プライベートサーバをネットで検索して表示させたい

検索で表示させたいって話でしたら各検索サービスのインデックスに登録すればよいとは思うのですが、多分内容見る限りだと違いそうですね。

「ネットで検索」という言葉は、ヤフーや Google, Bing などの検索エンジンで検索するという意味で使われるのが一般的だと思いますが、今回の場合 IP アドレスを含む URL に直接アクセスすることに「検索」という言葉を使ったために誤解を招いてると思います。検索結果は検索エンジンやその時の流行や過去の検索履歴によって変わりますが、URL によるアクセスは変わらない筈なので。(アドレスバーと検索欄を一体化した昨今のブラウザの問題でもありますが…。)

私は AWS には詳しくないので的確な回答ができるか分かりませんが、プライベートサブネットの構成がどうなってるか (サーバーが何台あって、どう繋がって、どこで何を動かして、外部からはどうやってアクセスしてるか、など) を書いてくれたら回答がつきやすくなると思います。