
梁に荷重がかかると、梁の内部にはさまざまな力が生じます。
これらの力はまとめて断面力と呼ばれ、代表的なものが軸力、せん断力、曲げモーメントです。
梁を途中で仮に切ったと考えると、その断面に現れる内部の力として理解できます。
軸力は、梁の長さ方向に働く力です。
部材を引っ張るように働けば引張力になり、押し込むように働けば圧縮力になります。
つまり軸力は、梁を長手方向に伸ばしたり縮めたりする力です。
せん断力は、梁の断面を上下にずらそうとする力です。
梁に下向きの荷重がかかると、断面の左側と右側が互いにずれようとします。
そのずれに抵抗する内部の力がせん断力です。
曲げモーメントは、梁をたわませて曲げようとする作用です。
たとえば梁の中央に荷重をかけると、梁は下にしなるように変形します。
このとき梁の内部で生じる、曲がろうとする作用の大きさを表すものが曲げモーメントです。
この3つをイメージで分けると、軸力は伸び縮み、せん断力はずれ、曲げモーメントはしなりに対応します。
梁要素を考えるときは、特にせん断力と曲げモーメントがたわみに強く関わるため、棒要素よりも多くの変形を表せるようになっています。
梁要素では、これらの断面力のうち特に曲げモーメントとせん断力が重要になり、たわみや回転を表現するための自由度が必要になります。
表1.4.1 梁に働く軸力・せん断力・曲げモーメント
| 用語 | イメージ | 主な変形 |
|---|---|---|
| 軸力 | 引っ張る押し込む | 伸び縮み |
| せん断力 | 上下にずらす | ずれ |
| 曲げモーメント | しならせる | たわみ |
1.4.3 Abaqusの梁要素 B21～B33
Abaqusの梁要素には、平面内で用いるB21からB23と、空間内で用いるB31からB33があります。
B21からB23は2次元の梁要素で、B31からB33は3次元の梁要素です。
Abaqusの要素ライブラリでも、このように平面梁と空間梁に分けて整理されています。
B21とB31は2節点の線形梁要素。
B22とB32は3節点の二次梁要素。
B23とB33は2節点の三次梁要素。
つまり、数字が似ていても、節点数と補間次数が異なります。
さらに、B21、B22、B31、B32はせん断変形を考慮するTimoshenko梁要素です。
一方で、B23とB33はせん断変形を考慮しないEuler-Bernoulli梁要素です。
Abaqusの理論説明でも、線形要素と二次要素はTimoshenko梁、三次要素はEuler-Bernoulli梁として扱われています。
このため、B21やB31は基本的な梁モデルとして使いやすく、B22やB32はより滑らかな変形を表しやすい要素です。
また、B23やB33は細長い梁の曲げを高精度に表したい場合に向いています。
Abaqusの要素選択ガイドでも、せん断変形が重要ならTimoshenko梁を、細長い梁なら三次梁を検討する考え方が示されています。
表1.4.2 Abaqusの梁要素
| 要素名 | 次元 | 節点 | 特徴 |
|---|---|---|---|
| B21 | ２次元 | ２ | 線形Timoshenko梁 |
| B22 | ２次元 | ３ | 二次Timoshenko梁 |
| B23 | ２次元 | ２ | 三次Euler梁 |
| B31 | ３次元 | ２ | 線形Timoshenko梁 |
| B32 | ３次元 | ３ | 二次Timoshenko梁 |
| B33 | ３次元 | ２ | 三次Euler梁 |
1.4.4 Timoshenko梁
Timoshenko梁は、せん断変形を考慮した梁理論です。
Euler-Bernoulli梁が曲げ変形を中心に扱うのに対して、Timoshenko梁では断面のせん断によるずれも表現できます。
そのため、細長い梁だけでなく、比較的短い梁や厚みのある梁にも使いやすいモデルです。
1.4.5 Euler-Bernoulli梁
Euler-Bernoulli梁は、せん断変形を無視して曲げを表す梁理論です。
この理論では、変形後も断面は平面のままで、中立軸に垂直を保つと仮定します。
そのため、細長い梁のたわみを扱うときに適したモデルです。
1.4.6 B21/B22とB23などの使い分け
B21とB22は、せん断変形を考慮するTimoshenko梁要素です。
B21は2節点の1次要素、B22は3節点の2次要素であり、B21より高次の補間を用いて変形形状を表現します。
そのため、同じメッシュ条件で比較した場合に、より少ない要素数で変形形状を表現できる場合があります。
一方でB23は、せん断変形を無視するEuler-Bernoulli梁要素であり、細長い梁の解析に向いています。
そのため、B21/B22はせん断変形を考慮したい場合、B23はせん断変形を無視できる細長い梁を扱う場合に検討します。
表1.4.3 Abaqus梁要素の使い分け
| 要素名 | 梁理論 | 向いている場面 |
|---|---|---|
| B21 | Timoshenko | まずの基本選択 |
| B22 | Timoshenko | 精度を上げたい時 |
| B23 | Euler | 細長い梁の曲げ |
1.4.7 L/h（スレンダー比）との関係
B21とB22はTimoshenko梁要素、B23はEuler-Bernoulli梁要素です。
L/hは梁理論を選択する際の目安の一つです。
これらの値は厳密な境界値ではなく、せん断変形の影響、解析目的、必要な精度などを考慮して要素を選択します。
一般に、L/h が十分大きい細長い梁ではB23を使いやすく、L/h が小さい梁ではせん断変形を考慮できるB21やB22が適しています。
ここでいうスレンダー比 は、柱の座屈で用いられる細長比 とは異なります。本記事では、梁の長さと梁せい の比を梁の細長さの目安として扱います。
1.4.8 片持ち梁の解析および理論解との比較
Abaqusの梁要素を確認する基本例として、図1.4.1に示す先端に集中荷重を受ける片持ち梁を考えます。
長さ 1000 mm の梁の左端を完全固定し、右端に下向き 100 N の集中荷重を与えます。
材料はヤング率E= 200000 MPa の線形弾性体とし、断面は 20 mm × 20 mm の長方形断面とします。
このとき、断面積は
$A=bh=20×20= 400 mm²$
断面二次モーメントは
$I=\frac{bh^{3}}{12}=\frac{20×20^{3}}{12}=13333.3mm^{4}$
となります。
梁理論（理論解）による
先端たわみ$y=\frac{PL^{3}}{3EI}=\frac{100×1000^{3}}{3×2.0×10^{5}×13333.3}=12.5mm$
固定端曲げモーメント $PL=100×1000＝100000Nmm$
となります。
Abaqusでは、2次元平面梁要素 B21 を用いてモデル化し、左端を固定、右端節点に集中荷重を与えることで、梁要素の基本挙動を確認します。
なお、解析で使用する梁モデルは11節点10要素としました。
（節点番号、要素番号ともに固定端側から1としました。）
図1.4.1 今回使用する解析モデル
**ここからモデル定義データ
*HEADING
CANTILEVER BEAM
*PREPRINT, ECHO=YES, MODEL=YES, HISTORY=YES
**ECHO=YESは入力データのエコー
**節点の定義
*NODE,NSET=ENDS
1, 0.0, 0.0
2, 100.0, 0.0
3, 200.0, 0.0
4, 300.0, 0.0
5, 400.0, 0.0
6, 500.0, 0.0
7, 600.0, 0.0
8, 700.0, 0.0
9, 800.0, 0.0
10, 900.0, 0.0
11,1000.0, 0.0
**要素の定義
*ELEMENT,TYPE=B21,ELSET=BEAM
1, 1, 2
2, 2, 3
3, 3, 4
4, 4, 5
5, 5, 6
6, 6, 7
7, 7, 8
8, 8, 9
9, 9,10
10,10,11
**要素特性の定義
*BEAM SECTION,SECTION=RECTANGULAR,ELSET=BEAM,MATERIAL=STEEL
20.,20.
**材料データ
*MATERIAL,NAME=STEEL
*ELASTIC
2.00E5,0.3
**境界条件
**節点1を完全拘束する
*BOUNDARY
**並進をとめる(U1,U2)
1,1
1,2
**回転をとめる(UR3)
1,6
**ここから履歴データ
*STEP, PERTURBATION
*STATIC
**荷重の定義
**節点11にY方向下向きに100(N)の集中荷重を作用させる
*CLOAD
11,2,-100.
**要素変数のプリント出力
*EL PRINT
S11,E11
SF
**節点変数のプリント出力
*NODE PRINT,NSET=ENDS
U,RF
*OUTPUT, FIELD
**節点の出力について、.odbにU、CF、RF、RMのデータを送る
*NODE OUTPUT
U,CF,RF,RM
**要素の出力について、.odbに応力、ひずみ、せん断力、曲げモーメントのデータを送る
*ELEMENT OUTPUT
S,E,SF,SM
*END STEP
今回の解析で使用した入力データ
(1) 節点変位、回転、反力、反力モーメント
AbaqusでB21要素を用いて片持ち梁を解析したところ、先端節点である節点11の鉛直変位 U2 は -12.496 mm となりました。
これは理論値の -12.5 mm とほぼ一致しており、梁のたわみが適切に再現できていることが分かります。
固定端である節点1では、鉛直反力 RF2 が 100 N、反力モーメント RM3 が 1.0×10^5 Nmm となり、外力とつり合う結果が得られました。
Abaqusでは集中荷重を節点自由度に直接与えることができ、B21は平面内の2節点線形梁要素として用いられます。
今回の解析結果（変位、回転、反力、反力モーメント）
(2) 断面力
要素の断面力を見ると、せん断力 SF2 は全要素で-100 N となっており、片持ち梁の全長にわたって一定のせん断力が生じていることが確認できます。
一方、曲げモーメント SM1 は先端側で 5000 Nmm、固定端側に近づくにつれて 95000 Nmm まで増加しており、固定端に向かって線形に大きくなる分布が得られました。
これは先端集中荷重を受ける片持ち梁の典型的な断面力分布と一致しています。
なお、固定端モーメントの理論値は 100000 Nmm であるのに対し、要素出力のSM1 の最大値は 95000 Nmm となりました。
これは要素端そのものではなく、積分点位置で断面力が出力されているためであり、不自然な結果ではありません。
固定端断面の値は節点反力として出力された RM3 = 100000 Nmm を確認することで評価できます。
今回の解析結果（断面力）
(3) 曲げ応力・ひずみ
曲げ応力 S11 は固定端側の要素で最大となり、要素1の断面上下で -71.25 N/mm² と 71.25 N/mm² が出力されました。
上下で符号が反対になっていることから、断面内で引張と圧縮が対になって生じる曲げ応力の状態が確認できます。
ひずみ E11 についても同様に、断面の上下で符号が反転しており、曲げ変形に対応した分布となります。
今回の解析結果（曲げ応力、ひずみ）
1.4.9 要素分割数による結果の違い
要素分割数の影響を確認するために、梁を先程の10分割した場合と20分割した場合で結果を比較しました。
10分割モデルでは、先端変位 U2 は -12.496 mm、固定端反力 RF2 は 100 N、固定端モーメント RM3 は 100000 Nmmとなりました。
20分割モデルでも同じ項目を確認し、先端変位と反力の差が小さいことを見れば、今回の片持ち梁問題では10分割でも概ね妥当な結果が得られていると判断しやすい。
メッシュを細かくしたときに結果の変化が小さくなるかを確認するのは、Abaqusでも基本的な見方です。
表1.4.4に要素分割数の違いによる解析結果の違いを示します。
表1.4.4 要素分割数の違いによる解析結果の比較
1.4.10 要素の違いによる結果の違い
要素の違いによる影響を確認するために、B21要素（Timoshenko梁）とB23要素（Euler-Bernoulli梁）で比較しました。
B21要素とB23要素で解析結果を比較すると、固定端反力と固定端モーメントはどちらも同じであり、全体のつり合いには差が見られませんでした。
一方で、先端変位にはわずかな差があり、B21要素では -12.4965mm、B23要素では -12.5000mm となりました。
Abaqusでは、B21はせん断変形を考慮するTimoshenko梁要素、B23はせん断変形を考慮しないEuler-Bernoulli梁要素として扱われるため、この違いが変位に現れたと考えられます。
表1.4.5 要素の違いによる解析結果の比較
おわりに
今回まで、線状要素について、棒要素、梁要素、トラス要素などを取り上げてきました。
それぞれの要素には特徴があり、解析対象の構造や求めたい結果に応じて、適切な要素を選択することが大切です。
今回で線状要素についての説明は一区切りとします。
次回からは、板状の構造物などの解析で使用される「シェル要素」について取り上げていきたいと思います。
引き続き、Abaqusを使いながら、基本的な構造解析について一緒に学んでいきましょう。
関連記事
Abaqus Learning Editionを使用して構造解析を始めよう1
Abaqus Learning Editionを使用して構造解析を始めよう2
Abaqus Learning Editionを使用して構造解析を始めよう3
Abaqus Learning Editionを使用して構造解析を始めよう4