答えるべきことが幾つかありますので、ご発言の引用にてご回答いたします。
タイトルについて以下のような事を実行したいのですが、ネット検索するにも検索窓に入力するも検索文言に妥当性を充てるのが困難な内容なので、当然検索結果も「これか?」と思う内容も現在の私では理解困難な内容すぎるもしくはその通りやっても望む通りの事はできない、、、と言うことでご教示いただけるものならとスレ立てしました。
この手のご質問は Qiita よりも公式サイトのフォーラムで質問するほうが、おそらく良い回答が得られるかと思います。
先の本家・英語フォーラムのほうが情報は豊富です。日本語フォーラムは検索がおかしいようで機能しないようでした。
(例えば、Samba で検索すると「キーワードが無効」と怒られます。。。)
AI に聞いてしまうのも手ですね。
e.g.
下手な人間より、よほど優秀な回答が得られます。
やりたい事が可能なら?ですが、デスクトップPCのストレージ②のext4パーティションへネットワーク経由でタイムシフトのスナップショットデータを置きたい。
Timeshift を起動し、 [設定] > [場所] を開くと「リモートとネットワークの場所はサポートされません」と表示されますので、基本的には不可になります。

スナップショットが置かれる場所も /timeshift のみとなっていますので、例えば Samba や sshfs を利用してマウントしたとしても置けないでしょう。正攻法では。
直接の書き込みが不可なら、一旦ノートPCに作成したスナップショットファイルをバックアップとしてコピーできればよい、、という希望ですが、それ以前の段階でつまづいてます。
これは可能です。
ノートPC の /timeshift にあるファイル Samba などで共有したパーティションへコピーすればよいだけです。
4.3のフォルダに共有設定をかけようとすると英文で「sambaのインストールが必要」(と思われる?)
ダイアログが現れ、インストールボタンがあるのでクリックするとダウンロードエラーで終わり。↓スクショです。

エラーメッセージは、
Samba needs to be installed, apppropriate firewall rules need to be added and your user account needs to join the 'Sambashare' group.
💬 日本語訳:
Samba をインストールし、適切なファイアウォール ルールを追加し、ユーザー アカウントを「Sambashare」グループに参加させる必要があります。
と言っていますね。
ご認識通り、samba 関連パッケージが入っていないのでインストールを促された形です。
肝心の install ボタンを押したときのエラーメッセージ "Failed to download package files" の方ですが、以下の URL が無効のために起きています。
http://archive.ubuntu.com/ubuntu/pool/main/c/ceph/librados2_19.2.3-0ubuntu0.24.04.1_amd64.deb
http://archive.ubuntu.com/ubuntu/pool/main/c/ceph/libcephfs2_19.2.3-0ubuntu0.24.04.2_amd64.deb
なぜ無効なのか疑問でしょうが、Linux のパッケージはセキュリティホールを塞ぐなどの理由で都度 更新が行われます。
このとき、リビジョンが上がって ubuntu0.24.04.1 → ubuntu0.24.04.2 のようにパッケージ名が変化します。ほどなくして古いパッケージは削除されます。
調べましたところ、上記パッケージは やはり既に削除されているようです。

Linux Mint のソフトウェアマネージャー(または apt コマンド)はこのパッケージ情報をローカルにもキャッシュしていますが、これが古い状態ですとリンク切れになります。
解決するには このキャッシュを更新(アップデート)してやる必要があります。
ソフトウェアマネージャーを起動してやるだけで更新されます。あるいは、端末上で以下のコマンドを実行しても同等の結果が得られます。
これってそもそも、LiveUSBでの作業だからNGで、PC自体のシステムでMintを構成しなければ無理な作業でしょうか?
(いずれこのWin10デストップPCでMintとのデュアルブートを考えていますが、現在ではMintというかLinux自体ほとんど理解できていないので、ある程度理解が進んだ時点で作業する予定です。)
Liveセッション環境は通常、ストレージにインストールされるファイル群をすべてメモリ上に展開する特殊な環境ですので、インストール済みパッケージのアップグレードなど一部の機能が制限されます。
ただ、今回の件では "パッケージ情報のキャッシュ" のみを更新すれば問題ないので、おそらく上手く行くでしょう。
追記
模索した中でわかった事は、windowsベースのPC(現デスクトップ)のパーティションにextフォーマットのドライブを作ったところで、そもそもOS(Win)が認識しない(ドライブレターが作れない)ゆえ、端末間ネットワーク接続(Linux⇔Windows)にこぎつけたところで、思っていることができないんじゃないか?という事です。exFATならという手もありますが、スナップショットデータのバックアップには推奨されないような事がネットにあり、これは考えていません。
ご明察の通り、 FAT, NTFS などのファイルシステムは利用できません。
EXT4, BTRFS が利用可能です。
これはTimeshiftがバックアップを取る際に、Linux のファイル群をそのまま複製する ためです。言い換えると、アーカイブにまとめたりせず、そのままのディレクトリ構成で /timeshift/snapshots/<日時>/localhost/ ディレクトリ以下に保管されます。
EXT4 が Windows からアクセスできないのではないかと懸念されているようですが、幾つか手はあります。検索すると MiniTool Partition Wizard などのツールが見つかります。
...ただし、これらの使用感については私は存じ上げませんが。Windows を捨て去ってから随分経ちますので、私にはその必要もなければ、やる気もないためです。