JavaScriptでAPIを呼び出す関数を作成し、Javaのコントローラで適当に作ったデータベースのデータを取得しレスポンスとして返す
その API は Web サーバーでホストされていると思いますが、その Web サーバーで CORS 対応するほかありません。Play とか触ったこともないので具体的な設定方法は分かりませんが、「play cors」でググるとフィルターを使うなどの記事がヒットします。調べてみてはいかが?
ちなみに、要求側はブラウザの仕事で開発者は何もする必要はありません。