フーリエ級数(Fourier Series)から群論(Group Theory)へ

群論の初歩、すなわち加法群(Additive Group)設定の話から再出発します。
【Python演算処理】環論に立脚した全体像再構築①空環と実数環

• まず自然数集合$\mathbb{N}$に加法単位元(Additive Identity)0を追加した集合Aを用意する。

• その逆元(Inverse Element)$A^{-1}$を用意する。

• 両者を統合すると加法整数群(Additive Integer Group)$\mathbb{Z}^2$が構成される。

• さらに以下の考え方を導入し加法複素群(Additive Complex Group)$\mathbb{C}^2$を定義する。

群同型 Wikipedia

加法整数群$(\mathbb {Z},+)$は加法実数群$(\mathbb{R},+)$の部分群であり、商群$\frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}}$は、同型写像$f(x+\mathbb {Z})=e^{2πxi}(x \in \mathbb{R} \land 0 \leqq x \leqq 2π)$によって絶対値1の乗法複素数群$S^1$に同型である：

\frac{(\mathbb{R},+)}{(\mathbb{Z},+)} \cong S^1

実はこの過程、以下に述べる複素フーリエ級数(Complex Fourier Series)の定義そのものなのです。

f(t)=c_0+\sum_{n=1}^{∞}(C_{-n}e^{-in\omega_0t}+C_{n}e^{in\omega_0t})(n \in \mathbb{N})\\
=c_0+\sum_{n=-1}^{-∞}C_ne^{in\omega_0t}+\sum_{n=1}^{∞}C_ne^{in\omega_0t}(n \in \mathbb{N})\\
=\sum_{n=-∞}^{-∞}C_ne^{in\omega_0t}(n \in \mathbb{Z})\\
ただし\\
C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0t}dt(n \in \mathbb{Z}),\omega_0=\frac{2π}{T}

確かに添字部分が上掲のプロセスを経て自然数集合$\mathbb{N}$から整数集合$\mathbb{Z}$へと拡張されています。そしてその全体像に着目すると、これを周回数=垂直軸とする複素周期関数として構成されているという次第。

#フーリエ級数(Fourier Series)の基底と一次結合表現
区間$-\frac{T}{2}≦t≦\frac{T}{2}$で定義された任意の関数f(t)は、以下の関数セットの一時結合として近似可能です。

(1,\cos\frac{2π}{T}t,\sin\frac{2π}{T}t),\cos\frac{4π}{T}t),\sin\frac{4π}{T}t,…,\cos\frac{2nπ}{T}t,\sin\frac{2nπ}{T}t,…)

$\omega_0=\frac{2π}{T}$と置くと、次の様に簡潔に書けます。

(1,\cos\omega_0t,\sin\omega_0t,\cos2\omega_0t,\sin2\omega_0t,…,\cos n\omega_0t,\sin n\omega_0t),…)

これがフーリエ級数(Fourier Series)の考え方で、最初に現れる1、その後2πラジアン(1周)を周期として交互に2回現れる「偶関数」$\cos n\omega_0t(n \in \mathbb{N})$と「奇関数」$\sin n\omega_0t(n \in \mathbb{N})$が互いに直交する事により、かかる関数空間の基底、それも直交基底をなすのです。

f(t)=a_0+(a_1\cos2\omega_0t+b_1\sin2\omega_0t+(a_2\cos3\omega_0t+b_2\sin3\omega_0t+,…,(a_n\cos n\omega_0t+b_n\sin n\omega_0t+,…\\
a_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt\\
a_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos n\omega_0t dt(n \in \mathbb{N})\\
b_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin n\omega_0t dt(n \in \mathbb{N})

すなわちその直交基底$a_0,a_n,b_n$による一次結合表現は以下となるのです。
一時結合表現の大源流としての複素数表現/四元数表現

f(t)=a_0+\frac{1}{T}\sum_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos n\omega_0t+\frac{1}{T}\sum_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin n\omega_0t(n \in \mathbb{N})\\
ただし\\
\omega_0=\frac{2π}{T}

ちなみに「偶関数」cos波系近似に際しては「奇関数」sin波成分が0(フーリエ正弦級数)、「奇関数」sin波系近似に際しては「偶関数」cos波成分が0(フーリエ余弦級数)となります。
交代級数の一時結合的表現?

偶関数(f(-x)=f(x))に分類されるcos波系近似\\
f(t)=a_0+\frac{1}{T}\sum_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos n\omega_0t(n \in \mathbb{N})\\
奇関数(f(-x)=-f(x))に分類されるsin波系近似\\
f(t)=\frac{1}{T}\sum_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin n\omega_0t(n \in \mathbb{N})

【初心者向け】フーリエ解析を可視化する。
【sin波系】ノコギリ波（Sawtooth wave）の近似

【cos波系】三角波（Triangular Wave)の近似

【sin波系】矩形波（Square Wave)の近似

【cos波系】放物線（Parabola)の近似

#複素フーリエ級数(Complex Fourier Series)の基底の一次結合表現

ところでオイラーの公式(Eulerian Theorem)は実数世界の$\cos(θ),\sin(θ)$関数と複素数世界の$e^{xi}$を結び付けますが、その際に$e^{θi}$と$e^{-θi}$はお互いに共役な複素数となります。

e^{θi}=\cos θ + \sin θi\\
e^{-θi}=\cos(-θ) + \sin(-θ)i=e^{iθ}=\cos θ - \sin θi

この事実を出発点にフーリエ級数の直交基底$1,\cos n\omega_0t,\sin\omega_θt(n \in \mathbb{N})$を複素指数関数$e^{iθ}$で書き換えていきます。

f(t)=a_0+(a_1\cos2\omega_0t+b_1\sin2\omega_0t+(a_2\cos3\omega_0t+b_2\sin3\omega_0t+,…,(a_n\cos n\omega_0t+b_n\sin n\omega_0t+,…\\
a_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt\\
a_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos n\omega_0t dt(n \in \mathbb{N})\\
b_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin n\omega_0t dt(n \in \mathbb{N})

• まずは準備として、

\cos θ=\frac{e^{θi}+e^{-θi}}{2},\sin θ=\frac{e^{θi}-e^{-θi}}{2}\\
\cos n\omega_0t=\frac{e^{n\omega_0ti}+e^{-n\omega_0ti}}{2},\sin n\omega_0t=\frac{e^{n\omega_0ti}-e^{-n\omega_0ti}}{2}\\
ここで新たな定数C_n,C_{-n}を定義する。\\
C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0t}dt(n \in \mathbb{Z})\\
C_{-n}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}(n \in \mathbb{Z}){2}}f(t)e^{in\omega_0t}dt(n \in \mathbb{Z})\\

• n≧0の時、

a_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos n\omega_0t dt=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{e^{n\omega_0ti}+e^{-n\omega_0ti}}{2}dt
\\=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{in\omega_0t}dt+\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0t}dt=C_{-n}+C_n\\
b_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin n\omega_0t dt=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{e^{n\omega_0ti}-e^{-n\omega_0ti}}{2i}dt\\
=\frac{-i}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)(e^{n\omega_0ti}-e^{-n\omega_0ti})dt\\
=\frac{-i}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{in\omega_0t}dt+\frac{i}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0t}dt
\\=-ic_{-n}+iC_n=-i(C_{-n}+C_n)\\
c_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^0 dt=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt=a_0\\
こうした計算結果を反映させると\\
f(t)=c_0+\sum_{n=1}^{∞}(C_{-n}e^{-in\omega_0t}+C_{n}e^{in\omega_0t})(n \in \mathbb{N})\\
=c_0+\sum_{n=-1}^{-∞}C_ne^{in\omega_0t}+\sum_{n=1}^{∞}C_ne^{in\omega_0t}(n \in \mathbb{N})\\
=\sum_{n=-∞}^{-∞}C_ne^{in\omega_0t}(n \in \mathbb{Z})\\
ただし\\
C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0t}dt(n \in \mathbb{Z}),\omega_0=\frac{2π}{T}

• これで積分区画$-\frac{T}{2}<t≦\frac{T}{2}$で定義される任意の関数f(t)を一次結合形式で表す複素フーリエ級数が求まった。その結果、同時にその直交基底は$e^{in\omega_0t}(n \in \mathbb{Z})$と定まった。

f(x)=\sum_{n=-∞}^{-∞}C_ne^{in\omega_0t}(n \in \mathbb{Z})\\
=…+c_{-n}e^{-in\omega_0t}+…+c_{-3}e^{-i3\omega_0t}+c_{-2}e^{-i2\omega_0t}+c_{1}e^{i\omega_0t}+c_{0}…c_{1}e^{i\omega_0t}+c_{2}e^{i2\omega_0t}+c_{3}e^{i3\omega_0t}+…++c_{n}e^{in\omega_0t},…(n \in \mathbb{Z})\\
ただし\\
C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0t}dt(n \in \mathbb{Z}),\omega_0=\frac{2π}{T}

ところで、上掲式より以下の複素共役関係が導出されます。

C^{-n}=\frac{1}{2}(a_n+ib_n),C^{n}=\frac{1}{2}(a_n-ib_n)\\
よって\\
\overline{C^{n}}=\overline{\frac{1}{2}(a_n-ib_n)}=\frac{1}{2}(a_n+ib_n)=C^{-n}\\
\overline{C_{-n}e^{-in\omega_0t}}=\overline{C_{-n}}\overline{e^{-in\omega_0t}}=C_{n}e^{in\omega_0t}

• $e^{iθ}=\cos θ + \sin θi$で表せる波を複素正弦波(Complex Sine Wave)という。
• 複素数aの共役複素数を$\bar{a}$で表す。

ゆえに関数空間上の任意の関数f(t)は共役複素数を用いて以下の様にも書けるのです。

f(t)=c_0+\sum_{n=1}^{∞}(C_{-n}e^{-in\omega_0t}+C_{n}e^{in\omega_0t})=c_0+\sum_{n=1}^{∞}(\overline{C_{n}e^{in\omega_0t}}+C_{n}e^{in\omega_0t})

【初心者向け】フーリエ解析を可視化する。
【sin波系】ノコギリ波（Sawtooth wave）の近似



【cos波系】三角波（Triangular Wave)の近似



【sin波系】矩形波（Square Wave)の近似




【cos波系】放物線（Parabola)の近似

添字(垂直軸=z軸)が均等尺で推移するのはここまでで、それが実数に拡張さえるフーリエ変換(Fourier Transform)やラプラス変換(Laplace Transform)はかかる形での周回数や周期数の概念による制約から解放される形となるのです。
【Python演算処理】ラプラス変換/ラプラス逆変換を試す。
そんな感じで以下続報…

主要参考文献：
涌井良幸「高校生からわかるフーリエ解析(2019年)」