y=1/g(f)の微分について

解決したいこと

$ y=\frac{1}{g(x)}$ の微分、$ y^\prime = \frac{-g^\prime(x)}{g(x)^2}$ を求めるときの考え方がわかりません。

よろしくおねがいします。

発生している問題・エラー

以下の求め方の最後の極限の部分がわかりません。

求め方

傾きは以下で求まることは理解できました。

\begin{align}

\frac{\frac{1}{g(x+\Delta x)}-\frac{1}{g(x)}}{\Delta x} 
&=\frac{\frac{g(x)-g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)\cdot g(x)}}{\Delta x}\\ \\

&=\frac{\{g(x)-g(x+\Delta x)\} \cdot \frac{1}{g(x+\Delta x) \cdot g(x)}}{\Delta x}\\ \\

&= \frac{ \{ g(x) - g(x+\Delta x)  \} }{\Delta x} \cdot \frac{1}{g(x+\Delta x) \cdot g(x)} \\\\

&= - 
 \frac{ \{ g(x+\Delta x) - g(x) \} }{\Delta x}
\cdot 
  \frac{1}{g(x+\Delta x) \cdot g(x)} 

 \end{align}

$\Delta x$を限りなく0に近づけるのもわからなくはないです。

\lim_{\Delta x \to 0} - \underbrace{
 \frac{ \{ g(x+\Delta x) - g(x) \} }{\Delta x}
}_{A} 
\cdot 
\underbrace{
  \frac{1}{g(x+\Delta x) \cdot g(x)} 
}_{B}

わからないのはこの後の部分です。

$A$ の部分の $\frac{g(x+\Delta x)-g(x) }{\Delta x}$ は、$g(x)$に対する微分の形をしているため$g^\prime(x)$ になる。

また、$B$の部分の$\frac{1}{g(x+\Delta x) \cdot g(x)}$ は、$\Delta x$が0に近づくとき$\frac{1}{g(x)^2 }$となる。

したがって、$ y=\frac{1}{g(x)}$ の微分は、$ y^\prime = -g^\prime(x) \cdot \frac{1}{g(x)^2} = \frac{-g^\prime(x)}{g(x)^2}$ となる。

わからないこと

$B$の $\frac{1}{g(x+\Delta x) \cdot g(x)}$ は、あたかも$\Delta x$が0になったかのように$\frac{1}{g(x)^2 }$にしているのに、

$A$の $\frac{g(x+\Delta x)-g(x) }{\Delta x}$ は、 $\frac{ { g(x+0) - g(x) } }{\Delta x} = 0$ とはならない理由がわかりません。

自分で試したこと

Webで色々調べましたが、腑に落とすことができませんでした。

よろしくおねがいします。