ゼロから作るDeep LearningをJuliaで実装してみる (4)ソフトマックス関数 #DeepLearning

この記事の目的

本記事は、Deep Learningの入門書「ゼロから作るDeep Learning」を参考に、Juliaを用いて同書の内容を実装してみる、という試みです。

※これはあくまで筆者の一つの試みと提案で、必ずしも内容が正解ではありませんのでご了承お願い致します。
また、より良いアドバイスや協力のご提案などありましたら、お気軽にお声がけ頂けますと幸いです。

今回取り組むこと

本記事は、参考書の3.5章にあたります。
ソフトマックス関数を実装します。

ソフトマックス関数の定義

ソフトマックス関数の定義は以下となります。

$$
y_k = \frac{exp(a_k)}{\sum^{n}_{i=1}exp(a_i)}\quad(式1)
$$

exp(x)は指数関数で、ネイピア数eのx乗という意味です。
出力層はn個あり、k番目の出力を$y_k$とします。
k番目の入力信号は$a_k$で、分母は全ての入力信号の和となります。

ソフトマックス関数の実装

(式1)を実装してみます。
ここでは、入力パラメータaを一次元配列と想定しています。

4_softmax_function

function softmax(a)
    exp_a = [exp(i) for i in a]                    # S01
    sum_exp_a = sum(exp_a)                         # S02
    y = [i / sum_exp_a for i in exp_a ]            # S03
    return reshape(y, 1, :)                        # S04
end

ソースの解説です。
・S01で配列aの各要素に指数関数exp()を適用した新たな配列exp_aを生成しています。ここではジェネレータ式を用いて配列をループさせながら、その出力を新たな配列としています。配列の各要素を一律に処理するmap()関数を使用することもできます。
・S02では配列exp_aの要素の和sum_exp_aを取得しています。
・S03は再びジェネレータ式を用いて、配列exp_aの各要素をsum_exp_aで割った計算を行い、配列yとして生成しています。
・S04で返り値をMatrix型に変換しています。ジェネレータ式ではVector型が得られるため、これをMatrix型に変換することで、行列計算をしやすくすることが目的です。

以上で参考書のsoftmax関数を実装することができました。
関数の実行結果は以下となりました。

ソフトマックス関数(改善版)

参考書に倣い、指数関数の計算がオーバーフローしないように改善を行います。
$y_k$を求めるソフトマックス関数を(式2)ように定義します。

$$
y_k = \frac{exp(a_k + C')}{\sum^{n}_{i=1}exp(a_i + C')}\quad(式2)
$$

ここで、C'は入力値の最大値とします。
(式2)ではC'を足していますが、C'は定数なので負の値を取る事もできます。
これより、オーバーフロー対策版のソフトマックス関数を以下のように定義します。

4_softmax_function

function softmax(a)
    c = maximum(a)                                  # S10
    exp_a = [exp(i - c) for i in a]                 # S11
    sum_exp_a = sum(exp_a)
    y = [i / sum_exp_a for i in exp_a ]
    return reshape(y, 1, :)
end

ソースの解説です。
・S10で入力配列aの要素のうち、最大の要素の値を取得しています。
・S11では、上記で求めたcを予め引いた値の指数を算出しています。

以下はこの関数の実行結果です。

以上でソフトマックス関数の実装ができました。
次は、MNISTの手書き数字認識を行ってみたいと思います。

出典

■参考書
「ゼロから作るDeep Learning ～ Pythonで学ぶディープラーニングの理論と実装」
　斎藤康毅著／オライリー・ジャパン

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ゼロから作るDeep LearningをJuliaで実装してみる (4)ソフトマックス関数