GASのWebアプリを公開したいが、アクセス権を求められてしまう

質問のブラッシュアップ版を作成しました。

解決したいこと

GASのWebアプリの公開設定の質問です。
社内ツールを作成しています。
テキストボックスに番号を打ち込むと、スプレッドシートから番号を探して表示するアプリです。
他のアカウントから実行しようとすると、最初のページは表示できますが、次のページに遷移しようとすると、GASプロジェクトのアクセス権限がないため実行できず、アクセス権をリクエストするよう要求されてしまいます。
おそらくdoPostが実行できていません。
ここでアクセス権を編集者にすると実行できます。
編集権限を渡すことなく、公開したいです。

それぞれの設定

GASの公開設定
・次のユーザーとして実行 ウェブアプリケーションにアクセスしているユーザー
・アクセスできるユーザー Googleアカウントを持つ全員
スプレッドシートの公開設定
・リンクを知っている全員